多元轉(zhuǎn)化：解決數(shù)學(xué)絕對(duì)值問(wèn)題

朱衛(wèi)娟

（江蘇省啟東市呂四中學(xué)，江蘇啟東 226241）

多元轉(zhuǎn)化：解決數(shù)學(xué)絕對(duì)值問(wèn)題

朱衛(wèi)娟

（江蘇省啟東市呂四中學(xué)，江蘇啟東 226241）

高中數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛，學(xué)生普遍對(duì)絕對(duì)值問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)掌握不牢靠，不能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決具體問(wèn)題，解題時(shí)仍然充滿困惑。如果學(xué)生善于多元轉(zhuǎn)化，根據(jù)不同試題的特點(diǎn)，選用合適的解題思路和方法，定能化難為易、化繁為簡(jiǎn)，輕松攻克絕對(duì)值問(wèn)題的難關(guān)。

高中數(shù)學(xué)；多遠(yuǎn)轉(zhuǎn)化；絕對(duì)值

引 言

絕對(duì)值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，它出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)。絕對(duì)值問(wèn)題本身并不是很難，但是有時(shí)候卻常常出一些較難的問(wèn)題，其考驗(yàn)的主要是學(xué)生對(duì)概念的熟知程度以及對(duì)某些性質(zhì)的掌握情況。了解并掌握了解決數(shù)學(xué)絕對(duì)值問(wèn)題的方法與技巧，對(duì)同學(xué)們以后的解題幫助很大。為了解決這個(gè)問(wèn)題，筆者主要通過(guò)以下四個(gè)方面來(lái)多元轉(zhuǎn)化，幫助同學(xué)們解答數(shù)學(xué)絕對(duì)值問(wèn)題：分類討論，各自考慮；零點(diǎn)分段，多個(gè)數(shù)值；兩邊平方，非負(fù)方程；幾何意義，明顯應(yīng)用。

一、分類討論，各自考慮

由于絕對(duì)值中的數(shù)的正負(fù)難以確定，因此分類討論思想在解決絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到。分類討論是把絕對(duì)值進(jìn)行化簡(jiǎn)，取絕對(duì)值中的數(shù)分別為負(fù)數(shù)和非負(fù)數(shù)，然后再各自討論，進(jìn)行比較分析，得出較為全面的結(jié)論。因此，教師在教學(xué)的過(guò)程中，要不斷給學(xué)生滲透此種思想，并舉出例題讓同學(xué)們對(duì)此方法能夠靈活運(yùn)用。

例如，我在教學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)必修1第一章的“集合與函數(shù)概念”的時(shí)候，就運(yùn)用分類討論的思想來(lái)解題。在學(xué)完本章內(nèi)容之后，為了加深同學(xué)們對(duì)知識(shí)的理解，我出了一道題來(lái)讓同學(xué)們解答：設(shè)集合A＝{x| |x－a|＜1，x∈R}，B＝{x| |x－b|＞3，x∈R}，并且A包含于B，那么實(shí)數(shù)a，b滿足__。A.|a＋b|≤4B.|a＋b|≥4C.|ab|≤4D.|a－b|≥4 這個(gè)題包含絕對(duì)值，所以要用分類討論對(duì)其進(jìn)行解答。首先對(duì)A化簡(jiǎn)，就可以得到：a－1＜x＜a＋1，其次，對(duì)B進(jìn)行化簡(jiǎn)得到：x＜b－3或者x＞b＋3。又因?yàn)轭}目中的條件為A包含于B，那么，就可以得到b－3≥a＋1①或者b＋3≤a－1②。化簡(jiǎn)①為a－b≤-4，化簡(jiǎn)②為a－b≥4，最后綜合一下就得到|ab|≥4，選擇D選項(xiàng)。在解決集合問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用分類討論的思想，把分類后的式子各自考慮，讓解題過(guò)程有一定的順序，不會(huì)漏掉任何一種情況，使答案更加全面，提高解題正確性。

