實(shí)驗(yàn)巧設(shè)計(jì)，經(jīng)驗(yàn)自生成
——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)常態(tài)化實(shí)施的案例探索與反思

☉江蘇連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王磊

實(shí)驗(yàn)巧設(shè)計(jì)，經(jīng)驗(yàn)自生成
——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)常態(tài)化實(shí)施的案例探索與反思

☉江蘇連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王磊

一、背景

數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾說：“我總盡我的精力和才能來擺脫那種繁重而單調(diào)的計(jì)算.”在教學(xué)中，教師帶給學(xué)生的數(shù)學(xué)，不能僅僅是那種枯燥的、單調(diào)的數(shù)學(xué)，還應(yīng)該帶學(xué)生走進(jìn)有趣的、好玩的數(shù)學(xué)世界中.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為對(duì)數(shù)學(xué)常態(tài)課的有效補(bǔ)充，已經(jīng)逐漸被廣大一線教師認(rèn)可.一方面，越來越多的學(xué)生開始經(jīng)常性地接觸數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，并從中汲取豐富的數(shù)學(xué)和生活經(jīng)驗(yàn).另一方面，教師也在積極地為常態(tài)化實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，探索各種教學(xué)素材.前些時(shí)候，江蘇省連云港市吳海寧初中數(shù)學(xué)名師工作室，在連云港市海州區(qū)朐山中學(xué)（本地的一所農(nóng)村中學(xué)）開展了一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)專題研討活動(dòng)，筆者全程參與了本次活動(dòng).本次活動(dòng)開設(shè)了四節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，課題分別是“折紙與黃金矩形”“萊駱三角形與圓”“折紙與特殊角的三角函數(shù)”“找重心”.四節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)側(cè)重點(diǎn)各不相同，每節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)都個(gè)性突出，但在某些細(xì)節(jié)上的共性設(shè)計(jì)，引起了與會(huì)教師的爭論.大家議論的焦點(diǎn)是：實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生了生活經(jīng)驗(yàn)，還是已有的生活經(jīng)驗(yàn)引發(fā)了實(shí)驗(yàn)？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芊癯B(tài)化地走入數(shù)學(xué)課堂？這種充滿哲學(xué)味道的議論，讓筆者陷入了深深的思考之中.下面筆者借此機(jī)會(huì)與各位同仁分享我的反思和收獲.

二、案例展示與分析

（一）折紙與黃金矩形.

1.引入：播放折紙視頻，介紹折紙的歷史.

2.操作一：用矩形紙片折正方形，讓學(xué)生說說理由.

3.操作二：用長方形紙片折等腰三角形，先獨(dú)自思考，再小組討論，展示不同的折疊方法.

4.操作三：用長方形紙片折黃金矩形，運(yùn)用已經(jīng)獲得的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決這個(gè)問題.

5.操作四：用正方形紙片折黃金矩形，進(jìn)一步理解黃金矩形的幾何機(jī)構(gòu).

【點(diǎn)評(píng)】本實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，安排在黃金分割這節(jié)課后進(jìn)行，是圍繞折黃金矩形展開的，實(shí)驗(yàn)的難度層層遞進(jìn).不過在授課過程中，現(xiàn)場的老師發(fā)現(xiàn)，最難進(jìn)行的不是最后一個(gè)操作，而是第一步操作.在這一步中操作中，學(xué)生基本上都會(huì)折一個(gè)正方形，不過當(dāng)老師讓學(xué)生用黑板上的實(shí)物模型進(jìn)行推理驗(yàn)證時(shí)，很多學(xué)生一時(shí)找不到南北，不知該如何標(biāo)注和說明，站在講臺(tái)上不知該如何下手，正如我們所知，要說明折疊后的圖形是正方形，只需說明是矩形，再說明一組鄰邊相等即可，但是到學(xué)生那里，卻不那么順暢了，這說明我們的學(xué)生實(shí)踐能力有待培養(yǎng).稍后，在老師的幫助下，學(xué)生逐步掌握了將現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)模型的方法，并會(huì)用之前學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行說明.讓人欣慰的是，在接下來的幾個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生再?zèng)]出現(xiàn)過類似的暈場的情況.從這個(gè)案例中，可以深深地感到，我們的學(xué)生不是實(shí)踐能力弱，而是缺乏實(shí)踐的機(jī)會(huì)和經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的一個(gè)重要載體，它給我們的學(xué)生動(dòng)手接觸的機(jī)會(huì)，是學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的重要途徑，常態(tài)化開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是必要的.

