一個包含Euler函數(shù)方程的正整數(shù)解?

王曦浛，高 麗，魯偉陽

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安，716000)

一個包含Euler函數(shù)方程的正整數(shù)解?

王曦浛，高 麗?，魯偉陽

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安，716000)

對任意的正整數(shù)n，φ(n)是Euler函數(shù)，即就是不大于n并與n互素的數(shù)的個數(shù)。本文主要目的是研究不定方程φ(xyz)＝5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性問題，并給出該方程的所有正整數(shù)解。

Euler函數(shù);不定方程;正整數(shù)解

對于任意的正整數(shù)n，φ(n)是Euler函數(shù)，即就是不大于n并與n互素的數(shù)的個數(shù)[1]。有關(guān)Euler函數(shù)φ(n)的問題，有不少學(xué)者研究過且取得不少成果[2-5]。例如:文獻(xiàn)[6]研究了一個與Euler函數(shù)φ(n)有關(guān)的方程φ(xyz)＝ 2(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性問題，并給出該方程的所有正整數(shù)解。

文獻(xiàn)[7]、[8]分別研究了方程 φ(xyz)＝3(φ(x)+φ(y)+φ(z))，φ(xyz)＝4(φ(x)+ φ(y)+φ(z))的可解性問題，并給出該方程的所有正整數(shù)解。

本文主要利用初等方法研究不定方程φ(xyz)＝5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性，并給出該方程的所有正整數(shù)解。即就是

定理:方程

有正整數(shù)解:(x，y，z)＝(25，3，3)，(44，3，3)，(50，3，3)，(33，3，4)，(33，4，3)，(25，3，6)，(25，6，3)，(11，3，5)，(22，3，5)，(11，5，3)，(22，5，3)，(11，3，8)，(11，8，3)，(11，3，10)，(11，10，3)，(11，4，5)，(11，5，4)，(11，6，5)，(11，5，6)，(3，3，25)，(3，3，44)，(3，3，50)，(3，4，33)，(4，3，33)，(3，6，25)，(6，3，25)，(3，25，3)，(3，44，3)，(3，50，3)，(3，33，4)，(4，33，3)，(3，25，6)，(6，25，3)，(3，5，11)，(3，5，22)，(3，11，5)，(3，22，5)，(3，8，11)，(3，11，8)，(3，10，11)， (3，11，10)，(4，5，11)，(4，11，5)，(6，5，11)，(6，11，5)，(5，3，11)，(5，3，22)，(5，4，11)，(5，6，11)，(8，3，11)，(10，3，11)，(5，11，3)，(5，22，3)，(5，11，4)，(5，11，6)，(8，11，3)，(10，11，3)。

1 相關(guān)引理

引理1.1[6]對任意正整數(shù)n，p為素數(shù)，則

引理1.2[9]對任意正整數(shù)m與n，則

其中(m，n)為m與n的最大公約數(shù)。

引理1.3[9]設(shè)n是整數(shù)，且n≥2，則φ(n)＜n；當(dāng)n≥3是整數(shù)，則φ(n)為偶數(shù)。

2 定理的證明

由于φ(xyz)＝5(φ(x)+φ(y)+φ(z))及引理1.2，則有

從而有φ(x)φ(y)φ(z)≤5(φ(x)+φ(y)+φ(z))，即

根據(jù)φ(y)φ(z)的值，分以下兩種情況:

2.1 φ(y)φ(z)≤5

此時φ(y)φ(z)≤4，式(2)成立，則(y，z)＝(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，8)，(1，10)，(1，12)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，8)，(2，10)，(2，12)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(8，1)，(8，2)，(10，1)，(10，2)，(12，1)，(12，2)。

顯然(y，z)＝(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(1，4)，(4，1)，(1，5)，(5，1)時，方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(1，6)，(6，1)時，有

當(dāng)(y，z)＝(1，8)，(8，1)時，有

當(dāng)(y，z)＝(1，10)，(10，1)時，有

當(dāng)(y，z)＝(1，12)，(12，1)時，有

由于由此可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(2，2)時，有

當(dāng)(y，z)＝(2，3)，(3，2)時，有φ(6x)＝5(φ(x)+3)＝5φ(x)+15。根據(jù)以上φ(6x)的討論可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(3，3)時，有