在解數(shù)學(xué)絕對(duì)值的問(wèn)題中，由于字母的取值不同會(huì)影響最終結(jié)果。通過(guò)運(yùn)用分類討論的思想，把一個(gè)大問(wèn)題按照不用情況劃分成幾個(gè)小問(wèn)題，再慢慢地逐一擊破，最后做出歸納總結(jié)，使整個(gè)解題過(guò)程更加完善，同時(shí)，讓最終結(jié)果的準(zhǔn)確性更高。

二、零點(diǎn)分段，多個(gè)數(shù)值

在解決絕對(duì)值問(wèn)題的過(guò)程中，有些題目中絕對(duì)值的式子并不是一個(gè)，而是有多個(gè)，并且絕對(duì)值中含有參數(shù)，要求化簡(jiǎn)的結(jié)果根據(jù)參數(shù)的變化而不斷變化。此時(shí)，需要用零點(diǎn)分段的方法把參數(shù)的情況進(jìn)行分段，然后，把每一類化簡(jiǎn)的結(jié)果綜合，就得出最終結(jié)論。因此，教師在面對(duì)有多個(gè)絕對(duì)值式子的題目時(shí)，要引導(dǎo)同學(xué)們用零點(diǎn)分段的方法來(lái)解題[1]。

例如，我在教學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)必修5的“不等關(guān)系與不等式”時(shí)，舉了一道例題讓同學(xué)們對(duì)零點(diǎn)分段的方法加以運(yùn)用。這道題的題目是：化簡(jiǎn)|x－2|＋|x＋1|這個(gè)式子。在化簡(jiǎn)這個(gè)式子時(shí)，我們可以采用當(dāng)x≥0時(shí)，|x|＝x；當(dāng)x＜0時(shí)，|x|＝-x的思想。這個(gè)式子中一共有兩個(gè)絕對(duì)值，可以運(yùn)用零點(diǎn)分段的方法來(lái)求解?；?jiǎn)|x－2|＋|x＋1|這個(gè)式子時(shí)，可以分別令x－2＝0和x＋1＝0，分別解得x＝2，x＝-1。找到零點(diǎn)之后，就要進(jìn)行分段，可以分成x≤-1、-1＜x≤2、x＞2這三種情況。接下來(lái)就要對(duì)每種情況進(jìn)行分類討論：①當(dāng)x≤-1時(shí)，原式＝-(x－2)-(x＋1)＝-2x＋1；②當(dāng)-1＜x≤2時(shí)，原式＝-(x－2)＋(x＋1)＝3；③當(dāng)x＞2時(shí)，原式＝(x－2)＋(x＋1)＝2x－1。零點(diǎn)分段法是有一定步驟的，通過(guò)一步一步地分析討論，就可以得出最終結(jié)果。零點(diǎn)分段法通過(guò)先找到零點(diǎn)，再在零點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行分段，之后在每一個(gè)段里面進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后把每一段化簡(jiǎn)的結(jié)果進(jìn)行綜合。

通過(guò)零點(diǎn)分段法的講解，讓同學(xué)們?cè)诿鎸?duì)多個(gè)絕對(duì)值時(shí)做到心中有數(shù)，不慌不忙，可以運(yùn)用此方法快速解出相關(guān)的絕對(duì)值問(wèn)題。為了讓同學(xué)們?cè)诿鎸?duì)問(wèn)題時(shí)做到靈活應(yīng)變，還需要老師的耐心講解和同學(xué)們對(duì)此類型題目多加練習(xí)，從而提高做題效率。

三、兩邊平方，非負(fù)方程

解含有絕對(duì)值的方程的方式很多，但是面對(duì)有特殊情況的方程時(shí)，我們就可以具體情況具體分析，采用適合于題型的方法來(lái)解。如果一個(gè)方程的一邊為絕對(duì)值，另一邊為非負(fù)數(shù)，那么，我們就可以采用兩邊平方的方式來(lái)解方程。這樣，會(huì)減少解方程時(shí)的步驟，既節(jié)約時(shí)間，準(zhǔn)確率又高[2]。

