非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼

樊繼豪 陳漢武,2 李榮貴

(1東南大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院, 南京 211189)(2東南大學(xué)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)和信息集成教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 211189)

非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼

樊繼豪1陳漢武1,2李榮貴1

(1東南大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院, 南京 211189)(2東南大學(xué)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)和信息集成教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 211189)

針對(duì)絕大多數(shù)量子信道模型中發(fā)生量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤概率遠(yuǎn)小于發(fā)生量子相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤概率這一非對(duì)稱(chēng)的物理現(xiàn)象,基于經(jīng)典乘積碼與張量積碼構(gòu)造了非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼. 利用經(jīng)典乘積碼來(lái)糾正量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤,利用經(jīng)典張量積碼來(lái)糾正量子相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤.當(dāng)2個(gè)組成子碼皆滿足對(duì)偶包含條件時(shí),經(jīng)典乘積碼與張量積碼滿足對(duì)偶包含條件．基于3類(lèi)滿足對(duì)偶包含條件的經(jīng)典糾錯(cuò)碼,構(gòu)造了具有新的參數(shù)非對(duì)稱(chēng)量子糾錯(cuò)碼. 結(jié)果表明,該類(lèi)非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼具有顯著的非對(duì)稱(chēng)性．通過(guò)與已存在的非對(duì)稱(chēng)量子糾錯(cuò)碼對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),所構(gòu)造的部分非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼的參數(shù)優(yōu)于其他已知的非對(duì)稱(chēng)量子糾錯(cuò)碼.

量子糾錯(cuò)碼;非對(duì)稱(chēng)量子糾錯(cuò)碼;乘積碼;張量積碼

在量子計(jì)算與量子通信過(guò)程中, 量子系統(tǒng)和外部環(huán)境之間不可避免地會(huì)產(chǎn)生交互作用, 導(dǎo)致量子系統(tǒng)的相干性嚴(yán)重衰減, 產(chǎn)生量子消相干效應(yīng). 量子消相干效應(yīng)所造成的量子噪聲干擾是量子信息處理過(guò)程中所面臨的一大主要障礙. 為了保護(hù)量子信息、對(duì)抗量子消相干效應(yīng)以及其他量子噪聲影響, 學(xué)者們通過(guò)借鑒經(jīng)典糾錯(cuò)碼的冗余糾錯(cuò)思想, 提出了量子糾錯(cuò)碼理論[1].量子穩(wěn)定子碼構(gòu)造理論[2]則提供了由經(jīng)典加性碼構(gòu)造量子碼的統(tǒng)一構(gòu)造框架.

在絕大多數(shù)的量子力學(xué)系統(tǒng)中,量子錯(cuò)誤發(fā)生概率具有顯著的非對(duì)稱(chēng)性,發(fā)生量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤(X類(lèi)型錯(cuò)誤)的概率遠(yuǎn)小于發(fā)生量子相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤(Z類(lèi)型錯(cuò)誤)的概率. 為了在量子糾錯(cuò)過(guò)程中考慮這種非對(duì)稱(chēng)性,提出了非對(duì)稱(chēng)量子糾錯(cuò)碼的概念[3].

經(jīng)典乘積碼[4]通過(guò)對(duì)2個(gè)經(jīng)典線性碼的生成矩陣進(jìn)行張量積運(yùn)算,將所得矩陣作為經(jīng)典乘積碼的生成矩陣.利用乘積碼的構(gòu)造方法來(lái)構(gòu)造最小距離很大的線性碼.利用基于軟輸入/軟輸出的Chase行/列迭代譯碼器,乘積碼可以逼近香農(nóng)界[5]. 張量積碼則是利用2個(gè)線性碼的校驗(yàn)矩陣進(jìn)行張量積運(yùn)算,將運(yùn)算后所得矩陣作為張量積碼的校驗(yàn)矩陣,具有糾正多個(gè)突發(fā)錯(cuò)誤的能力[6]. Grassl等[7]基于張量積碼構(gòu)造了量子分組碼與量子卷積碼;La Guardia[8]基于經(jīng)典Reed-Solomon碼的乘積碼構(gòu)造了非對(duì)稱(chēng)量子乘積碼.

本文基于乘積碼與張量積碼構(gòu)造了非對(duì)稱(chēng)量子碼. 經(jīng)典乘積碼具有大的最小距離,用于糾正Z類(lèi)型錯(cuò)誤;經(jīng)典張量積碼具有較高的維數(shù),用于糾正X類(lèi)型錯(cuò)誤.

1 基本概念

1.1 非對(duì)稱(chēng)量子糾錯(cuò)碼

記C為復(fù)數(shù)域,對(duì)于正整數(shù)n, 記Vn=(Cq)?n=Cqn為復(fù)數(shù)域Cq的n次張量積,對(duì)非對(duì)稱(chēng)量子碼進(jìn)行如下定義.