當(dāng)(y，z)＝(2，4)，(4，2)時，有φ(8x)＝5(φ(x)+3)＝5φ(x)+15。根據(jù)以上φ(8x)的討論可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(2，5)，(5，2)時，有φ(10x)＝5(φ(x)+5)＝5φ(x)+25。根據(jù)以上φ(10x)的討論可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(2，6)，(6，2)時，有φ(12x)＝5(φ(x)+3)＝5φ(x)+15。根據(jù)以上φ(12x)的討論可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(2，8)，(8，2)時，有φ(16x)＝5(φ(x)+5)＝5φ(x)+25。由于

由此可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(2，10)，(10，2)時，有φ(20x)＝5(φ(x)+5)＝5φ(x)+25。由于

由此可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(2，12)，(12，2)時，有φ(24x)＝5(φ(x)+5)＝5φ(x)+25。由于

由此可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(3，4)，(4，3)時，有φ(12x)＝5(φ(x)+4)＝5φ(x)+20。根據(jù)以上φ(12x)的討論可知，當(dāng)6φ(x)＝5φ(x)+20，從而φ(x)＝20，則x＝33。因而方程(1)有正整數(shù)解(x，y，z)＝(33，3，4)，(33，4，3)。

當(dāng)(y，z)＝(3，6)，(6，3)時，有φ(18x)＝5(φ(x)+4)＝5φ(x)+20。由于

此時，當(dāng)6φ(x)＝5φ(x)+20，從而φ(x)＝20，x＝25。因而方程(1)有正整數(shù)解(x，y，z)＝(25，3，6)，(25，6，3)。

當(dāng)(y，z)＝(4，4)時，有φ(16x)＝5(φ(x)+ 4)＝5φ(x)+20。根據(jù)以上φ(16x)的討論可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(4，6)，(6，4)時，有φ(24x)＝5(φ(x)+4)＝5φ(x)+20。根據(jù)以上φ(24x)的討論可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

2.2 φ(y)φ(z)＞5

當(dāng)φ(y)φ(z)＞5時，此時有φ(y)φ(z)≥6。

(i)當(dāng)φ(y)φ(z)＝6時，有φ(y)＝1，φ(z)＝6或φ(y)＝6，φ(z)＝1。

當(dāng)φ(y)＝1，φ(z)＝6時，有y＝1，2；z＝7，9，14，18，則(y，z)＝(1，7)，(1，9)，(1，14)，(1，18)，(2，7)，(2，9)，(2，14)，(2，18)這8種情況。

當(dāng)(y，z)＝(1，7)時，有φ(7x)＝5(φ(x)+ 7)＝5φ(x)+35。由于

由此可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(1，9)時，有φ(9x)＝5(φ(x)+ 7)＝5φ(x)+35。根據(jù)以上φ(9x)的討論可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(1，14)時，有φ(14x)＝5(φ(x)+ 7)＝5φ(x)+35。由于

由此可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(1，18)時，有φ(18x)＝5(φ(x)+ 7)＝5φ(x)+35。根據(jù)以上φ(18x)的討論可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(2，7)時，有φ(14x)＝5(φ(x)+ 7)＝5φ(x)+35。根據(jù)以上φ(14x)的討論可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(2，9)時，有φ(18x)＝5(φ(x)+ 7)＝5φ(x)+35。根據(jù)以上φ(18x)的討論可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(2，14)時，有φ(28x)＝5(φ(x)+ 7)＝5φ(x)+35。由于

由此可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(y，z)＝(2，18)時，有φ(36x)＝5(φ(x)+ 7)＝5φ(x)+35。由于

由此可知，此時方程(1)無正整數(shù)解。

同理當(dāng)φ(y)＝6，φ(z)＝1時，方程(1)無正整數(shù)解。

(ii)當(dāng)φ(y)φ(z)＝8時，有φ(y)＝1，φ(z)＝8或φ(y)＝ 2，φ(z)＝ 4或φ(y)＝ 4，φ(z)＝ 2或φ(y)＝ 8，φ(z)＝1。當(dāng)φ(y)＝1，φ(z)＝8時，有y＝1，2；z＝15，16，20，24，30。當(dāng)φ(y)＝ 2，φ(z)＝4時，有y＝3，4，6；z＝5，8，10，12。仿φ(y)φ(z)＝6情況討論可得，此時方程(1)有正整數(shù)解(x，y，z)＝(11，3，5)，(22，3，5)，(11，3，8)，(11，3，10)，(11，4，5)，(11，6，5)，(11，5，3)，(22，5，3)，(11，8，3)，(11，10，3)，(11，5，4)，(11，5，6)。

