高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題高考題型及解題方法研究

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 吳雅琴

高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題高考題型及解題方法研究

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 吳雅琴

高中數(shù)列知識(shí)不僅是高中階段的重要數(shù)學(xué)知識(shí)，還是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).從內(nèi)容的分支與構(gòu)成上來(lái)看，數(shù)列部分的知識(shí)具有較強(qiáng)的基礎(chǔ)性和發(fā)展性，能夠與高中數(shù)學(xué)中的很多知識(shí)相結(jié)合，構(gòu)成新的知識(shí)點(diǎn)來(lái)考查學(xué)生.例如，數(shù)列經(jīng)常與函數(shù)、不等式、解析幾何等內(nèi)容相結(jié)合來(lái)出題.另外，數(shù)列類考題多數(shù)與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)，是數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用最為突出的案例，因此，研究高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列問(wèn)題，不僅有助于提高學(xué)生高考數(shù)學(xué)成績(jī)，還有利于學(xué)生培養(yǎng)學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力.［1］

一、高考數(shù)列部分考點(diǎn)分類概述

通過(guò)對(duì)近些年高考數(shù)學(xué)數(shù)列部分考題的分析可以看出，數(shù)列部分占據(jù)著較大的一部分分值，并且很多壓軸題都涉及了數(shù)列的相關(guān)知識(shí).

從數(shù)列考點(diǎn)的分析上來(lái)看，在等差數(shù)列中，等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用、與一次函數(shù)的關(guān)系是要求學(xué)生必須掌握的知識(shí).在等比數(shù)列中，等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用、與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系是要求學(xué)生必須掌握的知識(shí).而數(shù)列的概念、表示方法、自變量函數(shù)、數(shù)列的遞推公式則是要求學(xué)生了解就可以.從高考數(shù)學(xué)真題的統(tǒng)計(jì)情況來(lái)看，多省對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查是采用一個(gè)小題和一個(gè)大題相結(jié)合的方式，僅有個(gè)別省考查一個(gè)小題，但是小題考查的知識(shí)點(diǎn)也較為全面.

通過(guò)對(duì)2015年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷的數(shù)列部分考題內(nèi)容的統(tǒng)計(jì)可以看出：數(shù)列通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)考了48次，考查的難度偏中等，其考查的主要形式是通過(guò)已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式；已知前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式；已知數(shù)列中某幾項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式.數(shù)列前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)考了37次，主要就是考查學(xué)生對(duì)數(shù)列求和方法的掌握情況，是高考數(shù)學(xué)中最為常見(jiàn)的考試類型.數(shù)列的性質(zhì)相關(guān)知識(shí)考了45次，其考查的難度處在中等水平，主要涉及了選擇題、填空題，考試的內(nèi)容主要包含了等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)、等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性和周期性.數(shù)列的概念相關(guān)知識(shí)考了16次，數(shù)列與函數(shù)綜合類問(wèn)題考了9次，雖然該部分的知識(shí)出現(xiàn)的次數(shù)較少，但是所占的分值較多，試題的難度也相對(duì)較大.數(shù)列與不等式相結(jié)合的問(wèn)題考了19次，多數(shù)是以壓軸題的形式出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)試卷當(dāng)中，主要涉及不等式的性質(zhì)和數(shù)列的性質(zhì).數(shù)列與解析幾何相關(guān)的問(wèn)題考了1次，但也是以解答題的形式出現(xiàn)的，所占分?jǐn)?shù)也是不可小覷.

二、數(shù)列問(wèn)題高考題型的分類及解法

1.求數(shù)列通項(xiàng)公式類考題

數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)中的核心部分，是研究數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)，因此，研究數(shù)列通項(xiàng)公式部分的知識(shí)，對(duì)于學(xué)生的數(shù)列學(xué)習(xí)具有不可替代的作用.求數(shù)列通項(xiàng)公式類考題是高考數(shù)學(xué)中較為常見(jiàn)的考題，主要涉及已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式；已知前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)公式等相關(guān)內(nèi)容.

第一，我們可以先采用最基本的觀察歸納法來(lái)求解.

