關(guān)于凸性的一些探討

廖俊俊， 吳 潔

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢430074)

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關(guān)于凸性的一些探討

廖俊俊， 吳 潔

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，武漢430074)

現(xiàn)行的不少教材在敘述凸函數(shù)定義時，通常都假設(shè)函數(shù)是連續(xù)的.本文以沒有連續(xù)為前提的一元凸函數(shù)的定義為基礎(chǔ)，探討了函數(shù)的連續(xù)性，左右導(dǎo)數(shù)的存在性，凸函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的形態(tài)，最后利用左右導(dǎo)數(shù)，給出了判定函數(shù)為凸的一個充要條件.

連續(xù)性； 凸函數(shù)； 左導(dǎo)數(shù)； 右導(dǎo)數(shù)

1 引 言

在第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽(數(shù)學(xué)類，預(yù)賽)中有如下試題：

注 函數(shù)f(x,y)是凸函數(shù)的定義是?α∈(0,1)以及(x1,y1),(x2y2)∈D，成立

f(αx1+(1-α)x2,αy1+(1-α)y2)≤αf(x1,y1)+(1-α)f(x2,y2).

答案是肯定的.需要說明的是，這里所說的凸函數(shù)(convex function)，在現(xiàn)行的有些教材中稱為下凸函數(shù).

上述試題引起了我們的思考，原因是現(xiàn)行的不少教材在敘述凸函數(shù)的定義時，通常都假設(shè)函數(shù)是連續(xù)的[1-4]，即便有的教材敘述凸函數(shù)的定義時沒有連續(xù)這一條件[5-7]，也并沒有以此為基礎(chǔ)討論函數(shù)的分析性質(zhì).最近的文[8]，也僅討論了凸函數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性.本文以沒有連續(xù)為前提的一元凸函數(shù)定義為基礎(chǔ)，探討了函數(shù)的連續(xù)性，左右導(dǎo)數(shù)的存在性，凸函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的形態(tài)，最后利用左右導(dǎo)數(shù)，給出判別凸函數(shù)的一個充要條件.

2 凸函數(shù)的定義及連續(xù)性

定義1[7]設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上有定義，若?α∈(0,1)以及?x1,x2∈[a,b]，成立

f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2) ,

(1)

則稱函數(shù)f在[a,b]上是凸函數(shù).

式(1)等價于對任意的a≤x1

(2)

也等價于

(3)

在幾何上等價于任意兩點(diǎn)(x1,f(x1))和(x2,f(x2))之間的弧位于這兩點(diǎn)連線的下方.

若將[a,b]換成(a,b)，則得到相應(yīng)的開區(qū)間內(nèi)的凸函數(shù)定義.

下述定理1將告訴我們，凸函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都存在左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù).

定理1設(shè)函數(shù)f是閉區(qū)間[a,b]上的凸函數(shù)，則對任意x∈(a,b)，f(x)的右導(dǎo)數(shù)f′+(x)、左導(dǎo)數(shù)f′-(x)均存在；且f′-(x)≤f′+(x).

證對任意x∈(a,b)，令

任取充分小的h1,h2>0，使得x

于是

這就證明了f(x)的右導(dǎo)數(shù)f′+(x)存在，類似可證明f(x)的左導(dǎo)數(shù)f′-(x)存在.

注意到?x∈(a,b)以及足夠小的h1,h2>0，若a

分別令h1→0+,h2→0+，即得f′-(x)≤f′+(x).

由定理1即可得到下面關(guān)于連續(xù)性的結(jié)論.

定理2設(shè)函數(shù)f是閉區(qū)間[a,b]上的凸函數(shù)，則函數(shù)f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù).

證對任意x∈(a,b)，因

故f在(a,b)內(nèi)左連續(xù).類似可得f在(a,b)內(nèi)右連續(xù)，從而f在(a,b)內(nèi)連續(xù).

注 盡管當(dāng)函數(shù)f是閉區(qū)間[a,b]上的凸函數(shù)時，能得到f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，但f在端點(diǎn)a及b上并不一定是單側(cè)連續(xù).

圖1

f(x)圖像如圖1所示.由圖像可知，f是[-1,1]上的凸函數(shù)，且在(-1,1)內(nèi)連續(xù)，但f在x=-1以及x=1點(diǎn)均不單側(cè)連續(xù).

3 區(qū)間端點(diǎn)附近的性態(tài)探討

例1表明，閉區(qū)間[a,b]上的凸函數(shù)f可能在端點(diǎn)a或b處不連續(xù).我們自然會問：對于一個閉區(qū)間上的凸函數(shù)，當(dāng)它在端點(diǎn)不連續(xù)時，其在端點(diǎn)附近的形態(tài)如何？下面的定理回答了這個問題.

定理3設(shè)函數(shù)f是閉區(qū)間[a,b]上的凸函數(shù)，則函數(shù)f在端點(diǎn)a和b單側(cè)極限都存在，并且f(a+)≤f(a)，f(b-)≤f(b).

證僅證f(a+)≤f(a)(f(b-)≤f(b)可類似證明).對任意x∈(a,b)，f是閉區(qū)間[a,b]上的凸函數(shù)，由凸函數(shù)定義得

(4)

所以|f(x)|≤|f(a)|+|f(b)|，即函數(shù)f在[a,b]上有界.任意a

即有

固定c1,c，上式兩邊令x→a+并取下極限，得

上述結(jié)論告訴我們，盡管閉區(qū)間上的凸函數(shù)在端點(diǎn)可能不連續(xù)，但形態(tài)也相當(dāng)好——具有單側(cè)極限.