（二）萊駱三角形與滾動(dòng)的圓.

1.引入：古詩《水調(diào)歌頭》引入，讓學(xué)生感受月亮的圓其實(shí)并不規(guī)則.

2.下定義：萊駱三角形，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)本實(shí)驗(yàn)的研究主體.

3.操作一：畫萊駱三角形，先畫正三角形，然后分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心、邊長為半徑畫弧得到萊駱三角形.

4.操作二：將半徑為1的圓沿著直尺邊緣滾動(dòng)，畫出掃過的圖形，并計(jì)算面積.

5.操作三：將邊長為1的正三角形所在的萊駱三角形沿著直尺邊緣滾動(dòng)，畫出掃過的圖形，并計(jì)算面積.

6.操作四：觀察圓沿著直尺邊緣滾動(dòng)一周時(shí)，它的圓心運(yùn)動(dòng)的路徑及掃過的區(qū)域的圖形，寫出你的發(fā)現(xiàn).

7.操作五：觀察萊駱三角形沿著直尺邊緣滾動(dòng)一周時(shí)，它的圓心運(yùn)動(dòng)的路徑及掃過的區(qū)域的圖形，寫出你的發(fā)現(xiàn).

【點(diǎn)評(píng)】萊駱三角形被廣泛地用于各種機(jī)械當(dāng)中，尤其是在發(fā)動(dòng)機(jī)中運(yùn)用最為廣泛.讓學(xué)生從小就接觸這些模型，有利于激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)知識(shí)的探索欲望，為未來的生產(chǎn)、生活積累經(jīng)驗(yàn).本節(jié)課安排在“圓”這節(jié)課之后進(jìn)行，學(xué)生通過對(duì)萊駱三角形形狀的剖析，分析了其幾何原理，加深了對(duì)該圖形的認(rèn)識(shí).通過對(duì)圓心移動(dòng)軌跡和覆蓋面積的學(xué)習(xí)，提高了作圖和計(jì)算能力，提升了幾何直觀，培養(yǎng)了動(dòng)手能力，形成了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（三）折紙與特殊角的三角函數(shù).

1.操作一：折30°、45°、60°的三角形的三角函數(shù)，請(qǐng)你說說理由.

2.操作二：折15°、22.5°、75°的三角形的三角函數(shù)，請(qǐng)你說說理由.

【點(diǎn)評(píng)】看似簡單的兩個(gè)操作，但其中蘊(yùn)藏了大量的數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)操作.眾所周知，初中階段學(xué)生接觸的三角函數(shù)，主要是正弦、余弦和正切.本節(jié)課被安排在這三種三角函數(shù)結(jié)束后開設(shè)，學(xué)生通過直觀感受三角函數(shù)，學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的幾何意義.本實(shí)驗(yàn)中，滲透了轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)思想.本節(jié)課，對(duì)學(xué)生的能力要求高，教師提前預(yù)估了教學(xué)難度，采用了小組合作式教學(xué)方法，從特殊到一般，從度數(shù)為整數(shù)的角到度數(shù)為小數(shù)的角，符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)狀態(tài).在學(xué)生展示過程中，運(yùn)用了小組評(píng)價(jià)法等教學(xué)手段，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的探索意識(shí)，保障了學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的主動(dòng)生成.

（四）找重心.

1.引入：播放利用重心表演雜技的視頻，引起學(xué)生的思考.

2.操作一：找一條線段的重心.

3.操作二：找圓的重心.

4.操作三：找平行四邊形的重心.

5.操作四：找三角形的重心.

6.操作五：找任意多邊形的重心.

7.操作六：找聽裝可樂的重心.