定義1 記碼長(zhǎng)為n的q元非對(duì)稱(chēng)量子碼為Q=[[n,k,dz/dx]]q,那么Q為有限域Fq上希爾伯特空間Cqn的一個(gè)qk維子空間,它能夠同時(shí)糾正(dx-1)/2個(gè)量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤和(dx-1)/2個(gè)量子相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤.

文獻(xiàn)[3]給出了利用經(jīng)典線性碼來(lái)構(gòu)造非對(duì)稱(chēng)量子碼的結(jié)論.

進(jìn)一步,如果dz=wt(C2),dx=wt(C1),那么Q為純碼.

1.2 經(jīng)典乘積碼與張量積碼

經(jīng)典乘積碼通過(guò)對(duì)2個(gè)經(jīng)典線性碼的生成矩陣做張量積運(yùn)算,將所得矩陣作為乘積碼的生成矩陣. 令D1與D2表示參數(shù)分別為[n1,k1,d1]q與[n2,k2,d2]q的線性碼,并且D1,D2的生成矩陣分別為G1,G2,則D1與D2的乘積碼為

P=D1?D2

P的生成矩陣GP為G1與G2的張量積矩陣,即GP=G1?G2

乘積碼P的參數(shù)為[n1n2,k1k2,d1d2]q,其編碼結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖1.

圖1 乘積碼P=D1?D2的編碼結(jié)構(gòu)

令D1與D2的校驗(yàn)矩陣分別為H1與H2,則乘積碼P=D1?D2的校驗(yàn)矩陣為

式中,A1為k1×n1的矩陣,并且與H1張成整個(gè)向量空間;A2為k2×n2的矩陣,并且與H2張成整個(gè)向量空間.

乘積碼的解碼過(guò)程如下:假定乘積碼P根據(jù)圖1所示的編碼結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼,并且按行傳輸.在接收端,收到的長(zhǎng)度為n1n2的信息比特被重新按行排列為n1×n2的陣列結(jié)構(gòu),譯碼按照行/列譯碼的原則,即先進(jìn)行行譯碼再進(jìn)行列譯碼,并且可以迭代進(jìn)行行/列譯碼,以增強(qiáng)譯碼效果.譯碼復(fù)雜度為分別進(jìn)行行譯碼與列譯碼的復(fù)雜度之和,因此譯碼效率較高.

張量積碼則是利用2個(gè)線性碼的校驗(yàn)矩陣做張量積運(yùn)算,將所得矩陣作為張量積碼的校驗(yàn)矩陣.D1與D2的張量積碼為

T=D1?hD2

張量積碼T的校驗(yàn)矩陣為H1與H2的張量積,即

HT=H1?H2

T的參數(shù)為[n1n2,n1n2-ρ1ρ2,min {d1,d2}]q,其中,ρ1=n1-k1與ρ2=n2-k2分別為D1與D2的校驗(yàn)位數(shù).

2 非對(duì)稱(chēng)量子乘積碼-張量積碼的構(gòu)造

由定理1可知,非對(duì)稱(chēng)量子碼構(gòu)造的關(guān)鍵在于尋找2個(gè)滿足對(duì)偶包含條件的經(jīng)典碼. 由乘積碼與張量積碼的校驗(yàn)矩陣形式可知,如果其組成子碼皆滿足對(duì)偶包含條件,那么乘積碼與張量積碼亦滿足對(duì)偶包含條件.

因此,乘積碼P與張量積碼T是對(duì)偶包含的. 證畢.

如果D1與D2分別具有糾正l1與l2個(gè)突發(fā)錯(cuò)誤的能力,那么由文獻(xiàn)[4]可知,乘積碼P=D1?D2具有糾正max(n1l2,n2l1)個(gè)突發(fā)錯(cuò)誤的能力;由文獻(xiàn)[6]可知,張量積碼具有糾正l1個(gè)突發(fā)錯(cuò)誤子塊的能力. 證畢.

2.1 非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積Hamming碼

文獻(xiàn)[9]基于經(jīng)典Hamming碼構(gòu)造了一類(lèi)乘積碼,該類(lèi)乘積碼在進(jìn)行基于迭代的Turbo譯碼時(shí)可以逼近香農(nóng)界.下面利用滿足對(duì)偶包含條件的Hamming碼來(lái)構(gòu)造非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積Hamming碼.

表1列出了二元域(q=2)下m1與m2取值不同時(shí)所構(gòu)造出的部分二元非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積Hamming碼.

