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    教學要注重思想方法的整合
    ——以函數(shù)思想為例

    2017-01-28 16:26:30江蘇省溧陽市溧陽中學楊珍輝
    中學數(shù)學雜志 2017年23期
    關鍵詞:中學數(shù)學方程筆者

    ☉江蘇省溧陽市溧陽中學 楊珍輝

    教學要注重思想方法的整合
    ——以函數(shù)思想為例

    ☉江蘇省溧陽市溧陽中學 楊珍輝

    中學數(shù)學的學習離不開解題,學生的數(shù)學能力和素養(yǎng)都是通過不斷解題獲得提升和增加的.在這一學習過程中,我們不難發(fā)現(xiàn)學生的學習更多是停留在問題的解決上,大多數(shù)學生是不會思考問題為什么這樣解,這樣的解決方式是通性通法還是誤打誤撞?浙江大學金蒙偉教授這樣評價中學數(shù)學教學:現(xiàn)在的教學總欠缺點兒一針見血的味道,在那里繞來繞去,教師把最核心的知識點和思想講透就輕松解決了,這說明我們教學還沒有能夠做到很好的梳理.

    筆者可以這樣理解教授的話:從高等數(shù)學的觀點來說,中學數(shù)學是為其打下扎實的基礎,主要是在運算能力和思維發(fā)散方面,而不是在技巧和技能上要求過高,縱觀模擬卷和高考真卷,最大的不同在于模擬卷往往在技巧上的要求高之又高,而高考真題卻是樸實無華.這反映了我們的教學不能再拘泥于技能和技巧,要從知識的本質和思想的深度上做出合適的調整,這樣的教學是有啟發(fā)的、有思維的、有導向的,這樣的教學是符合課程標準理念的,是對學生的將來發(fā)展負責.本文以函數(shù)思想在中學數(shù)學教學中的運用為切入點,結合案例談一談教學中思想方法的滲透.

    一、教學亟需注重整合

    眾所周知,當下的中學數(shù)學教學主要是依賴這樣的套路:其一,用快速的節(jié)奏將必須的教材上完,因為進度快導致不少學生難以跟上知識的進展,大多數(shù)學生在學習中處于一種“半成熟”狀態(tài),更讓筆者困惑的是:現(xiàn)在不少教師的一般教學過程變得更為簡單,新課更多的講題型、講解題技巧,復習課用各種教輔資料進行反復訓練;其二,用高三一整年的時間進行反復訓練,達到基本知識熟練的目的,但是對于難題教學并沒有仔細的思考和有效的校本化整合,屬于重復勞動過度,有效開發(fā)整合太少.正是基于這兩方面的因素,學生學習非常勞累,獲得效果也比較低微.筆者認為要使得教學,特別是復習教學更為高效,需要橫向縱向對知識進行開發(fā),將教學資源進行有效整合,這是提高效率最好的辦法.筆者以數(shù)學思想一課為例進行校本化整合,首先關注選材:

    選材:(1)方程(log4x)2+alog4x+4-2a=0在[16,+∞)上有兩不等實根,求a的取值范圍.

    (2)對于任意α∈[-π,π],不等式cos2α+(4-a)sinα+2a-5<0恒成立,求a的取值范圍.

    (3)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=m,前m項和Sm=n(m≠n),求前m+n項的和Sm+n.

    意圖:筆者在一次數(shù)學思想方法教學過程中,以函數(shù)思想為例進行了課程校本化設計,即做到了針對學情的有效開發(fā),更是通過不同問題的展示,將函數(shù)思想方法融入到教學中,提升學生對于問題的理解和深思.筆者選擇的三個基本問題涉及方程問題、不等式問題、數(shù)列問題.這些問題在基本處理方式上都有各自獨立的基本處理方式,筆者選擇這些問題的目的,是引導學生思考如何在中學數(shù)學最為核心的知識架構上解決問題,這才是中學數(shù)學學習的最需要向學生滲透的知識本質——函數(shù).

    二、方程問題中的函數(shù)思想

    方程與函數(shù)本身就是一個整體,但是不少學生總是在這里缺乏足夠的聯(lián)系思考,方程問題一味的方程解決,不善于利用函數(shù)思想去思考、辯解,導致問題解決效率低下.如方程根與系數(shù)關系中不少類似的問題用方程角度是非常煩瑣的,比如x2+mx-2m+1=0的兩根分別分布在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.用函數(shù)思想就比較輕松的建立這種聯(lián)系,獲得了高效的解決.讓我們回頭思考選材中的第一個問題:方程(log4x)2+alog4x+4-2a=0在[16,+∞)上有兩不等實根,求a的取值范圍.

    分析:站在系統(tǒng)的高度,首先跟學生一起思考問題解決的方向為什么是函數(shù)思想的介入,如何讓函數(shù)思想介入成為解決問題的主流和必然.不妨分解問題來看:第一步,顯然是換元思想的介入,關于x的方程可用換元的思想,設log4x=t,則方程就等價于t2+at+4-2a=0在t∈[2,+∞)上有不同兩解;第二步,根與系數(shù)的關系利用函數(shù)模型解決成為一種常態(tài),所以等價于函數(shù)f(t)=t2+at+4-2a有兩個大于等于2的零點,則需滿足解得

    不難發(fā)現(xiàn),這里函數(shù)思想的滲透是一種必然趨勢,這是因為換元之后的問題是方程問題,而方程是函數(shù)的特殊情形,因此用函數(shù)思想解決本問題是水到渠成的事.

