行動導向法在第二重要極限教學中的應用

丁勇

摘 要 通過第二重要極限的課堂教學設計，將行動導向法應用于獨立院校高等數(shù)學的教學過程中，以行動導向驅動為主要方式，發(fā)揮教師為主導和學生為主體作用，提高學生學習興趣及分析解決問題的能力，從而實現(xiàn)教學目標。

關鍵詞 行動導向教學法 高等數(shù)學 第二重要極限 學習興趣

中圖分類號：G424?文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.01.060

Application of Action-oriented Method in the

Second Most Important Limit Teaching

DING Yong

Abstract Through classroom teaching design of the second most important limit， action-oriented method will be applied to independent institutions "Higher Mathematics" in the teaching process， action-oriented drive as the main way to play teacher-led and student-centered， and improve students' interest in learning and analytical problem-solving skills in order to achieve teaching objectives.

Key words action-oriented teaching method; advanced mathematics; the second most important limit; learning interest

1 行動導向教學法背景與必要性

行動導向教學法起源于上世紀八十年代德國的職業(yè)教育，本世紀被引進中國，并主要在國內高職院校中逐步推行并廣泛應用。行動導向教學是以“行動導向驅動”為主要形式，在教學過程中充分發(fā)揮學生的主體和教師的主導作用，重點強調以學生為中心，采用以目標為導向的行為活動模式，如問題導向法、項目導向法、角色扮演法、過程教學法、模擬訓練法、大腦風暴法、思維導圖法和卡片展示法等，注重對學生分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)，理論與實踐相結合，從完成某一方面任務著手，并引導學生完成任務，從而實現(xiàn)教學目標，激發(fā)學生學習興趣和創(chuàng)造力。

高等數(shù)學是一門邏輯性強且比較抽象的學科，在國內的數(shù)學教學中，普遍存在著一些問題：如照本宣科式的教學，或傳統(tǒng)的傳授法，學生被動接收知識較多，而主動討論思考的情況較少，抑制了學生學習的主動性，導致學生學習動力不足，到課率不高，課堂教學枯燥，教室氛圍缺乏生機與活力，教學效果不好，同時也忽視了學生主動探究能力的培養(yǎng)。行動導向教學法簡單地說，就是給學生先定位一個學習目標，然后讓學生自己行動起來，通過完成這個目標項目自主地去思考與學習，從而在實踐中愉悅地掌握所學知識。把行為導向教學法引入到獨立院校的數(shù)學教學中，不僅能開闊學生的視野、提高學生的學習興趣，增強學習信心，而且也可提高了學生分析和解決實際問題的實踐能力，激發(fā)學生的創(chuàng)造力。因此，教師可以嘗試在實際課堂教學中通過設計行為導向的目標方法引導學生更好地學習高等數(shù)學。

2 行動導向法教學設計

下面筆者根據(jù)自己的實際教學，以第二重要極限這個內容來談談行動導向教學法在獨立院校高等數(shù)學教學中的應用。

2.1 第二重要極限的引入與證明

師：在第一章第六節(jié)大家學習了數(shù)列極限與單調有界定理，請大家思考如何用此定理證明數(shù)列 = 當→時極限存在。

生：證明該數(shù)列單調并且有界。

師：那么 = 是單調遞增還是遞減呢？如果單調遞增，那么它的上界找哪一個數(shù)值？大家動手觀察一下隨逐漸增大，對應項的值得變化。請一班同學在下面通過列表法觀察，二班同學考慮用數(shù)學軟件作圖觀察數(shù)列變化。

通過問題導向法引導學生分析，思考，經(jīng)項目教學法分組讓學生動手操作解決問題。在學生思考討論的過程中，教師下講臺，引導學生解決此任務。

師：請大家展示一下你們的結果？發(fā)現(xiàn)什么問題？

大部分同學基本完成了此項任務，此時可以與教師操作結果進行比較。通過列表法結果見表1。

結合Matlab數(shù)學軟件繪制數(shù)列圖像，給出當從1開始，以步長1逐漸增大到100時，數(shù)列 = 圖像演示結果見圖1。在軟件命令窗口鍵入：

>> x=1：1：100;y=（1+1./x）.^x ;plot（x，y，'ro'）

師：由表1及圖1可見，當增大時，對應項的值也在增大，并且不超過3。從直觀演示結果看，數(shù)列 = 是單調遞增、有界數(shù)列，根據(jù)單調有界定理知該數(shù)列極限存在。但這種方法不嚴密，下面請大家證明之，提示單調性用定義法，用歸納法證明有界性時可利用二項式定理。

證明：設 = ，根據(jù)二項式展開式，

=

= 1+ · + · + … + ·

= 1 + 1 + （1） + … + ?（1） （1）…（1）

<1 + 1 + ?+ … +

<1 + 1 + ?+ … +

= 3<3

同樣也可類似得到：

= 1 + 1 + （1） + … + ?（1）（1） … （1） + （1）（1）…（1）

可見：>故數(shù)列{}單調遞增的且有界，根據(jù)數(shù)列單調有界定理，知數(shù)列 = ?極限存在。記作 = ，其中 ?= 2.71828…。

