立體幾何中的向量方法（第1課時(shí)）

陳佳佳

近期筆者代表學(xué)校參加了金華市數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評比。比賽分為三輪，分別是說課、說題、上課。筆者的教學(xué)內(nèi)容為人教A版《選修2-1》第三章“空間向量與立體幾何”第二節(jié)“立體幾何中的向量方法”（第一課時(shí)），現(xiàn)將教學(xué)過程整理如下。

1.教材分析

1.1教材的地位與作用

《立體幾何中的向量方法》是數(shù)學(xué)《選修2–1》第三章第二節(jié)內(nèi)容，主要討論的是用空間向量處理立體幾何問題。本節(jié)課主要學(xué)習(xí)用向量表示點(diǎn)、線、面的位置以及線線、線面、面面的位置關(guān)系如何用向量來表示，這為接下來用向量的方法處理立體幾何問題做了鋪墊。

1.2 教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和心理特征，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

知識與技能：理解點(diǎn)的位置向量、直線的方向向量與平面的法向量的概念，能用向量語言表述線線、線面、面面的位置關(guān)系。

過程與方法：通過概念的理解和應(yīng)用，可以提高學(xué)生感知和梳理知識的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識的能力。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維品質(zhì)。

1.3 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：直線的方向向量和平面的法向量概念的理解；

難點(diǎn)：直線的方向向量和平面的法向量的應(yīng)用；

2.教法學(xué)法分析

2.1 學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對象是高二學(xué)生。通過數(shù)學(xué)《必修2》中的立體幾何和數(shù)學(xué)《選修2–1》空間向量及其運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備了一定的空間想象能力和代數(shù)運(yùn)算能力，很自然就過渡到二者綜合運(yùn)用的層次；但是由于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力有所欠缺，認(rèn)知結(jié)構(gòu)不太健全，學(xué)生仍會對向量和幾何的綜合運(yùn)用存在一定的困難。

2.2 學(xué)法分析

通過逐步設(shè)問讓學(xué)生動手實(shí)踐、討論、比較，抽象概括出概念，讓學(xué)生體會特殊到一般的思維方法，發(fā)展學(xué)生的理性思維能力。

2.3 教法分析

通過分析教材和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，創(chuàng)造性地使用教材，做到既重視教材，更重視學(xué)生，用啟發(fā)引導(dǎo)法和自主探究法進(jìn)行教學(xué)。

3.課堂實(shí)錄

3.1創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題情境：已知正方體 中，

（1）求證：直線

（2）求異面直線 所成角的余弦值。

（PPT投影）

教師：同學(xué)們，這是立體幾何中比較常見的兩個(gè)問題，你們會解嗎？

（學(xué)生思考片刻后）

學(xué)生1：第一小題的解題思路：連接線段AC，通過證明 ，得到 .同理可得， ，從而得到結(jié)論。

學(xué)生2：第二小題的解題思路：把BD平移到 ， 為所求角且 是正三角形，容易得到結(jié)論。

教師：兩位同學(xué)都回答得非常好，通過前面一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們還能用其它方法來處理嗎？

（學(xué)生開始七嘴八舌的提出自己的見解）

教師：對！我們還能用前面學(xué)習(xí)的空間向量的知識來處理，空間向量不僅可以求異面直線所成角，還能證明線面垂直，面面垂直等立體幾何問題。

設(shè)計(jì)意圖：從我們熟悉的空間幾何體引入今天的課題，讓學(xué)生有一種親切感，也激發(fā)了學(xué)生的求知欲望。

3.2探究新知，形成概念

教師：閱讀課本第102～103頁內(nèi)容，回答以下幾個(gè)問題：

1.位置向量的定義。

2.直線的位置如何確定？

3.平面的位置如何確定？

4.法向量的定義。

（多媒體展示問題，學(xué)生帶著問題閱讀課本，閱讀完后思考、討論、回答，教師板書概念）

點(diǎn)的位置向量：在空間中，取一定點(diǎn)O作為基點(diǎn)，空間任一點(diǎn)P的位置可用向量 表示，故向量 為點(diǎn)P的位置向量。

直線的方向向量：直線 上取 ，那么對于直線 上任意一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)t使得 。

平面的法向量：如果直線 ，取直線 的方向向量 ，則向量 叫做平面 的向量。

教師：我們還能從剛才的三個(gè)概念中提煉出三個(gè)結(jié)論：

1.法向量一定是非零向量；

2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；

3.向量 是平面的法向量，向量 是與平面平行或在平面內(nèi)，則有 。

設(shè)計(jì)意圖：為了更好地理解概念，突出重點(diǎn)。

教師：經(jīng)過剛才的學(xué)習(xí)，我們現(xiàn)在能用空間向量解決問題情境中的兩個(gè)問題了嗎？

（問題情境重現(xiàn)，引發(fā)學(xué)生思考）

學(xué)生3：可以用直線的方向向量來表示直線，平面的法向量來表示平面。但具體怎么做還不是很清楚。

教師：這位同學(xué)對所學(xué)知識掌握的很好，能現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用。為了解決以上問題，我們先來思考以下兩個(gè)問題：