例1（2014年福建省的數(shù)學(xué)考題）根據(jù)下列各組數(shù)據(jù)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（1）3，15，35，63，…

（2）0，3，8，15，24，…

村長(zhǎng)呃你屁股坐在哪邊邊，怎么老替他們說(shuō)話，你應(yīng)該幫我講話。我投了你的票的，你是我的村長(zhǎng)，我是你的村民。

（4）1，2，2，4，3，8，4，16，5，…

這類問(wèn)題，學(xué)生需要仔細(xì)觀察，進(jìn)而分析、猜想、歸納就可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

分析：（1）這組數(shù)列就可以看成13，35，57，79，…，進(jìn)而就可以得出an=（2n-1）（2n+1）=4n2-1.（2）在原來(lái)數(shù)列的基礎(chǔ)上都加上1，得出新的數(shù)列1，4，9，16，25，…，進(jìn)而明顯地看出an=n2-1.（3）對(duì)于分?jǐn)?shù)類的數(shù)列，可以將分子與分母分開(kāi)來(lái)看待，之后再將它們整合到一個(gè)分?jǐn)?shù)當(dāng)中，這樣就可以很容易的解決.（4）對(duì)于這類數(shù)列可以通過(guò)對(duì)它們的奇偶項(xiàng)分開(kāi)來(lái)看待，就可以很輕松的發(fā)現(xiàn)規(guī)律：奇數(shù)項(xiàng)為1，2，3，4，5，…，偶數(shù)項(xiàng)為2，4，8，16，…，將它們匯總就可以求出它的通項(xiàng)公式.

第二，我們可以先采用迭代法和累加法相結(jié)合的方式來(lái)求解.

對(duì)于知道a1的值，并且an+1=f（an）的題型，我們就可以利用迭代法對(duì)它進(jìn)行逐次遞減“下標(biāo)值”的方式求解.對(duì)于知道a1的值，并且an+1-an=f（n）的題型，就可以利用累加法來(lái)求解.

例2 （2015年浙江省高考數(shù)學(xué)題）已知數(shù)列｛an｝滿足條件，并且

分析：這一題目重點(diǎn)考查數(shù)列的遞推關(guān)系和不等式的性質(zhì)問(wèn)題，在已知條件中已經(jīng)知道a1的值，并且an+1=f（an），因此，我們就可以利用迭代法來(lái)求an，再通過(guò)an+1=表示出，從而求出該題.

2.求數(shù)列前n項(xiàng)和類考題

數(shù)列求和問(wèn)題是數(shù)列中常見(jiàn)的問(wèn)題之一，對(duì)于這類問(wèn)題是有一定的技巧可尋的.最簡(jiǎn)單和常見(jiàn)的就是利用公式法來(lái)解題，對(duì)于那些特征不是很明顯的就需要通過(guò)其他的方法來(lái)完成.

第一，倒序相加法，如果在一個(gè)數(shù)列當(dāng)中，開(kāi)始和末尾相等距離的兩個(gè)數(shù)的和是一個(gè)固定的常數(shù)，就可以利用倒序相加的方法求解，這是常用的一種方法.

第二，錯(cuò)位相減法，如果一個(gè)數(shù)列中滿足“｛an｝是等差數(shù)列，｛bn｝是等比數(shù)列”的條件，求｛an·bn｝前n項(xiàng)的和.可以在和式兩側(cè)同時(shí)乘以｛bn｝的公比，然后再作差求解.

例4 （2015年山東省高考數(shù)學(xué)題）數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)的和為Sn，并且2Sn=3n+3.

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式.

（2）如果數(shù)列｛bn｝滿足條件anbn=log3an，求｛bn｝前n項(xiàng)的和.

解析：（1）由已知條件和關(guān)系式an=Sn-Sn-1（n≥2）即可求出結(jié)果.

（2）由第（1）問(wèn)的結(jié)果可以表示出｛bn｝的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求出｛bn｝的前n項(xiàng)和.因?yàn)閱?wèn)題（1）中已經(jīng)求出an，又因?yàn)閍nbn=log3an，那么，當(dāng)n≥2時(shí)，b=n31-n］，那么3Tn=1+［1×30+2×3-1+3×3-2+…+（n-1）×32-n］.

3.等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)類考題

對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)的問(wèn)題要注意性質(zhì)的應(yīng)用，“如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq”的性質(zhì)只有當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同的時(shí)候才能成立.學(xué)生不能夠?qū)π再|(zhì)生搬硬套，否則就會(huì)導(dǎo)致做題錯(cuò)誤.

常見(jiàn)的性質(zhì)有：如果數(shù)列｛an｝，｛bn｝是等差數(shù)列，那么 ｛kan+mbn｝ 也是等差數(shù)列；am=an+（m+n）d可以和d=相互推導(dǎo)（m≠n，m，n∈N+）；項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列｛an｝：S2n=n（a1+2an）=n（an+an+1）；在窮等比數(shù)列中，如果項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，那么

1.孟祖國(guó).高中數(shù)列的有效教學(xué)研究［D］.武漢：華中師范大學(xué)，2011.

2.毛仕理.透析高考命題特點(diǎn)，辨清備考復(fù)習(xí)航向［N］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（1）.F