基于學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的函數(shù)教學(xué)*
——以指數(shù)函數(shù)為例

☉江蘇省蘇州實驗中學(xué) 章祥俊

基于學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的函數(shù)教學(xué)*
——以指數(shù)函數(shù)為例

☉江蘇省蘇州實驗中學(xué) 章祥俊

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)某一領(lǐng)域時所應(yīng)達(dá)成的綜合性能力，它是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、階段性和持久性的一種素養(yǎng).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出了數(shù)感、符號意識等10個核心詞，基于當(dāng)下的理解，這些核心詞也可以理解為核心素養(yǎng)，而即將頒布的高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)則明確了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個方面.發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是高中教學(xué)的主要任務(wù)，本文擬從指數(shù)函數(shù)為例談?wù)勗诤瘮?shù)教學(xué)中如何實現(xiàn)這一目標(biāo)，希望能給您帶來啟示.

一、創(chuàng)設(shè)適合問題情境，培養(yǎng)學(xué)生的抽象和建模能力

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是教師提供問題情境，學(xué)生思考、交流、解決問題，這是一個培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的過程.以指數(shù)函數(shù)教學(xué)為例，學(xué)生在知道了1.52.5、1.55.2、0.54.2這些“新”的數(shù)之后，教師提出問題：這些數(shù)的大小如何比較？這些數(shù)與我們的生活有什么關(guān)系？1.52.5、1.55.2這樣的數(shù)也可以像偶數(shù)可以統(tǒng)一表示為“2k，k∈Z”那樣表示為某種形式嗎？學(xué)生帶著這些問題，經(jīng)過自己探索與其他同學(xué)的交流，總結(jié)歸納出形如y=1.5x的函數(shù)形式也就水到渠成了，這就是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納、數(shù)學(xué)抽象的一個過程.教師繼續(xù)提出要求：請學(xué)生用數(shù)學(xué)語言給這種新函數(shù)下個定義.根據(jù)以往積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生依托于模型思想展開了數(shù)學(xué)思維活動，自主建構(gòu)概念過程也就自然地展開了.通過這個描述與矯正的過程經(jīng)歷，學(xué)生并不順利地抽象出了指數(shù)函數(shù)的定義，基于這一過程的知識與經(jīng)驗積淀形成了給函數(shù)下定義的基本套路，為下一步對對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等新函數(shù)的學(xué)習(xí)鋪平了道路.

二、經(jīng)歷完整探究過程，發(fā)展學(xué)生的推理和想象能力

學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，創(chuàng)設(shè)適合其認(rèn)知需求的情境是起點，而讓他們經(jīng)歷完整的探究過程，才是關(guān)鍵.在我們的教學(xué)活動中，教師應(yīng)放手讓學(xué)生探究，讓他們經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思維活動過程，以期培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和直觀想象能力.指數(shù)函數(shù)這一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，最重要的不在于學(xué)生掌握指數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)等內(nèi)容，而在于使學(xué)生掌握了研究函數(shù)的范式，學(xué)生按照教師的課堂設(shè)計感悟研究函數(shù)的一般流程：解讀背景——抽象定義——建構(gòu)圖像——剖析性質(zhì)——驗證應(yīng)用.這樣的探究歷程使學(xué)生除了能獲取函數(shù)知識，還能發(fā)展邏輯推理能力和數(shù)學(xué)想象能力.在學(xué)生的指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)過程中，當(dāng)他們自主定義指數(shù)函數(shù)后，筆者進行了追問：如何畫出指數(shù)函數(shù)的圖像？這又讓學(xué)生經(jīng)歷一個思維和優(yōu)化的過程：y=ax（a＞0，a≠1） 的圖像——y=1.5x的圖像——y=2x，y=3x的圖像——y=ax（a＞0，a≠1）的圖像，這個從一般到特殊，再從特殊到一般的研究過程就是培養(yǎng)學(xué)生推理、建模能力的過程.如果上述研究過程是教師告知并指導(dǎo)學(xué)生，那么其學(xué)習(xí)過程是被動的，思維是膚淺的，探索、交流等活動是表面化的，將來遇到新的問題，學(xué)生依然會無從下手，再多的知識與能力都無法應(yīng)用到問題的解決中去.因此，教學(xué)過程中，我們決不能將關(guān)注點只放在知識之上，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己尋找問題解決的方向，在摸索前行中獲得一般方法，通過自主概括、自主提煉、自主解答實現(xiàn)知難共進……這才是本節(jié)課的重中之重.課上，教師借助多媒體平臺動畫展示了y=2x，y=3x等指數(shù)函數(shù)的圖像，基于學(xué)生的仔細(xì)觀察之上教師提問：如何探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、類比、聯(lián)想等探究活動，以期培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力、直觀想象能力.學(xué)生在歸納出函數(shù)的部分性質(zhì)后，教師提問：如何驗證或證明這些性質(zhì)？比如驗證指數(shù)函數(shù)的圖像一定經(jīng)過定點（1，0），這個過程是重要且必須的，它對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力將產(chǎn)生持久甚至終生的影響.通過這些教學(xué)活動的設(shè)計，學(xué)生嘗試獲得“尋找”一般的科學(xué)研究方法，對其后續(xù)的學(xué)習(xí)與生活無疑是很有意義的.