（1）線線、線面、面面平行和垂直的位置關(guān)系如何用向量來表示？

（2）線線、線面、面面的夾角如何用向量來表示？

（學(xué)生認(rèn)真思考，但一下子無從下手）

教師：我先以線面垂直為例，我們一起來探究。請同學(xué)們畫出線面垂直的情況，同時(shí)標(biāo)出直線的方向向量和平面的方向量。（請學(xué)生板演）

學(xué)生4：

教師：同學(xué)們，你們看這樣畫對嗎？

學(xué)生5：可以的！但是還有三種種情況，這兩個(gè)箭頭可以都向上，也可以都向下，還可以一上一下或一下一上。

學(xué)生6：我覺得應(yīng)該是兩種情況：兩個(gè)向量方向相同或相反。

教師：很好！向量與線段的不同在于它是既有大小又有方向的量。所以在畫直線的方向向量和平面的方向量時(shí)要考慮到方向，但是我們在做題時(shí)還要考慮到題目的需要。兩個(gè)向量的方向都向上或都向下是同一種情況，所以我們最終得到以下兩種情況。

教師：那么我們根據(jù)圖形可以得到什么結(jié)論？

（學(xué)生思考片刻后）

學(xué)生7：不管是第一種情況還是第二種情況，這兩個(gè)向量都是共線的，所以 。

教師：總結(jié)得很好，這樣我們就可以用直線的方向向量和平面的法向量來證明線面垂直。接下來請同學(xué)們仿照線面垂直的探究過程，來研究線線、線面、面面平行與垂直的其他情況。

學(xué)生經(jīng)過討論和作圖研究后，得到以下結(jié)論：

設(shè)直線 l，m的方向向量分別為 ，平面 的方向量為 ，則

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

注意：這里線線平行包括線線重合，線面平行包括線在面內(nèi)，面面平行包括面面重合。

教師：第一個(gè)問題我們已經(jīng)解決了，下面我們來研究第二個(gè)問題。我們?nèi)砸云渲幸粋€(gè)為例，那我們先來解決我們最熟悉的問題——兩條異面直線所成角。請同學(xué)們先來畫出線面垂直的情況。

學(xué)生8：（上臺板演）

教師：同學(xué)們覺得怎么樣？（大部分同學(xué)點(diǎn)頭表示贊同，有同學(xué)有異議）

學(xué)生9：直線所成的角是小的那個(gè)角，怎么會有兩種情況呢？

教師：誰能來幫我們的學(xué)生9解決心中的疑問呢？

學(xué)生10：我覺得他有點(diǎn)混淆了，異面直線所成的角是唯一的，但兩個(gè)方向向量所成角是有兩種情況的。

教師：這位同學(xué)的回答得很好，前面同學(xué)的提問也有想象力。這就是我下面要問的問題：異面直線所成角與兩個(gè)方向向量所成角之間有什么關(guān)系呢？

學(xué)生11：相等或互補(bǔ)。

教師：那么我們又能得到什么結(jié)論呢？

（也許受到剛才的激勵，學(xué)生們思考的積極性明顯高漲，很快就有了結(jié)果）

學(xué)生12：

相等時(shí) ，互補(bǔ)時(shí)

教師：非常正確！我們也可以合到一起寫成：

教師：剩下的線面和面面的夾角問題作為課后思考題，請同學(xué)們課后自行完成。

設(shè)計(jì)意圖：在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生自主探究、自由想象、合作交流的過程中，突破本節(jié)課的難點(diǎn)。體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用。

3.3及時(shí)訓(xùn)練，鞏固新知

例1：（PPT投影）判斷下列線線、線面、面面的位置關(guān)系

（1）設(shè) 分別是直線 的方向向量，且

（2）設(shè) 分別是平面 的法向量，且

（3）設(shè) 是平面 的法向量， 是直線 的方向向量，且

（請三位同學(xué)板演，其余同學(xué)獨(dú)立完成）

題目難度不大，所以同學(xué)們都做得非常好。

設(shè)計(jì)意圖：三種不同的情況，三種不同的位置關(guān)系，不僅鞏固了所學(xué)的知識而且讓學(xué)生充分體會空間向量在解立體幾何問題中的作用。同時(shí)也體現(xiàn)了“向量是軀體，運(yùn)算時(shí)靈魂”這句話的真正含義。

4.總結(jié)反思，提高認(rèn)識

教師：通過努力，我們會用向量的方法來解決一些立體幾何問題，我們本節(jié)課主要探討了哪些？

學(xué)生13：探討了線線、線面、面面的平行與垂直問題以及異面直線所成角的問題。

看來收獲還是比較多的，希望同學(xué)們可以將這類研究問題的方法和數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到更多的領(lǐng)域中，相信你會有更多的收獲！