例如，我在教學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)必修2第三章的“直線與方程”時(shí)，教給同學(xué)們解方程的各種方法，其中一種方法就是兩邊平方法。為了檢驗(yàn)同學(xué)們對(duì)此方法的掌握情況，我在課后給同學(xué)們出了一道解方程的題目，讓同學(xué)們來(lái)練習(xí)。題目是若|x|＝8，則x為多少。這是一道特別簡(jiǎn)單的題目，只要運(yùn)用我講的內(nèi)容，解這道題是毫無(wú)壓力的。很快，同學(xué)們先把左右兩邊平方，就得到x2＝82，那么化簡(jiǎn)之后就得出x＝±8，很快就得出答案。接下來(lái)，我增加了難度，題目變?yōu)閨2x＋1|＝8，解x。這個(gè)題在絕對(duì)值里的未知數(shù)前面加了系數(shù)，而且后面還加了一個(gè)常數(shù)1，同學(xué)們遵循之前的方法，把等式左右兩邊平方，就可以得到(2x＋1)2＝82，把2x＋1看成一個(gè)整體，就可以得到2x＋1＝±8。當(dāng)2x＋1＝8時(shí)，x＝3.5；當(dāng)2x＋1＝-8時(shí)，x＝-4.5。所以x可以取兩個(gè)值，分別為3.5和-4.5。

四、幾何意義，明顯應(yīng)用

在解絕對(duì)值問(wèn)題的過(guò)程中，還可以運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行解題。x的絕對(duì)值的幾何意義是指在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，我們可以運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)來(lái)解題。此性質(zhì)比較簡(jiǎn)單，只有發(fā)現(xiàn)題目中的絕對(duì)值具有明顯的幾何意義時(shí)，運(yùn)用此性質(zhì)解題時(shí)才比較方便。因此，發(fā)現(xiàn)題目中的條件與此性質(zhì)有關(guān)系時(shí)，可大膽采用此性質(zhì)來(lái)解題。

例如，我在教學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)的必修5的“不等式”時(shí)，為了鍛煉同學(xué)們對(duì)絕對(duì)值的幾何意義的運(yùn)用，我在講完性質(zhì)之后做了一個(gè)小測(cè)試。測(cè)試的題目為：在數(shù)軸上，點(diǎn)A所表示的點(diǎn)是1，那么，到點(diǎn)A的距離等于4個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所表示的數(shù)是__。在聽完題目之后，有的同學(xué)直接在草稿紙上畫了一個(gè)數(shù)軸，并且標(biāo)出表示點(diǎn)A的點(diǎn)，再往右邊數(shù)了4個(gè)單位之后得到5的結(jié)論，就直接說(shuō)出了5。很顯然，他在考慮問(wèn)題時(shí)缺乏全面性。在聽到有的同學(xué)說(shuō)出5或者-3的答案時(shí)，他才恍然大悟，原來(lái)自己少考慮了一種情況。最后，我公布答案為5或者-3，并讓剛才出錯(cuò)的那位同學(xué)來(lái)說(shuō)明理由，讓他對(duì)此幾何意義的印象更加深刻。他采用數(shù)形結(jié)合的方法，在黑板上先畫出數(shù)軸，再標(biāo)上點(diǎn)A，向右數(shù)了4個(gè)單位為5，再向左數(shù)了4個(gè)單位為-3，他還向同學(xué)們說(shuō)明了解答此問(wèn)題時(shí)的注意事項(xiàng)，讓其他同學(xué)也引以為戒，不要再犯此類錯(cuò)誤。

在解題過(guò)程中，有的問(wèn)題的解決并不需要很多的技巧，只是對(duì)性質(zhì)的考查。主要考查的是對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用，那么，就需要學(xué)生認(rèn)真觀察，仔細(xì)思考，把答案考慮得更加全面，提高答案的準(zhǔn)確性。

結(jié) 語(yǔ)

教師要根據(jù)實(shí)際情況，針對(duì)特定類題型探索出更多的解題方法，讓學(xué)生掌握并學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，做到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

[1]張嘉桐,吳華.高中數(shù)學(xué)絕對(duì)值不等式的五類解法[J].考試周刊,2016,(13):56-57.

[2]李梓怡.高中數(shù)學(xué)絕對(duì)值不等式的試題類型探討[J].新課程(下),2017,(02):88.

朱衛(wèi)娟（1975），女，江蘇南通人，大學(xué)本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向是高中數(shù)學(xué)教學(xué)。