對一道求三角形內(nèi)角平分線夾角題的探究

巨明杰+李紅紅

一、問題的提出

《義務教育數(shù)學課程標準》明確提出了學生要理解三角形角平分線的含義，探索并證明三角形、多邊形的內(nèi)角和。筆者在現(xiàn)行華東師大版七年級數(shù)學下冊第九章“三角形”的教學中，發(fā)現(xiàn)教材、教輔無不涉及“已知三角形的一個內(nèi)角，求另兩個內(nèi)角角平分線夾角”的問題。

如圖1所示，在△ABC中，∠A=α，點O是∠ABC與∠ACB的平分線BF和CE的交點，求∠BOC.

解∵BF和CE分別是∠ABC與∠ACB的平分線，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB.

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠α）=90°-∠α.

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-∠α）=90°+∠α.

該題是在已知三角形一個內(nèi)角的情況下，求出了另兩個內(nèi)角平分線的夾角。我們逐步引導學生將求兩內(nèi)角平分線的夾角改為一內(nèi)一外角或兩外角角平分線的夾角；或?qū)⑷切胃臑槎噙呅蔚那闆r作了深入探究，發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，激發(fā)了學生的學習興趣，在教學中收到了較好的效果。現(xiàn)介紹如下，僅供同仁們參考。

二、問題的探究

1.將內(nèi)角平分線改為外角平分線

情形一：求三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角

如圖2，在△ABC中，∠A=α，點O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，求∠BOC.

解∵BO和CO分別是∠ABC與∠ACD的平分線，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD.

∵2∠OCD=2∠OBC+∠α，

∴2（∠OCD-∠OBC）=∠α.

又∵∠BOC=∠OCD-∠OBC，即2∠BOC=∠α.

∴∠BOC=∠α.

情形二：求三角形的兩條外角平分線的夾角

如圖3，在△ABC中，∠A=α，點O是三角形兩外角∠DBC與∠ECB的平分線BO和CO的交點，求∠BOC.

解∵BO和CO分別是∠DBC與∠ECB的平分線，

∴∠OBC=∠DBC，∠OCB=∠ECB

∵2（∠OBC+∠OCB）=360°-（180°-∠α），

又∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），

∴2（180°-∠BOC）=180°+∠α，

∴2∠BOC=180°-∠α.∴∠BOC=90°-∠α.

2.將三角形改為多邊形

（1）四邊形的情形

情形一：如圖4，在四邊形ABCD中，點O是兩內(nèi)角∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點，證明：∠BOC=（∠A+∠D）.

證明∵BO和CO分別是∠ABC與∠DCB的角平分線，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠DCB.

∴2（∠OBC+∠OCB）=360°-（∠A+∠D）.

∴2（180°-∠BOC）=360°-（∠A+∠D），

∴360°-2∠BOC=360°-（∠A+∠D），∴∠BOC=（∠A+∠D）

情形二：如圖5，在四邊形ABCD中，點O是內(nèi)角∠ABC與外角∠DCE平分線BO和CO的交點，證明：∠BOC=（∠A+∠D）-90°.

證明∵BO和CO分別是∠ABC與∠DCE的角平分線，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCE=∠DCE.

180°-∠DCE+2∠OBC=360°-（∠A+∠D）

180°-2（∠OCE-∠OBC）=360°-（∠A+∠D），

又∵∠OCE-∠OBC=∠BOC.

∴180°-2∠BOC=360°-（∠A+∠D），即2∠BOC=（∠A+∠D）-180°，

∴∠BOC=（∠A+∠D）-90°.

情形三：如圖6，在四邊形ABCD中，點O是兩外角∠EBC與∠FCB平分線BO和CO的交點，證明：∠BOC=180°-（∠A+∠D）.

證明∵BO和CO分別是∠EBC與∠FCB的角平分線，

∴180°-2∠OBC+180°-2∠OCB=360°-（∠A+∠D），

又∵∠OCB+∠OBC=180°-∠BOC，

即360°-2（180°-∠BOC）=360°-（∠A+∠D），

∴∠BOC=180°-（∠A+∠D）.

（2）五邊形的情形

情形一：如圖7，在五邊形ABCDE中，點O是兩內(nèi)角∠ABC與∠BCD平分線和BO和CO的交點，則∠BOC=（∠A+∠D+∠E）-90°.

情形二：如圖8，在五邊形ABCDE中，點O是內(nèi)角∠ABC與外角∠DCF平分線和BO和CO的交點，則∠BOC=（∠A+∠D+∠E）-180°.

情形三：如圖9，在五邊形ABCDE中，點O是兩外角∠FBC與∠GCB平分線BO和CO的交點，則∠BOC=270°-（∠A+∠D+∠E）.

此情形一、情形二、情形三類似四邊形三種情形的證法，望讀者自證。

（3）n邊形的情形

通過上面的探究，我們發(fā)現(xiàn)多邊形相鄰的內(nèi)、外角平分線夾角與其余角的和有一定的關(guān)系。即對于任意一個n（n≥3）邊形A1，A2…An，其：

①相鄰兩內(nèi)角平分線的夾角

∠A2OA3=（A1+A4+A5…An）-（n-4）·90°；

②一內(nèi)角與相鄰一外角平分線的夾角

∠A2OA3=（A1+A4+A5…An）-（n-3）·90°；

③相鄰兩外角平分線的夾角

∠A2OA3=（n-2）·90°-（A1+A4+A5…An）.

以上內(nèi)容的探究過程主要運用角平分線的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和定理。借此平臺與同行們交流，希望通過對此問題的探究使得我們對教材的研究能夠更深入一些。

該文在寫作過程中得到了天水師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院齊邦交老師的悉心指導，在此表示衷心的感謝！