☉廣東省惠州市第一中學(xué)高中部 李曉波
☉廣東省惠州市第一中學(xué)高中部 李海媚
2017年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科21題典型錯(cuò)誤分析與教學(xué)建議*
☉廣東省惠州市第一中學(xué)高中部 李曉波
☉廣東省惠州市第一中學(xué)高中部 李海媚
2017年的高考已落下帷幕,今年的全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科21題普遍反映試題較往年簡單,但在閱卷中筆者發(fā)現(xiàn)考生問題頻出,平均分很低(不到1分).為了把學(xué)生的“錯(cuò)題資源”變?yōu)橛行У摹敖虒W(xué)資源”,變“誤”為“寶”,下面將呈現(xiàn)考生在解答本題時(shí)出現(xiàn)的一些典型錯(cuò)誤,并剖析失誤的原因,以及對今后教學(xué)的建議,與同仁分享.
題目 (2017年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科21題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性
(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
我們先來看本題第一問解答中考生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤.我們往往有種慣性思維,認(rèn)為第一問應(yīng)該是所謂的“送分題”,事實(shí)上,第一問出現(xiàn)的錯(cuò)誤最多,而且一旦第一問出錯(cuò),將很大程度影響第二問的解答.
1.第一問求導(dǎo)錯(cuò)誤
(1)f′(x)=ae2x+(a-2)ex-1;(2)f′(x)=2axe2x-1+(a-2)·ex-1;(3)f′(x)=2ae2x+(a-2)ex;(4)f′(x)=2aex+(a-2)ex-1;(5)f′(x)=2ae2x-(a-2)ex-1;(6)f′(x)=2aex+(a+2)ex-1.
剖析:第(1)種錯(cuò)誤最多,主要是學(xué)生不知道要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則;第(2)種錯(cuò)誤是把a(bǔ)e2x當(dāng)成了冪函數(shù)來求導(dǎo);第(3)(4)(5)(6)種錯(cuò)誤主要是抄漏數(shù)字或抄錯(cuò)符號,都是學(xué)生的筆誤.以上情況總的來說都屬于計(jì)算能力不足的問題.
2.第一問不會因式分解或因式分解錯(cuò)誤
f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=2at2+(a-2)t-1=(at+1)(2t-1).
剖析:因式分解錯(cuò)誤,主要是因?yàn)槭窒喑说臅r(shí)候符號弄反.
3.第一問討論單調(diào)性的分類錯(cuò)誤或分類不全
(1)分a<2,a=2,a>2三類討論;
(2)分a<0,a>0討論,漏了a=0;
(3)f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(3a-2)ex-1分三類討論.
剖析:第(1)種分類學(xué)生主要受到了(a-2)ex的影響;第(2)種分類主要漏了a=0,不全面,缺乏數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性;第(3)種錯(cuò)誤是因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤,學(xué)生以為可以把ex與e2x合并在一起,結(jié)果也導(dǎo)致了分類的錯(cuò)誤.
4.第一問利用換元法令t=ex,沒有注意t>0,最后沒有把g(t)還原為f(x)
學(xué)生有換元的意識,但容易忽略換元后必須先討論新元t的取值范圍,其實(shí)這也是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)性的問題.
5.第二問中對函數(shù)存在零點(diǎn)的問題本質(zhì)理解不到位
剖析:學(xué)生認(rèn)為先減后增的函數(shù),只需要保證極小值小于0,就可以保證函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)(類似于二次函數(shù)),對函數(shù)存在零點(diǎn)的問題本質(zhì)理解不到位,同時(shí)也缺乏數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性.
6.不會利用函數(shù)的思想處理不等式的問題
剖析:學(xué)生不會利用函數(shù)的思想處理不等式的問題,事實(shí)上,只要重新構(gòu)造一個(gè)新函數(shù),對新函數(shù)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性即可求出參數(shù)的范圍.
7.對于較為復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及化簡能力不強(qiáng)
剖析:對于較為復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及化簡能力不強(qiáng).
8.不善于利用極限思想
在開展微課設(shè)計(jì)時(shí),不僅要從具體的內(nèi)容上來進(jìn)行研究,同時(shí)也要控制好微課的時(shí)間,加深學(xué)生對知識的理解。所以在教學(xué)中要保證微課時(shí)間上的有效性,通過對知識進(jìn)行提煉,在綜合學(xué)生實(shí)際情況的同時(shí)來保證微課內(nèi)容的準(zhǔn)確性,實(shí)現(xiàn)對時(shí)間的合理控制,保證微課的有效性,為下一階段教育活動的開展奠定基礎(chǔ)。如在閱讀教學(xué)中就可以從培養(yǎng)學(xué)生寫作能力上出發(fā),利用簡短的微課來激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,幫助學(xué)生掌握好寫作方法,提高學(xué)習(xí)的效果。
剖析:學(xué)生很容易錯(cuò)誤地認(rèn)為先增后減的函數(shù)都像開口向下的二次函數(shù)一樣最后減到負(fù)無窮,事實(shí)上借助“洛必達(dá)法則”可輕松解決.