    三、不等式問題中的函數(shù)思想

    不等式與函數(shù)也是緊密聯(lián)系的,從初中學習的一元二次方程、一元二次不等式以及二次函數(shù)之間緊密的聯(lián)系可知,不等式問題的解決中全面滲透著函數(shù)思想,將不等式問題轉換為函數(shù)問題是解決問題的常用方法.以上述設計問題為例:對于任意α∈[-π,π],不等式cos2α+(4-a)sinα+2a-5<0恒成立,求a的取值范圍.

    分析:要解決本題,首先思考的正是換元角度的介入,設cosα=x,α∈[-π,π],則x∈[-1,1],原題就等價于對于任意x∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,求a的取值范圍.這一步是學生基本能想到的.接下去的問題涉及二次不等式恒成立問題的處理,請學生思考如何處理二次不等式.教師引導學生轉化為二次函數(shù),并利用二次函數(shù)的性質進而轉化為求函數(shù)最值或者變參分離為a>f(x)max或a<f(x)min解題.

    解法1:(利用函數(shù)思想,轉化為最值求解)可令函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a,題意等價于f(x)min>0,x∈[-1,1],函數(shù)

    綜上得a<1.

    解法2:(利用二次函數(shù)圖像特點及二次方程根的分布)函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)(x+a-2)的兩根為2和2-a,因為二次函數(shù)開口向上,所以只需f(x)<0的解集與[-1,1]的交集為空集即可,則x2=2-a>1,即a<1.

    解法3:(參變分離)x2+(a-4)x+4-2a>0?a(2-x)<x2-4x+4,因為x∈[-1,1],則2-x>0,則解決該函數(shù)最小值),易得2-x的最小值為1,所以a<1.

    不難發(fā)現(xiàn),該不等式恒成立問題的處理是比較常見的轉換為二次函數(shù)問題,從問題的解決來看,筆者將不等式轉化為函數(shù)問題,這是函數(shù)思想貫穿于知識始終的體現(xiàn),不同的是三種解決方式體現(xiàn)了函數(shù)思想介入后不同函數(shù)模型的使用,用解法1的二次函數(shù)模型是常態(tài),但是需要分類討論思想幫助;解法2利用了函數(shù)的零點,其難度在于學生自身是否善于觀察;解法3是隨著函數(shù)思想的深入,最受學生歡迎的參變分離方式,該方式研究的函數(shù)是確定的,因此最值的求解自然也就簡單多了.在不等式中滲透函數(shù)思想,成為函數(shù)思想方法教學中較為主導的方向.

    四、數(shù)列問題中的函數(shù)思想

    數(shù)列的本質恰恰是函數(shù),因此數(shù)列問題往往可以從函數(shù)角度切入,而且函數(shù)思想的運用大大簡化了數(shù)列運算的量,從而獲得了較為簡單的計算方式.以上述選擇的問題為例:等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=m,前m項和Sm=n(m≠n),求前m+n項的和Sm+n.

    分析:本題對于一般學生而言,基本量的運算思路是不言而喻的,但是學生往往難以算到最后的狀態(tài),究其原因是基本量a1和d的計算稍顯煩瑣,導致了不少學生無法理清之間的關系,從函數(shù)思想的角度來說,等差數(shù)列求和公式的本質是一種特殊的函數(shù)模型,有了這一層面的深刻理解,函數(shù)思想解決本問題也是自然而然的事.等差數(shù)列求和公式,即用二次函數(shù)的觀點來看待.利用函數(shù)思想,理解等差數(shù)列前n項和Sn滿足的關系,從函數(shù)的角度而言,是必過(0,0)點的二次函數(shù),借此突破高效省事.設Sn=An2+Bn(n∈N*),則

    還有諸如等比數(shù)列的函數(shù)模型是與指數(shù)函數(shù)休戚相關,即Sn=A+B·qn且A+B=0,還有諸如an+1=pan+f(n)中構造必需根據(jù)函數(shù)f(n)模型來確定等,這些扎實的基本知識鑄造了函數(shù)思想的形成,有助于學生在后續(xù)問題解決過程中獲得更好的體驗,從而形成知識和思想方法的統(tǒng)一.

    總之函數(shù)是中學數(shù)學最重要的知識板塊,函數(shù)思想是思想方法中最根本的思想方法,因此在教學中切勿泛泛而談,要以有選擇的試題類型進行思想方法的教學,將不同問題進行有效的組合,讓學生體會這種思想方法的滲透成為新一輪教學校本化研究的導向.

    1.吳志雄.培養(yǎng)高中生數(shù)學應用意識的策略與思考[J].中學數(shù)學研究,2013(7).

    2.劉見樂.用思想方法指導高中數(shù)學教學[J].中國數(shù)學教育,2014(5).

    3.周強.高中數(shù)學教學設計中思想滲透分析及對策研究[J].數(shù)學教學通訊,2014(9).

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