【點(diǎn)評(píng)】重心這個(gè)名詞對(duì)學(xué)生而言，既熟悉、又陌生，打球時(shí)，我們常說要降低重心，可以說學(xué)生對(duì)重心一詞多少是有所了解的.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師還常常告訴學(xué)生三角形的幾個(gè)心：重心、內(nèi)心、外心等，但是很少有學(xué)生用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法尋找重心.本節(jié)課中，教師設(shè)計(jì)了6個(gè)流程，從最簡單、常見的線段開始，逐步探索生活中的物品，體現(xiàn)了該數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的層次性.讓學(xué)生從最簡單的幾何體開始，逐步認(rèn)識(shí)復(fù)雜的平面圖形，最后到立體圖形，體現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)教學(xué)的系統(tǒng)性，這說明，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是可以常態(tài)化地引入到課堂教學(xué)中的.在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性明顯加強(qiáng)，整節(jié)課學(xué)生都異常的興奮，給在場的老師留下了深刻的印象.

三、幾點(diǎn)思考

（一）數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)奠定了知識(shí)基礎(chǔ).

史寧中教授認(rèn)為：“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生直接或間接經(jīng)歷了活動(dòng)過程而獲得的經(jīng)驗(yàn).”劉加霞教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就是學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中獲得的對(duì)于數(shù)學(xué)的體驗(yàn)和認(rèn)知.”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需要學(xué)生動(dòng)手操作，需要學(xué)生具備一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生經(jīng)過更加深入的操作、觀察、對(duì)比、分析和概括等過程，將獲得更高層次的認(rèn)識(shí).例如，在第一節(jié)和第三節(jié)課中，教師從學(xué)生現(xiàn)有的能力水平出發(fā)，結(jié)合他們會(huì)折一個(gè)正方形這樣的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上，折黃金三角形，折特殊的角并研究該角的三角函數(shù)，這些課題對(duì)學(xué)生來說就是新的挑戰(zhàn)、新的體驗(yàn).在實(shí)驗(yàn)的開始階段，學(xué)生感覺很困難，不知如何下手，其原因是：折黃金三角形不僅需要學(xué)生的操作能力作為支撐，更重要的是學(xué)生要手腦并用，不僅要考慮怎么折，還要考慮如何折.在思考怎么折的時(shí)候，學(xué)生首先要運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，抽象思考該實(shí)驗(yàn)的數(shù)學(xué)原理，然后采用正向和逆向兩種思維方式，推敲實(shí)驗(yàn)方案的合理性，討論操作的突破口，總結(jié)失敗的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)比要達(dá)成的目標(biāo)，進(jìn)行多次嘗試，最終獲得正確的操作方法.在本活動(dòng)中，學(xué)生的幾何直觀和抽象思維得到了大量鍛煉的機(jī)會(huì)，數(shù)學(xué)培養(yǎng)人思維能力的功能，獲得了充分體現(xiàn)，而這一切都依賴于學(xué)生初步的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).可見，常態(tài)化開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是非常有必要的，大量的實(shí)驗(yàn)將為學(xué)生帶來更多的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而這些經(jīng)驗(yàn)為學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題、解決問題奠定了基礎(chǔ).

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑.

