關(guān)于初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接問(wèn)題的教學(xué)之探索

文志遠(yuǎn)

摘要：初中數(shù)學(xué)中許多幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題看似與面積不相關(guān)，但是卻可以靈活地利用面積法予以解決。面積作為幾何的一種重要結(jié)構(gòu)，學(xué)生要學(xué)會(huì)將其作為解題的重要工具與手段，探索幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的正確解答方法。而在圖形等面積拼接教學(xué)中，“剪圖與拼接”教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生解決這一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要教學(xué)方法，筆者將通過(guò)初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接問(wèn)題進(jìn)行“剪圖與拼接”教學(xué)的分析與探討，以供參考。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；幾何問(wèn)題；面積法；拼接

在面積法中，剪圖與拼接是其最為直接且易于理解的解題思路，具有思路靈活與答案不唯一的特點(diǎn)。同時(shí)，這一解題思路對(duì)學(xué)生提出的要求就是要針對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行多方面、多層次以及多角度的思考與探索，在深入理解與領(lǐng)悟剪圖與拼接的要點(diǎn)之后，將原圖形的面積以全新、直觀、易求解的圖形面積展現(xiàn)出來(lái)[1]。

1 初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接現(xiàn)狀

在初中數(shù)學(xué)勾股定理的課堂教學(xué)后，呈現(xiàn)給學(xué)生的新知識(shí)點(diǎn)之一就是圖形等面積拼接問(wèn)題，旨在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)這類數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力。教師在教學(xué)過(guò)程中，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生去將等面積圖形拼接思路與拼接方法進(jìn)行歸納總結(jié)，形成其對(duì)正方形拼接問(wèn)題的正確深刻認(rèn)識(shí)，著重針對(duì)剪圖與拼圖方法的教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行授課。但是在引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、模仿趙爽弦圖進(jìn)行正方形拼接的時(shí)候，卻存在這樣的困境：在分割線減少的情況下，學(xué)生難以擺脫趙爽弦圖的禁錮，難以找到分割線不過(guò)格點(diǎn)的好方法，也就難以解決這類數(shù)學(xué)題。因此，要真正培養(yǎng)學(xué)生解決這類數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，就需要引導(dǎo)其理解與領(lǐng)悟“剪邊長(zhǎng)、拼直角”的剪圖與拼圖原理。

2 初中數(shù)學(xué)幾何圖形等面積拼接問(wèn)題教學(xué)方法

2.1 “5個(gè)等面積且呈一字型的小正方形——1個(gè)同等面積大正方形”剪拼教學(xué)

在教學(xué)過(guò)程中，教師發(fā)揮著重要的引導(dǎo)作用，讓學(xué)生可以在教師的有效引導(dǎo)下與自身學(xué)習(xí)相結(jié)合，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，并予以解決，也利于避免學(xué)習(xí)誤區(qū)，防止定式思維對(duì)學(xué)習(xí)的影響。比如在5個(gè)等面積且呈一字型的小正方形中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從拼圖前后面積不變的角度去深入思考，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，5個(gè)一字型排開(kāi)的小正方形總面積為1×5=5，因此，所需要拼接的同等面積大正方形的邊長(zhǎng)則為 ，所以要在一字型5個(gè)小正方形組成的矩形中找到邊長(zhǎng)為 的分割線。而根據(jù)前面課程的勾股定理，我們可以得知長(zhǎng)為2、寬為1的長(zhǎng)方形對(duì)角線即為另一邊長(zhǎng) ，可以將其作為分割線，再讓學(xué)生沿著分割線剪切而拼接成新的大正方形。如圖1所示：

教師在引導(dǎo)學(xué)生剪圖拼接后，也要讓學(xué)生對(duì)其分割方法進(jìn)行檢驗(yàn)、歸納與總結(jié)，可以得到切邊長(zhǎng)、拼直角的解題方法。

2.2 “改變位置后的5個(gè)小正方形——1個(gè)同等面積大正方形”剪拼教學(xué)

與2.1不同的是，5個(gè)小正方形只是位置發(fā)生變化，其他方面條件一樣。

2.2.1 學(xué)生在趙爽弦圖思維定式下的圖形分割法

在往常的教學(xué)過(guò)程中，常見(jiàn)學(xué)生擺脫不了趙爽弦圖的思維定式，將圖形剪出1個(gè)正方形與4個(gè)直角三角形，如圖2所示：

2.2.2 擺脫趙爽弦圖思維定式下的圖形分割法

要擺脫趙爽弦圖進(jìn)行幾何數(shù)學(xué)圖形等面積的剪拼，可以用分割線分成三個(gè)部分，將其中2塊移動(dòng)拼接成新的等面積大正方形，如圖3所示：

2.2.3 圖形分割法的延伸歸納

教師要引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題后，引出問(wèn)題，進(jìn)行解題方法的延伸歸納[2]。比如，教師可以引出“是否在保證拼得正方形邊長(zhǎng)確定的分割線之間相互垂直的情況下，能夠剪拼形成更大的同等面積正方形”這一問(wèn)題。教師可以讓學(xué)生進(jìn)行正方形紙片剪拼試驗(yàn)方法，讓學(xué)生親身操作，作出邊長(zhǎng)為 的分割線，在其相互垂直的情況下，可以作出2組圖形剪拼如圖4所示：