(iii)當(dāng)φ(y)φ(z)＝10時，有φ(y)＝1，φ(z)＝10或φ(y)＝10，φ(z)＝1。當(dāng)φ(y)＝1，φ(z)＝10時，有y＝1，2；z＝11，22。仿φ(y)φ(z)＝6情況討論可得，此時方程(1)無正整數(shù)解。

(iv)當(dāng)φ(y)φ(z)＝ 12時，有φ(y)＝ 1，φ(z)＝12或φ(y)＝2，φ(z)＝6或φ(y)＝6，φ(z)＝2或φ(y)＝12，φ(z)＝1。當(dāng)φ(y)＝1，φ(z)＝12時，y＝1，2；z＝13，21，26，28，36，42。當(dāng)φ(y)＝2，φ(z)＝6時，y＝3，4，6；z＝7，9，14，18。仿φ(y)φ(z)＝6情況討論可得，此時方程(1)有正整數(shù)解。

(v)當(dāng)φ(y)φ(z)≥14時，由于φ(y)，φ(z)均為正整數(shù)，所以有(φ(y)-1)(φ(z)-1)≥0及φ(y)φ(z)+1≥φ(y)+φ(z)。由(2)有

所以φ(x)＝1，2，4，6，8。

①若φ(x)＝1時，φ(y)φ(z)＝φ(x)φ(y)φ(z)≤φ(xyz)＝5(1+φ(y)+φ(z))。 于是有

(φ(y)-5)(φ(z)-5)≤30。

當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)＜0時，若φ(y)＝1，則φ(z)≥6，此時直接驗證可知方程(1)無解。同理若φ(z)＝1，則φ(y)≥6方程(1)無解；若φ(y)＝2，則φ(z)≥6，此時直接驗證可知方程(1)無解。同理若φ(z)＝2，則φ(y)≥6方程(1)無解；若φ(y)＝4，則φ(z)≥6，此時直接驗證可知方程(1)無解。同理若φ(z)＝4，則φ(y)≥6方程(1)無解。

當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)＝0時，則φ(y)，φ(z)至少有一個等于5，此時方程(1)無解。

當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)＝1時，有φ(y)＝6，φ(z)＝6或φ(y)＝4，φ(z)＝4。此時5(1+ φ(y)+φ(z))均為奇數(shù)。因而方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)＝2時，有φ(y)＝6，φ(z)＝7或φ(y)＝7，φ(z)＝6或φ(y)＝4，φ(z)＝3或φ(y)＝3，φ(z)＝4。此時φ(y)，φ(z)中有一個不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)＝3時，有φ(y)＝8，φ(z)＝6或φ(y)＝6，φ(z)＝8或φ(y)＝2，φ(z)＝4或φ(y)＝4，φ(z)＝2。此時5(1+φ(y)+ φ(z))均為奇數(shù)。因而方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)＝4時，有φ(y)＝6，φ(z)＝9或φ(y)＝9，φ(z)＝6或φ(y)＝7，φ(z)＝7或φ(y)＝1，φ(z)＝4或φ(y)＝4，φ(z)＝1或φ(y)＝3，φ(z)＝3。驗證不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)＝5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29時，5(1+φ(y)+φ(z))均為奇數(shù)。因而方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)＝6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30時，φ(y)，φ(z)中至少有一個不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。

②若φ(x)＝2時，此時有

2φ(y)φ(z)＝φ(x)φ(y)φ(z)≤ φ(xyz)＝5(2+φ(y)+φ(z))＜6(2+φ(y)+φ(z))。于是有(φ(y)-3)(φ(z)-3)＜15。

當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)＜0時，若φ(y)＝1，則φ(z)≥4，此時有x＝3，4，6；y＝1，2。因而方程(1)無正整數(shù)解。同理若φ(z)＝1，則φ(y)≥4方程(1)無解；若φ(y)＝2，則φ(z)≥4，此時有x＝3，4，6；y＝3，4，6。因而方程(1)有正整數(shù)解(3，3，25)，(3，3，44)，(3，3，50)，(3，4，33)，(4，3，33)，(3，6，25)，(6，3，25)。同理若φ(z)＝2，則φ(y)≥4時，因而方程(1)有正整數(shù)解(3，25，3)，(3，44，3)，(3，50，3)，(3，33，4)，(4，33，3)，(3，25，6)，(6，25，3)。