三、強化基本性質(zhì)理解，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力和數(shù)據(jù)分析能力

基于上述完整探究過程的經(jīng)歷，學(xué)生很快得到指數(shù)函數(shù)的定義、圖像及部分性質(zhì).接下來，教師讓學(xué)生探索：指數(shù)函數(shù)的圖像、性質(zhì)有什么關(guān)系？指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）還有哪些未被發(fā)現(xiàn)的“神奇”性質(zhì)？y=2x與y=x2的圖像、性質(zhì)有什么關(guān)系？只要教師給學(xué)生充足的思考空間和時間，他們就一定會主動地、創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)、思考、研究、發(fā)展數(shù)學(xué)，能使得數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變“單回路學(xué)習(xí)”模式為“雙回路學(xué)習(xí)”模式.在此過程中，因為有了較為充裕的對性質(zhì)的探索與理解的時間，學(xué)生可以從性質(zhì)的簡單應(yīng)用入手，進行運算推理，通過反復(fù)演算來證明自己的發(fā)現(xiàn).這種基于性質(zhì)之上的推理論證，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的運算能力和數(shù)據(jù)分析能力，對達(dá)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)目標(biāo)是非常有利的.所以，我們應(yīng)通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動設(shè)計，為學(xué)生的活動搭建較為合適的“平臺”，關(guān)鍵節(jié)點上不省事，讓學(xué)生在探索、交流、反思等活動中積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，提升分析處理能力.

四、傳承數(shù)學(xué)歷史文化，培養(yǎng)學(xué)生“人文與審美”的核心素養(yǎng)

北師大林崇德教授指出，我們的教育教學(xué)應(yīng)“培養(yǎng)以數(shù)學(xué)與邏輯、人文與審美為核心素養(yǎng)的全面發(fā)展的人”.很久以來，我們總是自覺或不自覺地將充滿邏輯之美、理性之美、最具人文精神的數(shù)學(xué)文化的課堂教學(xué)指向了枯燥乏味的知識與解題.過分注重學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握，而數(shù)學(xué)教學(xué)中人的價值、情感、審美并沒有得到應(yīng)有的尊重，承載著人文精神的數(shù)學(xué)教學(xué)高度工具化，培養(yǎng)能力、移情悅性、陶冶情操似乎只是一種遙遠(yuǎn)的假設(shè).所以說，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的理解，我們必須傳承數(shù)學(xué)所承載的人文精神，關(guān)注學(xué)生的道德理想、審美情感，培養(yǎng)他們悟善和審美的能力.數(shù)學(xué)史學(xué)家M·克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化是指人類在數(shù)學(xué)行為活動的過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品.物質(zhì)產(chǎn)品是指數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)語言等知識性成分，而精神產(chǎn)品是數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)美等觀念性成分.對此，筆者高度贊同，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教育不僅僅是知識的傳授與能力的培養(yǎng)，更是一種文化、精神的傳播，數(shù)學(xué)課堂中的探索、交流、反思應(yīng)充分發(fā)掘數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，對學(xué)生進行數(shù)學(xué)文化教育，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識，從而不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，堅定學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀.通過學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)等版塊的知識，學(xué)生在已經(jīng)獲得了學(xué)習(xí)函數(shù)的一般方法，感受到了變量間美妙的聯(lián)系和圖像的曼妙靈動，進入高中后，適宜的情境將會激活學(xué)生對實數(shù)與指數(shù)形式的實數(shù)所對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)產(chǎn)生強烈的探索欲望：他們很想弄明白指數(shù)函數(shù)形成的背景，定義產(chǎn)生的過程，它對我們的數(shù)學(xué)生活將產(chǎn)生什么樣的影響，價值何在？指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)是初高中函數(shù)學(xué)習(xí)的紐帶，承上啟下，承上說得是對前面獲得函數(shù)知識與經(jīng)驗的應(yīng)用，啟下說得是指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)將會為后面研究對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等提供知識、經(jīng)驗、方法.所以，我們可以讓學(xué)生感受“指數(shù)式爆炸”帶來數(shù)的增大（或減小）速度，明白“半衰期”在醫(yī)藥、考古中重要的“模型應(yīng)用”地位，感受到數(shù)學(xué)與生活是那么的親密無間.

數(shù)學(xué)課堂的活動設(shè)計，歸根結(jié)底是老師通過問題的提出激發(fā)學(xué)生探索新知的渴望，是老師和學(xué)生之間數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)美的一種交流，是老師和學(xué)生對數(shù)學(xué)永不停息的思考，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)“潤物細(xì)無聲”的傳承.每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂中探索、交流、反思等活動經(jīng)驗的積累，就是一個培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過程.

1.馬云鵬.關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個問題［J］.課程、教材、教法，2015（9）.

2.渠東劍.指數(shù)函數(shù)教學(xué)教什么［J］.數(shù)學(xué)通報，2012（3）.

3.［英］維克托·邁爾—舍恩伯格.與大數(shù)據(jù)同行［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

*本文為江蘇省教育科學(xué) “十三五”規(guī)劃重點資助課題 “基于核心素養(yǎng)的普通高中學(xué)校課程優(yōu)化統(tǒng)整的研究”（課題編號：2016-GH01011-00514）的研究成果，本文作者為該課題核心組成員.