初中數(shù)學(xué)幾何推理與圖形證明教學(xué)探討

溫澤萍

摘要：數(shù)學(xué)是中考的必考科目，幾何推理與圖形證明是中考的必考內(nèi)容，主要考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，因此要引起師生的高度重視.科學(xué)有效的學(xué)習(xí)方法，對(duì)于幾何推理和圖形證明題至關(guān)重要.它含有很多技巧和規(guī)律.本文簡要介紹幾種常見的幾何推理和圖形證明方法，并提出優(yōu)化教學(xué)的策略，希望能夠起到教學(xué)相長的作用.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)幾何推理圖形證明

作為九年義務(wù)教育中的基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的邏輯思維能力和應(yīng)變能力，其成績的高低對(duì)于初中生來說尤為關(guān)鍵，甚至成為躋身重點(diǎn)高中的瓶頸，因此學(xué)習(xí)靈活有效的解題思路對(duì)于提高數(shù)學(xué)成績來說十分必要.幾何推理和圖形證明在中考中出現(xiàn)的頻率極高，因此要得到學(xué)生的高度重視.兩者將空間感和體積感相結(jié)合，不僅需要清晰的解題思路，還需要具備一定的想象能力.如果教師按照傳統(tǒng)的教學(xué)模式照本宣科，學(xué)生很難理解題目的深意，教學(xué)效率自然大打折扣.因此，幾何推理與圖形證明題，需要教師總結(jié)有效的解題思路和方法，并著重對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和邏輯能力進(jìn)行培養(yǎng)，使學(xué)生做到舉一反三，巧妙應(yīng)答.

一、初中數(shù)學(xué)幾何推理與圖形證明的常見方法

1.反證法

反證法，是初中數(shù)學(xué)幾何推理與圖形證明的基本論證方法.指的是，題目若順向思維解答困難時(shí)，不妨用逆向思維解答，有時(shí)候從反面入手，反而更加容易.簡單來說，就是當(dāng)我們想證明一個(gè)命題為真時(shí)，先假設(shè)它的矛盾命題成立，然后進(jìn)行演繹和推理，得出矛盾命題為假命題，從而證明命題為真.

例如，求證三角形中至少有一個(gè)角不大于60°，那么我們不妨假設(shè)△ABC的內(nèi)角都大于60°，那么∠A+∠B+∠C>180°，因此假設(shè)不成立，因此三角形中必須至少有一個(gè)角小于等于60°.

由此可見，從命題的反面出發(fā)，有時(shí)候更容易解題.值得注意的是，教師既要注重對(duì)學(xué)生假設(shè)能力的培養(yǎng)，又要加強(qiáng)邏輯訓(xùn)練，尤其是當(dāng)題目中出現(xiàn)“至多”、“不多于”、“任何”、“無限多”等量詞時(shí)，應(yīng)該格外注意真假命題之間的矛盾關(guān)系，以及學(xué)生對(duì)這種邏輯否定的正確表述.

2.面積法

面積法能夠有效解決很多類型的幾何推理和圖形證明題.最典型的例題，就是勾股定理中采用的面積割補(bǔ)法，還有的題在表面上看并不直接與面積有關(guān)，但等積變換后用面積法解答，可能更加簡易.

例如，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在△ABC的AC、AB邊上，BD、CE相交于O，△BOE、△BOC和△COD的面積分別是15、30和24，求AE∶BE的值.該題的已知條件是三角形的面積，那么我們可以利用平行線的關(guān)系來推導(dǎo)線段的比值.我們可以作一條與CE平行的輔助線DQ，與AB相交，因此OB∶OD=S△BOC∶S△COD=30∶24=5∶4.假設(shè)OE=m，OD=4m，因此OC=2m，OB=5m.因?yàn)镈Q與CE平行，那么△BOE∽△BDF，△ADF∽△ACE.因此AF∶AE=DF∶CE，AE=52EF.故AE∶BE=2∶1.

由此可見，面積法可以使用面積關(guān)系代替題目中的幾何量，使問題更加直觀、具體.

3.綜合分析法

學(xué)生在進(jìn)行幾何推理時(shí)往往有兩種固定模式，一是根據(jù)原因推結(jié)果，二是根據(jù)結(jié)果推原因.有的時(shí)候，幾何問題相對(duì)復(fù)雜 ，僅用一種推理難以解決問題，因此需要將這兩者結(jié)合起來.這就是綜合分析法.有時(shí)候，綜合分析會(huì)和幾何變換相結(jié)合，當(dāng)已知條件中的幾何關(guān)系比較分散和隱晦時(shí)，就要求學(xué)生巧妙地對(duì)圖形進(jìn)行變換，使分散的條件變得集中，從而使思路更加清晰.

二、初中數(shù)學(xué)幾何推理和圖形證明的教學(xué)策略

首先，巧用基本圖形.有的時(shí)候，學(xué)生會(huì)混淆幾何和代數(shù)之間的區(qū)別，這時(shí)只要巧妙地使用基本的幾何圖形就能找到解題辦法.有時(shí)，題目中出現(xiàn)的圖形較為復(fù)雜，可以將其分解為多個(gè)簡單圖形，如等邊三角形、平行四邊形、正方形等.這樣，幾何證明就變得簡單.

其次，正確使用輔助線.輔助線能夠幫助我們理清圖形之間的空間關(guān)系.在畫輔助線時(shí)，三角形一般從某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，而立方體從空間出發(fā).畫好輔助線后，要表明每一個(gè)新的線與面的名稱，為后續(xù)的推理作好準(zhǔn)備.

綜上所述，幾何推理與圖形證明空間感較強(qiáng)的題目，解題過程充滿趣味和挑戰(zhàn)，以上方法能夠?yàn)閹缀瓮评砗蛨D形證明提供思路.熟練掌握各種方法與技巧，并活學(xué)活用，能夠理清題目間的隱含關(guān)系，以便準(zhǔn)確解答，提高數(shù)學(xué)成績.