開普勒說：“數(shù)學(xué)對(duì)觀察自然作出重要的貢獻(xiàn)，它解釋了規(guī)律結(jié)構(gòu)中簡單的原始元素.”數(shù)學(xué)為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，提供了最基本的計(jì)算方法、思維方式、空間直覺等基本能力.“找重心”這個(gè)課題，聽起來是物理課，但其實(shí)本節(jié)課是用數(shù)學(xué)方法，以數(shù)學(xué)中常見的物體和圖形為研究對(duì)象，采用理論推理與實(shí)物演示相結(jié)合的方式，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的形式，尋找物體的重心.本節(jié)課的精彩之處在于，實(shí)驗(yàn)難度層層推進(jìn)，層次感非常強(qiáng)烈，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象直觀，理論推理嚴(yán)謹(jǐn)，操作過程流暢.例如，找一條線段的重心，學(xué)生很容易想到以鉛筆為例，開展研究，找到了鉛筆的中點(diǎn)，即可找到鉛筆的重心.在找圓的重心的過程中，學(xué)生利用已有知識(shí)，經(jīng)過數(shù)學(xué)猜測和動(dòng)手操作，順利地找到了圓的重心.以上兩步操作，學(xué)生可以利用已有的經(jīng)驗(yàn)，逐步合作完成.而對(duì)于平行四邊形、三角形和任意多邊形的重心，學(xué)生是沒有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的，最后，在老師的幫助和引導(dǎo)下，學(xué)生逐步完成了經(jīng)驗(yàn)的積累.在此過程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多平時(shí)愛折紙的學(xué)生，更容易找到問題的答案，這說明學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是可以延續(xù)和再開發(fā)的.這種手腦并用，抽象結(jié)合直觀，推理結(jié)合想象的過程，作為常態(tài)課的補(bǔ)充，可以拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.伽利略說：“科學(xué)的真理不應(yīng)該在古代圣人的蒙著灰塵的書上去找，而應(yīng)該在實(shí)驗(yàn)中和以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的理論中去找.”作為基礎(chǔ)學(xué)科的數(shù)學(xué)來說，實(shí)驗(yàn)更是必不可少的.學(xué)生可以從實(shí)驗(yàn)中，觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)思維意識(shí)，養(yǎng)成動(dòng)手和動(dòng)腦習(xí)慣，提高實(shí)踐和創(chuàng)新能力.

（三）巧妙選擇實(shí)驗(yàn)主題，進(jìn)行常態(tài)化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué).

法國哲學(xué)家夏爾·傅立葉說過：“數(shù)學(xué)主要的目標(biāo)是公眾的利益和對(duì)自然現(xiàn)象的解釋.”對(duì)學(xué)生來說，數(shù)學(xué)的最大魅力之一，是在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的存在，學(xué)生課堂上最愛聽的是有關(guān)數(shù)學(xué)的趣味故事.數(shù)學(xué)在生活中的影子，常常會(huì)激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣.課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.”這也是我們常說的數(shù)學(xué)問題生活化的出發(fā)點(diǎn).萊駱三角形是生活中常見的一種三角形，但由于其特殊的形狀和功能，一般都將之放在機(jī)械的核心部位，也就是機(jī)器的內(nèi)部，所以，學(xué)生很難看到這樣的物體和圖形.本節(jié)課選擇萊駱三角形作為研究對(duì)象，一方面考查學(xué)生的作圖能力和操作能力，另一方面，通過將已知圖形組合成“新鮮圖形”的過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.最后，通過向?qū)W生展示萊駱三角形的功能和使用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，不能只出現(xiàn)在某些展示課和公開課中，應(yīng)逐步走入師生的常態(tài)化課堂中.可以預(yù)見，學(xué)生經(jīng)常性接觸這些有趣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，他們的生活經(jīng)驗(yàn)必定會(huì)異常豐富，這也會(huì)對(duì)學(xué)生更靈活地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，起到催化劑的作用.

四、感悟與體會(huì)

綜上所述，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要途徑，而數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的展開提供了基本保障，常態(tài)化實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是非常有必要的.正如奧斯特說的：“我不喜歡那種沒有實(shí)驗(yàn)的枯燥的講課，因?yàn)闅w根到底所有的科學(xué)進(jìn)展都是從實(shí)驗(yàn)開始的.”興趣是促使人不斷進(jìn)步的動(dòng)力源泉，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的良好途徑.筆者堅(jiān)信：隨著數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的常態(tài)化開展，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)會(huì)日漸豐富，學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)的過程會(huì)更加有趣、科學(xué)和形象.

1.董林偉，孫朝仁.“好玩”的數(shù)學(xué)——初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐探索［J］.江蘇教育（中學(xué)教學(xué)），2016（03）.

2.孫朝仁.積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展“幾何直觀”［J］.中學(xué)教學(xué)，2015（04）.

3.章建躍.數(shù)學(xué)要為學(xué)生謀取長期利益［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（7）.

4.王曉林，樊忠.加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生能力提高［J］.時(shí)代教育，2010（02）.

5.徐菊英.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)初探［J］.新課程，2011（06）.