師：大家知道數(shù)列是特殊的整函數(shù)，其實數(shù)列 = ?的極限還可以推廣到更一般的情形： = 。我們同樣可以通過Matlab軟件來演示一下函數(shù)隨自變量變化而變化的過程，請大家自己先動手操作繪制 = 在區(qū)間[-18， -0.01]和[0.01， 18]的圖形，觀察變化趨勢，寫出具體實現(xiàn)命令。

走下講臺指導學生具體操作，下面給出從0.01開始，以0.01為步長增大而趨近于100時， = 的圖象的動畫演示及在區(qū)間[-18， -0.01]和[0.01， 18]函數(shù) = 的靜態(tài)圖形。在Matlab軟件命令窗口鍵入：

t=0.01：0.01：100; comet（t，（1+1./t）.^t） % 運行后生成動態(tài)圖

fplot（'（1+1./x）.^x '，[0.01 18 -3 ?6 ]）;gtext（' （1+1./x）.^x '）;hold on;

fplot（'（1+1./x）.^x '，[ -18 0.01 -3 ?6 ]）;hold off;hold on

fplot（'exp（1） '，[ -18 18 ?-3 ?6 ]，' r：'）;gtext（' y=e'）;hold off;

grid;xlabel（'自變量x'）;ylabel（'因變量y'）;title（'函數(shù)y=（1+1./x）.^x的曲線'）

legend（'函數(shù)y = （1+1./x）.^x '） ?% 靜態(tài)圖

運行結果見圖2。

師：通過動態(tài)及靜態(tài)演示猜想結果，由圖2可見，當增大時，對應項的值也在增大，當時 = ，下面由 = 及函數(shù)迫斂性給出 = 的證明過程。

證明：當≥1時，有[]≤≤[] + 1，≤≤

其中，

= ·，

= ·，

根據(jù)函數(shù)迫斂性知， = 。再令 = 則

=

=

=

= ，

綜上，故 = 。

根據(jù)復合函數(shù)極限運算法則，通過變量代換法，由 = ，令 = ，可得另外一種形式： = ?，而且更為一般情形為：

=

及 = 。

2.2 第二重要極限典型例題

通過例題，舉一反三，靈活運用第二重要極限求類型的極限。先讓學生自己做，教師講解例1～例3，然后例4讓個別同學上臺演板，通過角色扮演法讓學生講解解題思路，這樣便于了解學生掌握情況及易錯地方，做到查漏補缺。

（1）解：

原式 = ?= ? =

（2）解：

原式 = ?= ?= ?=

（3）解：

原式 = ? =

（4）解：

原式 = ?=

= ?=

2.3 第二重要極限在銀行存款連續(xù)復利中的應用

問題提出：目前銀行活期存款年利率為，如果你有元壓歲錢，打算存活期，一年后，你可以得到多少錢？如果想通過復利獲得更多利息，你可以先將存滿半年的錢取出，然后再連本息再存半年，此時你又可以獲得多少現(xiàn)金呢？

學生很感興趣，很易算出若直接存一年，獲得（1 + ）元，若采取第二種方案，每半年結算一次，獲得（1 + ）2 = （1 + ?+ ）>（1 + ）。

師：發(fā)現(xiàn)利用復利每半年結算一次比一年結算一次多，那么請大家討論如果每季度，每月，每天結算一次，結果會如何？如若結算越頻繁即存期越短獲利越多的話，假如銀行允許復利可以按小時，甚至可按分鐘結算，目前活期存款利率為0.3%，你有本金10000元，若一年內不斷地取款再連本帶息存款會發(fā)財嗎？

提示學生利用今天所學第二重要極限來將此實際問題數(shù)學化。按復利原理，假如一年可以結算次，則每期利率為，第一次結算本息為（1 + ），第二次為（1 + ）2，依次類推可得全年本息應該為（1 + ），若→，每時每刻計算利息，即一年內結算無數(shù)次，則通過連續(xù)復利全年本息將變?yōu)椋? +）。利用今天所學第二重要極限較容易得出

（1 +） = ?=

將 = 10000， ?= 0.3%代入，即使一年結算無數(shù)次本息也存在極限10000，比一年結算一次只多出1000010000（1 + 0.3%）≈ 0.0450元，可見通過這種方式是發(fā)不了財?shù)摹?/p>

銀行復利的計算，是一個實際生活中常見問題，與實際相結合利用項目導向法教學，讓學生親身體會到學習高等數(shù)學還是有用的，而且也可激發(fā)學生的學習興趣，變被動學習為主動學習，既可活躍課堂教學氣氛，又可鞏固所學知識，故可將復利問題提出作為本節(jié)應用。

3 行動導向法教學設計小結

通過第二重要極限，詳細講解了行動導向教學法在高等數(shù)學教學設計中的應用，在具體教學過程中，分別用到問題導向法、角色扮演法、項目導向法、圖像演示法等。根據(jù)學生的表現(xiàn)適時引導和幫助學生完成任務，提高學生學習興趣與參與度，激發(fā)學習動力;給予學生思索的機會，培養(yǎng)學生獨立思考能力;將課本的知識應用到生活中，加強學生實踐能力。總之，利用行動導向法能收到更好的教學效果。

參考文獻

[1] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學及其應用（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] 趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

[3] 任玉杰，張世澤.高等數(shù)學及其Matlab實現(xiàn)[M].廣州：中山大學出版社，2013.