幾個(gè)常見問題的“秒解”例析

廣州中學(xué)(510640) 陳漢橋

數(shù)學(xué)家波利亞曾說:“沒有任何一道題目是可以解決得十全十美的,總剩下些工作要做,經(jīng)過充分的探討總結(jié),總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn),總能改進(jìn)這個(gè)解答;而且在任何情況下,我們總能提高對(duì)這個(gè)解答的理解水平[1].”多年的教研活動(dòng)實(shí)踐中,與老師們交流的常見觀點(diǎn)之一,就是大學(xué)所學(xué)知識(shí)在中學(xué)教學(xué)中少有用得上的,果真其然嗎,非也! 這些層面都要求老師們需要不斷提高自己的教學(xué)水平,努力提高解題能力,而借助于“高觀點(diǎn)”解題不失為一種救急的解決辦法,本文擬從幾個(gè)小問題出發(fā),小議課堂教學(xué)中學(xué)生們提出的幾道疑難題的“新”解法,與同仁分享.

問題1:運(yùn)用中線或角平分線長公式解題

多年前,在奧校上課時(shí),經(jīng)常碰到學(xué)生問一些難題,而這些“難題”其實(shí)并不很難;說它不難,其實(shí)是在理解了較多奧數(shù)里出現(xiàn)的公式前提下,有的難題是可以實(shí)現(xiàn)“秒解”的,比如下例1:

例1如圖,圓O的半徑為3,點(diǎn)A,B都在圓O上,已知AB= 4,且C為AB延長線上一點(diǎn),BC=4,點(diǎn)D為圓O上一點(diǎn),求AD2+DC2的最大值.

顯然,若熟知中線長公式ta=即可推出DA2+DC2= 4DB2+AC2= 4DB2+64,∴當(dāng)DB=6 時(shí)(DB為直徑),AD2+DC2=最大.

練習(xí):已知⊙O是ΔABC的內(nèi)切圓,AB= 4,∠C=60°,試求⊙O的面積的最大值;

問題2:例2(英國1995)已知a、b、c為滿足下列條件的實(shí)數(shù),a ＜b ＜c,a+b+c= 6 且ab+bc+ac= 9,證明:0＜a ＜1＜b ＜3＜c ＜4[2].

解法分析一:只證明0＜a ＜1,顯然a ＜2,c ＞3;當(dāng)a=0 時(shí),b=c=3 矛盾;由

知道b、c是方程x2-(6-a)x+9-6a+a2=0 的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,于是Δ = (6-a)2-4(9-6a+a2)＞0,解得,0＜a ＜4,即0＜a ＜2,由b ＞a,＞3a-6,3a-6＜0,解得a ＜1,其余略;

解法分析二:根據(jù)多項(xiàng)式零點(diǎn)和系數(shù)的關(guān)系,可設(shè)首一多項(xiàng)式:P(x) =x3-6x2+9x - k,其中,k=abc,下面只需要找出多項(xiàng)式P(x)的零點(diǎn),因a、b、c的符號(hào)沒有確定,從而多項(xiàng)式的系數(shù)的符號(hào)也沒有確定,故沒能畫出y軸,但是能確定:當(dāng)x足夠大時(shí),函數(shù)值將是正的,當(dāng)x足夠小時(shí),函數(shù)值將是負(fù)的,由于三個(gè)零點(diǎn)之間滿足關(guān)系a ＜b ＜c,所以,P(x)在a、b之間應(yīng)該取正值,而在b、c之間應(yīng)該取負(fù)值,同時(shí),存在u ∈(a,b),f(u)取極大值;存在v ∈(b,c),f(v)取極小值;

通過對(duì)P(x) 求一階導(dǎo)數(shù),P′(x) = 3x2-12x+9 =3(x-1)(x-3),所以,u= 1,v= 3.同時(shí),有f(1)＞0,f(3)＜0,所以,a ＜1＜b ＜3＜c,

下面再證明另外兩個(gè)不等式a ＞0 和c ＜4,為此,只需要證明P(0)＜0,P(4)＞0,這個(gè)是很容易的,由P(1) = 4-k ＞0,P(3) =-k ＜0,0＜k ＜4,因此,得到P(0)=-k ＜0,P(4)=4-k ＞0,證畢.

問題3,如何求S1=1+2+3+···+n?

例3S2=12+22+33+···+n2,S3=13+23+33+···+n3,···,求這些數(shù)列的通項(xiàng)公式.

顯然利用(n+1)2-n2=2n+1,可以求S1,其余依此類推,這種方法基礎(chǔ)簡單,學(xué)生容易接受,但是,對(duì)于求例4S4=1×2+2×3+3×4+···+n(n+1),可能就有難度;而且所求表達(dá)式還可以升級(jí)難度;這里就要利用拉格朗日插值定理來解決,基本就是秒殺的.具體如下:

記f(n) =S2,由f(1) = 1,f(2) = 5,f(3) = 14,f(4)=30,于是,得到:

問題4:例5已知(a+c)(a+d)=(b+c)(b+d)=1,且a/=b,求證:(d+a)(d+b)=-1,(c+a)(c+b)=-1.

解法分析:本題可由初等變形方法直接推得,顯然,下面的方法來得更簡單快捷,a和b可以看做一元二次方程(x+c)(x+d)=1 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即有,(x+c)(x+d)-1=0,且有(x+c)(x+d)-1=(x-a)(x-b)再分別令x=-c,x=-d,即可得證.

問題5:例6絕對(duì)值不超過100 的全體有理數(shù)之和是多少?

這題來自北京海淀區(qū)出的教學(xué)資料.原題是:絕對(duì)值不超過100 的全體整數(shù)之和是多少? 答案是0,第二年該書再版時(shí),原作者把這道題目改成上面的例6,答案仍然是0! 殊不知,這一改就成了一道錯(cuò)題了! 文[3]中,有詳細(xì)分析講解,這里只抽出介紹點(diǎn)滴條理,具體如下:

由S=1++…,知道無窮數(shù)列S收斂到2,而T=1++…發(fā)散到∞,再看

可知0＜L ＜1,數(shù)列收斂L=ln 2.

如果運(yùn)用加法交換律,經(jīng)過變形,可以得到:

于是比較①②,立即可以發(fā)現(xiàn),右邊相等,但是左邊不同,這是什么原因呢?

數(shù)學(xué)上有一個(gè)“黎曼定理”,這個(gè)定理意思是講絕對(duì)值收斂的無窮和,無論按怎樣的順序做加法,其和不變,而條件收斂的無窮和,可以通過交換它的項(xiàng),讓它收斂到任一指定的數(shù),也可以讓它發(fā)散到+∞或-∞.

以上僅僅從幾例的解答分析中,感受利用牽涉到了的高等數(shù)學(xué)知識(shí)或超綱的理論公式,來解題的便利、快捷和高效;事實(shí)上,不論小學(xué)或中學(xué)的奧數(shù)問題中,有許多這樣的案例,只要略加思考,提出變式,比如加元、改變維數(shù)、數(shù)形互換,等等,題目的難度就立即提升很多,甚至可達(dá)到運(yùn)用對(duì)應(yīng)所學(xué)知識(shí)都解答不了的地步,如例,試寫出數(shù)列-1,-2,-3,4,-5,-6,-7,8,…(三負(fù)一正)的通項(xiàng)公式,答案竟然是作為一名普通的數(shù)學(xué)老師,還是應(yīng)該不忘初心,牢記教育責(zé)任,堅(jiān)持教學(xué)研究,去努力提高對(duì)新的解答的理解水平.