m進(jìn)制正整數(shù)乘積末位數(shù)有關(guān)規(guī)律問(wèn)題探討

馮邦欽　陳云峰　陳靜文

【摘要】探討了給定m進(jìn)制正整數(shù)n與任意m進(jìn)制正整數(shù)相乘所得積的末位數(shù)字不同個(gè)數(shù)的變化規(guī)律.

【關(guān)鍵詞】m進(jìn)制；數(shù)乘；正整數(shù)；積

【基金項(xiàng)目】湖北理工學(xué)院校級(jí)重點(diǎn)課題“關(guān)于不定方程最小解的探討研究”，項(xiàng)目編號(hào)：13xjz07A.

【分類號(hào)】O121 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

在十進(jìn)位制數(shù)中，任給一個(gè)正整數(shù)n與任意正整數(shù)相乘，其積的末位數(shù)字的不同個(gè)數(shù)變化規(guī)律如何呢？筆者經(jīng)過(guò)探討，發(fā)現(xiàn)有以下美妙結(jié)果.

定理1 在十進(jìn)制數(shù)中，給定正整數(shù)n與任意正整數(shù)相乘所得積的末位數(shù)字的不同個(gè)數(shù)為10÷（n，10）.

事實(shí)上，給定的正整數(shù)n與任意給定的正整數(shù)n1相乘的所得乘積n×n1的末位數(shù)字是由這兩個(gè)數(shù)的末位數(shù)字相乘所得積的末位數(shù)字.

令n=10m+r，n1=10m1+r1，其中0≤r，r1≤9，則

關(guān)于積r1r的末位數(shù)字不同個(gè)數(shù)情況做如下探討：

n1的末位數(shù)字取值分別為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；將n的末位數(shù)字r分為0，2，4，5，6，8及1，3，7，9兩類進(jìn)行討論，討論的結(jié)果如表1和表2.

綜上，從以上的列表中看到，定理1的結(jié)論顯然成立.

那么，在任意m進(jìn)制數(shù)中，給定正整數(shù)n與任意正整數(shù)相乘所得乘積的末位數(shù)字不同個(gè)數(shù)規(guī)律又如何呢？

定理2 在m進(jìn)制數(shù)中，給定正整數(shù)n與任意正整數(shù)相乘，所得積的末位數(shù)字的不同個(gè)數(shù)為m÷（m，n）.

證：在m進(jìn)制數(shù)中，正整數(shù)的末位數(shù)字分別為0，1，2，…，m-1，所以給定正整數(shù)n與任意正整數(shù)的相乘所得乘積數(shù)的末位數(shù)字不同個(gè)數(shù)與0，2n，3n，…，（m-1）n這m個(gè)數(shù)的末位數(shù)字不同個(gè)數(shù)情況完全相同.

不妨取nt0，nt1有相同的末位數(shù)字，其中t0∈{0，1，2，…，m-1}，t1∈zm，nt1≡nt0（modm），當(dāng)n≡0（modm）時(shí)，定理顯然成立；當(dāng)n≠0（modm）時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[1]、[2]知，故有n（m，n）t≡n（m，n）t0modm（m，n），又m（m，n），n（m，n）=1，從而t1≡t0modm（m，n），所以t1=t0+m（m，n）t，t1∈zm，而當(dāng)t=0，1，2，3…，（m，n）-1時(shí)，t1=t0，t0+m（m，n），t0+2m（m，n），…，t0+（（m，n）-1）m（m，n），且此（m，n）個(gè)整數(shù)關(guān)于模（m，n）互不同余，也即t0，t0+m（m，n）（modm），t0+2m（m，n）（modm），…，t0+（（m，n）-1）m（m，n）（modm）∈{0，1，2，…，m-1}且關(guān)于模m互不同余，即一次同余方程nt1≡nt0（modm）關(guān)于模m有（m，n）個(gè)不同解，由于并這（m，n）個(gè)整數(shù)與n乘積所得末位數(shù)字與nt0末位數(shù)字相同，又“正整數(shù)n與任意正整數(shù)的相乘所得乘積數(shù)的末位數(shù)字不同個(gè)數(shù)與0，2n，3n，…，（m-1）n這m個(gè)數(shù)的末位數(shù)字不同個(gè)數(shù)情況完全相同”，故0，2n，3n，…，（m-1）n這m個(gè)數(shù)中與nt0的末位數(shù)字相同的個(gè)數(shù)為（m，n）個(gè).

由于t0∈{0，1，2，3，…，m-1}的任意性知，0，n，2n，3n，…（m-1）n這m個(gè)數(shù)的末位數(shù)字中，有不同末位數(shù)字的個(gè)數(shù)為m÷（m，n）.

下面對(duì)m=8時(shí)的情況進(jìn)行討論.

取正整數(shù)n1=8m1+r1，n2=8m2+r2，0≤r1，r2≤7，且m1，m2均為正整數(shù)，n1×n2=8（8m1m2+m1r2+m2r1）+r1r2.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M]，北京：科學(xué)出版社，1975：1-37.

[2]閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M]，北京：高等教育出版社，1982：59-64.