表1 非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積Hamming碼

2.2 非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積BCH碼

文獻(xiàn)[5]基于BCH碼構(gòu)造了乘積碼,該類(lèi)乘積碼在進(jìn)行基于軟輸入/軟輸出的Chase行/列迭代譯碼時(shí)可以逼近香農(nóng)界. 下面利用對(duì)偶包含BCH碼構(gòu)造非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼．為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),此處僅考慮基于狹義本原BCH碼的非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積BCH碼的構(gòu)造.

令F1與F2分別表示設(shè)計(jì)距離為δ1與δ2的狹義本原BCH碼,其參數(shù)分別為[n1,k1,δ1]q與[n2,k2,δ2]q,其中n1=qm1-1,n2=qm2-1,k1=n1-m1(δ1-1)(1-1/q),k2=n2-m2(δ2-1)(1-1/q),設(shè)計(jì)距離滿足如下條件:

δ1≤qm1/2-1-(q-2)m1為奇數(shù)

δ2≤qm2/2-1-(q-2)m2為奇數(shù)

冗余位數(shù)分別為

ρ1=m1(δ1-1)(1-1/q)

ρ2=m2(δ2-1)(1-1/q)

表2列出了F1=F2時(shí)基于對(duì)偶包含BCH碼所構(gòu)造出的部分非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積BCH碼.

表2 非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積BCH碼

2.3 非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積MDS碼

文獻(xiàn)[11-12]基于各類(lèi)經(jīng)典MDS碼構(gòu)造了大量新的碼長(zhǎng)稀疏的量子MDS碼. 下面基于對(duì)偶包含MDS碼來(lái)構(gòu)造非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積MDS碼.

由定理2可知,構(gòu)造非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積MDS碼的關(guān)鍵是尋找2個(gè)滿足對(duì)偶包含條件的經(jīng)典MDS碼. 令L1與L2分別表示參數(shù)為[n1,k1,d1]q與[n2,k2,d2]q并且滿足對(duì)偶包含條件的q元經(jīng)典MDS碼,其中k1=n1-d1+1,k2=n2-d2+1,3≤n1,n2≤q+1,2≤d1≤n1/2+1,2≤d2≤n2/2+1. 因此,存在參數(shù)為[[n1n2,k1k2-(d1-1)(d2-1),d1d2/min{d1,d2}]]q的非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積MDS碼.

表3列出了L1=L2時(shí)基于對(duì)偶包含MDS碼所構(gòu)造出的部分非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積MDS碼.

2.4 結(jié)果分析與對(duì)比

文獻(xiàn)[2]基于量子Hamming碼[[7,1,3]]構(gòu)造出級(jí)聯(lián)量子碼[[49,1,9]];文獻(xiàn)[13]將該類(lèi)碼應(yīng)用于容錯(cuò)量子計(jì)算中,以保護(hù)量子邏輯門(mén)免受噪聲干擾．與[[49,1,9]]級(jí)聯(lián)量子碼相比,本文表1中構(gòu)造的非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼[[49,7,9/3]]具有更高的碼率,同時(shí)具有和[[49,1,9]]相同的糾正Z類(lèi)型錯(cuò)誤的能力．

表3 非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積MDS碼

表3中的非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼[[49,21,9/3]]8與[[100,60,9/3]]11分別優(yōu)于文獻(xiàn)[8]中的非對(duì)稱(chēng)量子碼[[49,16,9/3]]8與[[100,55,9/3]]11．表3中的非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼的[[100,60,9/3]]9,[[100,60,9/3]]11與[[121,77,9/3]]11分別優(yōu)于文獻(xiàn)[14]中的[[100,50,9/3]]9,[[100,50,9/3]]11與[[121,11,9/3]]11．

3 結(jié)語(yǔ)

結(jié)合經(jīng)典乘積碼與張量積碼提出了非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼的構(gòu)造方法,并且根據(jù)3類(lèi)滿足對(duì)偶包含條件的經(jīng)典糾錯(cuò)碼構(gòu)造了具有新的參數(shù)非對(duì)稱(chēng)量子糾錯(cuò)碼. 非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼充分考慮了乘積碼與張量積碼在最小距離方面的非對(duì)稱(chēng)性,并利用各自的優(yōu)勢(shì)來(lái)分別糾正Z類(lèi)型錯(cuò)誤與X類(lèi)型錯(cuò)誤,能夠適應(yīng)量子信道的非對(duì)稱(chēng)性. 所構(gòu)造的部分非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼的參數(shù)優(yōu)于其他已知的非對(duì)稱(chēng)量子碼.如何基于軟輸入/軟輸出進(jìn)行非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼的迭代譯碼需要進(jìn)一步研究.

References)

[1]Shor P W. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory[J].PhysicalReviewA, 1995, 52(4): R2493-R2496. DOI:10.1103/physreva.52.r2493.

[2]Gottesman D. Stabilizer codes and quantum error correction[D]. Pasadena, CA, USA: California Institute of Technology, 1997.