由此可見(jiàn)，學(xué)生已經(jīng)不再局限于趙爽弦圖而進(jìn)行圖形拼接。然而，教師還要注意，不能讓學(xué)生步出了一個(gè)思維定式而又走進(jìn)了另一個(gè)思維定式。學(xué)生在利用正方形紙進(jìn)行 為邊長(zhǎng)的分割線時(shí)，一般是通過(guò)勾股定理得出以1和2為直角邊長(zhǎng)的三角形斜邊長(zhǎng)，但是其分割線頂點(diǎn)出現(xiàn)了局限性問(wèn)題，即都處于格點(diǎn)處。那么，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深層次與更多方面的思考：以 為邊長(zhǎng)，同時(shí)又相互垂直的分割線還能有其它分割法嗎？學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，可以發(fā)現(xiàn)，分割線的平移作用并不會(huì)對(duì)相互垂直的分割線位置與數(shù)量造成任何影響。也就是說(shuō)，分割線的意義就是將所要拼接的大正方形邊長(zhǎng)剪切出來(lái)，所以最后拼圖時(shí)要使得分割線朝外拼接，而分割線互相垂直的意義，就是通過(guò)垂直分出四個(gè)直角，將其作為新正方形的內(nèi)角，最終形成完整的新大正方形，如圖5所示：

2.3 “2個(gè)任意大小正方形——1個(gè)同等面積大正方形”剪拼教學(xué)

可以將2個(gè)大小正方形設(shè)為邊長(zhǎng)分別是1和2，要將其進(jìn)行剪圖拼接形成新的1個(gè)同等面積大正方形。原圖形面積為兩個(gè)小正方形面積之和，即是1?+2?=5。因此，所需要拼接的新正方形面積也是5，其邊長(zhǎng)則為 ，可將采用如圖6所示的剪圖與拼接方法：

其中，AB=CD=1，BC=DE=2，由左圖作出分割線AC和CE，邊長(zhǎng)即為 ，是所需要拼接的新正方形邊長(zhǎng)，沿著分割線進(jìn)行剪切，將2個(gè)大小正方形分成3部分，并將剪切出來(lái)的1和2部分紙片拼接在1?和2?位置，最終形成新的等同面積大正方形ACEF，且邊長(zhǎng)為 。

3 初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接問(wèn)題的思考及有效策略

初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接問(wèn)題的教學(xué)環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)，旨在讓學(xué)生可以不斷去探索剪切與拼接正方形的各種新方法，但是目前卻普遍存在學(xué)生難以擺脫趙爽弦圖的拼接思路，數(shù)學(xué)思維呈現(xiàn)定式特征。數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象且深?yuàn)W的課程，需要學(xué)生不斷去思考，去探索，去突破。因此，要做到以下幾點(diǎn)，強(qiáng)化初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接教學(xué)[3]：

首先，要強(qiáng)化教師的引導(dǎo)作用。教師要正確認(rèn)識(shí)自身在課堂上的主導(dǎo)地位，在尊重學(xué)生主體地位的前提下，充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)作用，及時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生走出誤區(qū)，進(jìn)而走進(jìn)新天地，并且要進(jìn)行新知識(shí)的拓展與延伸，鼓勵(lì)與引導(dǎo)學(xué)生去更深層次與另辟角度去探索新問(wèn)題與新方法，在多方面觀察的前提下進(jìn)行深入學(xué)習(xí)與思考。

其次，要強(qiáng)化學(xué)生的幾何畫(huà)圖能力。在初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接教學(xué)中，作出圖形分割線是十分重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生要在這個(gè)過(guò)程中切身體會(huì)怎樣去拼接全新的等面積正方形，借助剪刀與紙片開(kāi)展實(shí)際操作，加深自身的記憶，強(qiáng)化自己對(duì)這一知識(shí)的訓(xùn)練。此外，還可運(yùn)用其它技巧，比如用數(shù)字來(lái)對(duì)所需拼接的圖形進(jìn)行順序標(biāo)注，從而讓自己更清晰直觀地看到拼接前后圖片的位置變化，利于提高操作效率與實(shí)踐能力。

4 結(jié)束語(yǔ)

總的來(lái)說(shuō)，初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接問(wèn)題教學(xué)工作，需要在教師的有效引導(dǎo)下讓學(xué)生去學(xué)，教師也要在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中去加深教學(xué)，推動(dòng)學(xué)生不斷去發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，進(jìn)而分析問(wèn)題，在歸納與總結(jié)的過(guò)程中培養(yǎng)與提高其解決問(wèn)題能力，并且養(yǎng)成其創(chuàng)新探索的學(xué)習(xí)好習(xí)慣，使其整個(gè)學(xué)習(xí)生涯都受益。

參考文獻(xiàn)：

[1]李忠琴.面積法在圖形剪、拼中的運(yùn)用[J].基礎(chǔ)教育論壇，2010，（11）：27.

[2]許雯.對(duì)初中數(shù)學(xué)圖形等面積拼接問(wèn)題的教學(xué)反思[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，04：54-56.

[3]陳琦琨.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中面積法的應(yīng)用探討[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師通訊），2015，06：53.