2017年國(guó)內(nèi)外六道不等式競(jìng)賽試題探析

☉廣西恭城縣恭城中學(xué) 韋興洲

2017年國(guó)內(nèi)外六道不等式競(jìng)賽試題探析

☉廣西恭城縣恭城中學(xué) 韋興洲

2017年國(guó)內(nèi)外高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽陸續(xù)收官，不等式試題精彩紛呈，筆者摘取其中6道試題進(jìn)行思考，有所收獲.

題目1（2017年北京大學(xué)夏令營(yíng)數(shù)學(xué)試題）求證：在△ABC中，cosA+cosB+cosC＞1.

證法1：在△ABC中，由A+B+C=π，得cosC=cos［π-所以，結(jié)合］上單調(diào)遞減，得.利用三角函數(shù)的和差化積公式得cosA+

證法3：不妨設(shè)0＜A≤B≤C＜π.

綜合（1）（2）（3），命題得證.

評(píng)注：在△ABC中，當(dāng)A→0時(shí)，B+C→π，進(jìn)而cosA+cosB+cosC→1.題目1與1965年民主德國(guó)的一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題相呼應(yīng)，該題為：在△ABC中，求證：cosA+cosB+cosC≤，并說(shuō)明何時(shí)等號(hào)成立.

題目2（2017年北京大學(xué)夏令營(yíng)數(shù)學(xué)試題）已知a，，求證：

證明：由a，b，c＞0，abc=12，得. 而，從而原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

題目3（2017年塞浦路斯數(shù)學(xué)奧林匹克試題）已知x，y，z＞0，且x+y+z≥xyz，求證

證明：令，則.結(jié)合x(chóng)，y，z＞0，且x+y+z≥xyz，得a，b，c＞0，且另一方面：從而原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.

題目4（2017年伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克試題）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x4-y4=x-y，求證：

證法1：顯然x2≠y2，結(jié)合平方差公式、立方差公式及得而，即（*）式成立，從而目標(biāo)不等式成立.

證法2：顯然x2≠y2，令x+y=t，結(jié)合x(chóng)4-y4=x-y?（x2+y2）（x+y）=1，得由，得0＜t3＜2.另一方面：由0＜t3＜2得（**）式成立，從而目標(biāo)不等式成立.

評(píng)注：在證法1中，由于x2≠y2，故的等號(hào)無(wú)法取到，在證法2中，由x2≠y2推出0＜t3＜2，故（t3-1）2≤1中的等號(hào)無(wú)法取到，而且證明過(guò)程中并沒(méi)有用到x，y都是正實(shí)數(shù)這一條件，故結(jié)論加強(qiáng)為：若兩實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足則.根據(jù)證明過(guò)程可得，當(dāng)且

題目5（2017年基輔數(shù)學(xué)節(jié)試題）若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2≥y，y2≥x，求證

證明：（1）當(dāng)x≤0時(shí)，同理可證：當(dāng)y≤0時(shí)即當(dāng)x≤0或y≤0時(shí)，

先研究y2≥x≥y≥1時(shí)的情形.當(dāng)y=1時(shí)，得x=1，此時(shí)

當(dāng)y2≥x≥y＞1時(shí)，構(gòu)造函數(shù)則則＞0，即g（x）在［y，y2］上單調(diào)遞增，結(jié)合g（y）=（1-y2）（y2+1）＜0且g（y2）=y8-2y5+2y4-2y3+1=（y-1）（2y6+2y5+3y4+2y3+3y2+2y+1）＞0，從而x0∈［y，y2］，使得g（x0）=0.所以（fx）在［y，x0］上單調(diào)遞減，在［x0，y2］上單調(diào)遞增，則（fx）的最大值為（fy）與（fy2）中的較大者.而當(dāng)y2≥x≥y＞1時(shí)1，且.所以當(dāng)y2≥x≥y≥1時(shí)，（fx）≤1.同理可證，當(dāng)x2≥y≥x≥1時(shí)，

評(píng)注：由g（x）在［y，y2］上單調(diào)遞增，可得f（x）在［y，y2］上單調(diào)遞增或先減后增，進(jìn)而f（x）的最大值在x=y或x=y2處取得.另外，可以平移證明過(guò)程獲得結(jié)論.題目5和題目6都體現(xiàn)了從函數(shù)的視角探究不等式，繁中有簡(jiǎn)，樸素自然.

題目6（2017年羅馬尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題）若n∈N*，求證

評(píng)注：遷移證明方法并注意到函數(shù)的奇偶性可得下列結(jié)論.

對(duì)n∈N*，x∈［0，π］恒成立.取

（1）sinmx≥msinx對(duì)m∈（0，1］，x∈［0，π］恒成立.

（2）sinmx≤msinx對(duì)m∈（0，1］，x∈［-π，0］恒成立.

解析上述試題過(guò)程中，應(yīng)用了柯西不等式、權(quán)方和不等式、構(gòu)造函數(shù)，以及凹凸函數(shù)的性質(zhì)產(chǎn)生的搭橋法，有一題多解，有結(jié)論推廣，得以管窺2017年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽不等式試題之部分特點(diǎn).筆者水平有限，在此拋磚引玉，請(qǐng)同行指導(dǎo).