[3]樊繼豪,陳漢武,阮越,等. 基于經(jīng)典Goppa碼的非對(duì)稱(chēng)量子穩(wěn)定子碼構(gòu)造[J].中國(guó)科學(xué): 信息科學(xué), 2013, 43(3): 407-417. Fan Jihao, Chen Hanwu, Ruan Yue, et al. Constructions of asymmetric quantum stabilizer codes based on classical Goppa codes[J].ScientiaSinicaInformationis, 2013, 43(3): 407-417. (in Chinese)

[4]MacWilliams F J, Sloane N J A.Thetheoryoferror-correctingcodes[M]. Amsterdam, the Netherlands: North-Holland,1981: 568-571.

[5]肖海林, 歐陽(yáng)繕, 謝武. 量子 Turbo 乘積碼[J]. 物理學(xué)報(bào), 2011, 60(2): 15-21. Xiao HaiLin,Ouyang Shan,Xie Wu. Quantum Turbo product codes[J].ActaPhysicaSinica, 2011, 60(2): 15-21.(in Chinese)

[6]Wolf J K. On codes derivable from the tensor product of check matrices[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 1965, 11(2): 281-284. DOI:10.1109/tit.1965.1053771.

[7]Grassl M, R?tteler M. Quantum block and convolutional codes from self-orthogonal product codes[C]//ProceedingsoftheIEEEInternationalSymposiumonInformationTheory. Adelaide, Australia, 2005: 1018-1022.

[8]La Guardia G G. Asymmetric quantum product codes[J].InternationalJournalofQuantumInformation, 2012, 10(1): 1250005. DOI:10.1142/s0219749912500050.

[9]Nickl H, Hagenauer J, Burkert F. Approaching Shannon’s capacity limit by 0.27 dB using simple Hamming codes[J].IEEECommunicationsLetters, 1997, 1(5): 130-132. DOI:10.1109/4234.625034.

[10]Aly S A, Klappenecker A, Sarvepalli P K. On quantum and classical BCH codes[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2007, 53(3): 1183-1188.DOI:10.1109/TIT.2006.890730.

[11]Chen Bocong, Ling San, Zhang Guanghui. Application of constacyclic codes to quantum MDS codes[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2015, 61(3): 1474-1484. DOI:10.1007/s10773-014-2204-8.

[12]Kai X, Zhu S, Li P. Constacyclic codes and some new quantum MDS codes[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2014, 60(4): 2080-2086. DOI:10.1109/tit.2014.2308180.

[13]Nielsen M A, Chuang I L. 量子計(jì)算與量子信息 [M]. 北京: 清華大學(xué)出版社,2015: 425-493.

[14]La Guardia G G. Asymmetric quantum Reed-Solomon and generalized Reed-Solomon codes[J].QuantumInformationProcessing, 2012, 11(2): 591-604. DOI:10.1007/s11128-011-0269-3.

Asymmetric quantum product and tensor product codes

Fan Jihao1Chen Hanwu1,2Li Ronggui1

(1School of Computer Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China) (2Key Laboratory of Computer Network and Information Integration of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 211189, China)

To solve the physical phenomenon that the probability of the quantum qubit-flipping errors is much less than that of the phase-flipping errors in many quantum channel models, the asymmetric quantum error-correcting codes (AQECCs), called as asymmetric quantum product and tensor product codes, are constructed based on classical product codes and tensor product codes. The product codes are used to correct the qubit-flipping errors and the tensor product codes are used to correct the phase-flipping errors. If the two component codes satisfy the dual containing conditions, then the resultant product codes and tensor product codes satisfy the dual containing conditions. A new class of AQECCs is constructed based on three classes of classical error-correcting codes satisfying the dual containing restrictions. The results show that that the proposed asymmetric quantum product and tensor product codes have obvious asymmetries. Compared with the known AQECCs, parts of the asymmetric quantum product and tensor product codes have better parameters than the known AQECCs.

quantum error-correcting code; asymmetric quantum error-correcting code; product code; tensor product code

第47卷第1期2017年1月 東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JOURNALOFSOUTHEASTUNIVERSITY(NaturalScienceEdition) Vol．47No．1Jan．2017DOI：10．3969/j．issn．1001-0505．2017．01．004

2016-07-10. 作者簡(jiǎn)介: 樊繼豪(1987—)，男，博士生；陳漢武(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，hw_chen@seu.edu.cn．

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61170321)、高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20110092110024)、江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20140823)、江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(CXZZ13_0105).

樊繼豪,陳漢武,李榮貴.非對(duì)稱(chēng)量子乘積-張量積碼[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,47(1):18-22.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.01.004.

TN911

A

1001-0505(2017)01-0018-05