對于一個開區(qū)間內(nèi)的凸函數(shù)，它在區(qū)間端點(diǎn)附近又會是什么樣的表現(xiàn)呢？請看定理4.

定理4設(shè)函數(shù)f是(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)，則

(i)對于端點(diǎn)a，要么f(a+)存在，要么f(a+)=+∞；

(ii)對于端點(diǎn)b，要么f(b-)存在，要么f(b-)=+∞.

證(i)任取a

由此，得到

(ii)的證明與(i)類似.

經(jīng)試驗數(shù)據(jù)的對比，計算驗證系統(tǒng)測量值與4種不同位姿檢測方法的誤差絕對值，誤差絕對值變化趨勢如圖10所示。

4 凸函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)判別定理

最后，用單側(cè)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)出一個函數(shù)為凸函數(shù)的充要條件.為此，先證明Fermat定理的一個推廣.

引理1設(shè)(a,b)內(nèi)的函數(shù)f在點(diǎn)x0∈(a,b)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在，且f′-(x0)≤f′+(x0).如果x0為f的一個極大值點(diǎn)，那么f在x0點(diǎn)可導(dǎo)，且有f′(x0)=0.

從而 f′-(x0)≥0≥f′+(x0).而另一方面，根據(jù)條件有f′-(x0)≤f′+(x0)，因此

f′-(x0)=f′+(x0)=0.

即f在x0點(diǎn)可導(dǎo)，且有f′(x0)=0.

注 容易知道，對于極小值點(diǎn)也有與引理1對偶的結(jié)論.

定理5函數(shù)f是閉區(qū)間[a,b]上的凸函數(shù)的充要條件是f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在，以及在端點(diǎn)a,b處對應(yīng)的單側(cè)極限存在，且滿足

(ii)f(a+)≤f(a)，f(b-)≤f(b).

證必要性.由定理1知f在(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都存在，再由定理3可知f在端點(diǎn)a和b處相應(yīng)的單側(cè)極限都存在，并且f(a+)≤f(a)，f(b-)≤f(b).即得(ii)成立.

對任意a

分別令x1→x-,x2→x+,y1→y-,y2→y+，得f′-(x)≤f′+(x)≤f′-(y)≤f′+(y)，即(i)成立.

充分性.首先對任意x∈(a,b)，函數(shù)在x點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都存在，故函數(shù)在(a,b)內(nèi)連續(xù)；其次，因為在端點(diǎn)的單側(cè)極限存在以及條件(ii)，所以不妨假設(shè)f(a+)=f(a)，f(b-)=f(b).對任意a≤x1

顯然g是連續(xù)函數(shù)，且對x1≤x≤y≤x2，有

g′-(x)≤g′+(x)≤g′-(y)≤g′+(y).

(5)

由凸函數(shù)定義的式(3)形式知，只需證對x1≤x≤x2，g(x)≤0.

利用定理5，可以很容易地判斷一個分段函數(shù)是否為凸函數(shù).

解易知函數(shù)f在[-1,0]以及[0,1]上都是凸的.由于

故由定理5知函數(shù)f在區(qū)間[-1,1]上是凸的(如圖2所示).

解易知函數(shù)g(x)在[-1,0]以及[0,1]上都是凸的.但由于

由定理5，可知函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1,1]上不是凸的(如圖3所示).

圖2

圖3

[1] 王綿森 馬知恩.高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 一元函數(shù)微積分與無窮級數(shù)[M].2版.北京:高等教育出版社,2010:142.

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊[M].6版.北京:高等教育出版社,2007:149.

[3] 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系微積分課程組.大學(xué)數(shù)學(xué)微積分：上冊[M].北京:高等教育出版社,2008:175.

[4] 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：上冊[M].2版.北京:高等教育出版社,1983:204.

[5] 韓云瑞，扈志明，張廣遠(yuǎn).微積分教程：上冊 [M].2版.北京:清華大學(xué)出版社.2006:184.

[6] 華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.微積分學(xué)：上冊[M].3版.北京:高等教育出版社,2008:137.

[7] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：上冊[M].4版.北京:高等教育出版社,2010:151.

[8] 張亞楠，劉長劍.關(guān)于凸函數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015，31(4)：53-54.

Some Researchs on the Convexity

LIAOJun-jun，WUJie

(School of Math.and Statistic，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074, China)

The convex function often plays an important role in many fields of mathematics.It is meaningful to study the analytical properties of the convex function.In these paper, the continuity of the convex function has been studied.The limit property of the convex function about the end points of the interval has been discussed.A criteria of convex function has been given.

continuous function; convex function; left derivative; right derivative

2016-05-13; [修改日期] 2016-06-20

華中科技大學(xué)2015年教學(xué)研究項目(2015068)

廖俊俊(1973-),男，博士，講師，從事隨機(jī)分析、泛函分析研究.Email:liaojunjun@hust.edu.cn

吳潔(1962-),女，碩士，教授，主要從事微積分教學(xué)與研究.Email:wujie627415@163.com

O172.1

C

1672-1454(2016)06-0091-05