1.計(jì)算能力
對于數(shù)學(xué)計(jì)算的問題,我們往往有一個(gè)誤區(qū),認(rèn)為小學(xué)生才需要培養(yǎng)數(shù)學(xué)計(jì)算的能力,而高中生需要掌握的是宏觀思考的能力,不再需要培養(yǎng)數(shù)學(xué)計(jì)算的能力.其實(shí)這是有失偏頗的,數(shù)學(xué)計(jì)算是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ),只要學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識,就必須強(qiáng)化數(shù)學(xué)計(jì)算的能力,尤其在全國卷的背景下,計(jì)算難度加大,一旦學(xué)生出現(xiàn)計(jì)算出錯(cuò),后面的所有過程可能都是錯(cuò)的或者根本無法進(jìn)行下去.
教師在平時(shí)的教學(xué)中,要多引導(dǎo)學(xué)生掌握一些常用的數(shù)學(xué)運(yùn)算的技巧、方法和規(guī)則,可以精選一些計(jì)算量相對懸殊較大的題目,用充裕的時(shí)間去想去做,并結(jié)合這些實(shí)際題目適時(shí)靈活地運(yùn)用概念、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式、合理地使用數(shù)學(xué)思想方法.從而達(dá)到簡化計(jì)算、提高計(jì)算速度的目的.
2.練好基本功
函數(shù)的題目時(shí)常簡明而清新,但要求學(xué)生有較好的函數(shù)基本功,學(xué)生應(yīng)深刻掌握函數(shù)的基本概念、性質(zhì),熟悉一些典型題的基本方法,比如函數(shù)單調(diào)性的求法,含參問題的分類討論方法,零點(diǎn)問題的處理策略有哪一些等.
3.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性
所謂數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,就是指對數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述必須精確,結(jié)論的論證必須嚴(yán)格、周密,整個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容被組織成一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬒到y(tǒng).[1]
數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性思維,滲透到平時(shí)教學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)中,教師不僅要注重于學(xué)生的答案,更要關(guān)注學(xué)生的解答過程,是否能做到“言之有理,得之有故”.學(xué)生平時(shí)解題的不嚴(yán)謹(jǐn),其實(shí)也就反映了思考過程的不嚴(yán)謹(jǐn),長此以往就會造成高考中失誤,因此我們一定要讓學(xué)生在平時(shí)解答過程的每一步都做到有理才答的習(xí)慣,把可能的疑問和不確定性在平時(shí)就一個(gè)個(gè)攻克掉,讓數(shù)學(xué)解題中的每一步驟都有據(jù)可查.
4.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維
發(fā)散性思維是指從同一問題中產(chǎn)生出各種各樣的眾多的問題,并在處理這些問題中尋找多種的正確途徑的一種思維模式.[2]
在傳統(tǒng)的教學(xué)中,為了提高做題的效率,我們可能經(jīng)常強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生掌握最簡單、最常用的一些方法,同時(shí)通過大量題目,利用題海戰(zhàn)術(shù)來鞏固這些所謂的最佳解題思路、解題方法,長此以往,學(xué)生就會把思維固定在一個(gè)模式上,而不會想著從其他的角度去解決問題,使得思維形成了一個(gè)定式,這種情況對于學(xué)生的發(fā)散性思維是非常不利的.因此,作為一名數(shù)學(xué)教師,我們一定要改變過去傳統(tǒng)的教學(xué)思路、解題方法,敢于打破常規(guī),努力在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.我們要講究方法,在探究中培養(yǎng),在質(zhì)疑中培養(yǎng),在開放中培養(yǎng),在求異中培養(yǎng),在練習(xí)中培養(yǎng),一旦學(xué)生形成了較強(qiáng)的發(fā)散性思維能力,不僅僅有利于搞好數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí),對于其他知識的學(xué)習(xí)也是一個(gè)非常有利的工具,這樣就為我們成為具有綜合素質(zhì)的人才打下了良好的基礎(chǔ).
5.尖子生需學(xué)會洛必達(dá)法則的簡單應(yīng)用
高考是選拔考試,數(shù)學(xué)的區(qū)分度高,有利于高校選拔具有學(xué)習(xí)潛能的人才.近年來高考試卷中的壓軸題常是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題,其中有關(guān)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍就是重點(diǎn)考查的一類題型,此類問題使用“洛必達(dá)法則”去處理是巧妙而有效的.同時(shí),初等數(shù)學(xué)教學(xué)中,向?qū)W生滲透極限等高等數(shù)學(xué)思想,對以后學(xué)好高等數(shù)學(xué)具有很大的實(shí)際意義.而在極限的理論中,“洛必達(dá)法則”發(fā)揮著重要的作用.[3]
1.沈海瀾.從一案例談高中數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性思維的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2012(5).
2.余振賢.也談數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)[J].成才之路,2010(5).
3.李曉波.結(jié)合“洛必達(dá)法則”巧解2016年全國新課標(biāo)Ⅰ卷壓軸題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2016(7).F
*本文系廣東省教育科學(xué)“十三五”課題“運(yùn)用‘問題串’開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究”(課題批準(zhǔn)號:2017YQJK134)的研究成果.