當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)＝0時，φ(y)，φ(z)中至少有一個等于3，因而方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)＝1，2，3，4，5，9，11，13時，通過驗證不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)＝7時，有φ(y)＝4，φ(z)＝10或φ(y)＝10，φ(z)＝4。因而方程(1)有正整數(shù)解(3，5，11)，(3，5，22)，(3，11，5)，(3，22，5)，(3，8，11)，(3，11，8)，(3，10，11)，(3，11，10)，(4，5，11)，(4，11，5)，(6，5，11)，(6，11，5)。

當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)＝6，8，10，12，14時，φ(y)，φ(z)中至少有一個不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。

③若φ(x)＝4時，此時有

4φ(y)φ(z)＝φ(x)φ(y)φ(z)≤ φ(xyz)＝5(4+φ(y)+φ(z))＜8(4+φ(y)+φ(z))。于是有(φ(y)-2)(φ(z)-2)＜12。

當(dāng)(φ(y)-2)(φ(z)-2)＜0時，若φ(y)＝1，則φ(z)≥4，通過驗證不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。同理若φ(z)＝1，則φ(y)≥4，方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(φ(y)-2)(φ(z)-2)＝0時，則φ(y)，φ(z)中至少有一個等于2。當(dāng)φ(y)＝2時，方程(1)有正整數(shù)解(5，3，11)，(5，3，22)，(5，4，11)，(5，6，11)，(8，3，11)，(10，3，11)。同理當(dāng)φ(z)＝2時，方程(1)有正整數(shù)解(5，11，3)，(5，22，3)，(5，11，4)，(5，11，6)，(8，11，3)，(10，11，3)。

當(dāng)(φ(y)-2)(φ(z)-2)＝1，4，8時，通過驗證不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(φ(y)-2)(φ(z)-2)＝2，3，5，6，7，9，10，11時，φ(y)，φ(z)中至少有一個不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。

④若φ(x)＝6時，此時有

6φ(y)φ(z)＝φ(x)φ(y)φ(z)≤ φ(xyz)＝5(6+φ(y)+φ(z))＜6(6+φ(y)+φ(z))。于是有0≤(φ(y)-1)(φ(z)-1)＜7。

當(dāng)(φ(y)-1)(φ(z)-1)＝0，1，3，5時，通過驗證不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng)(φ(y)-1)(φ(z)-1)＝2，4，6時，φ(y)，φ(z)中至少有一個不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。

⑤若φ(x)＝8時，此時有

8φ(y)φ(z)＝φ(x)φ(y)φ(z)≤ φ(xyz)＝5(8+φ(y)+φ(z))＜8(8+φ(y)+φ(z))。于是有0≤(φ(y)-1)(φ(z)-1)＜9。

當(dāng)(φ(y)-1)(φ(z)-1)＝0，1，3，5，7時，通過驗證不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。

當(dāng) (φ(y)-1)(φ(z)-1)＝2，4，6，8時，φ(y)，φ(z)中至少有一個不成立，因而方程(1)無正整數(shù)解。

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(責(zé)任編輯:曾 晶)

The Positive Integer Solution of an Equation Involving the Euler Function

WANG Xihan，GAO Li?，LUWeiyang

(College of Mathematics and Computer Science，Yan’an University，Yan’an 716000，China)

For any positive integer n，φ(n)is Euler function.That is the number of all positive integers not exceeding n which are relatively prime to n.Themain purpose of this paper is to study the solutions of the equation φ(xyz)＝5(φ(x)+(φ(y)+(φ(z))，and gives all its solution.

Euler function；Diophantine equation；positive integer solutions

O156

A

1000-5269(2016)04-0025-05

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.04.05

2016-05-04

陜西省科技廳科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計劃項目(2013JQ1019)；延安大學(xué)校級科研計劃項目—引導(dǎo)項目(YD2014-05)；延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃項目

王曦浛(1990-)，女，在讀碩士，研究方向:數(shù)論，Email:648034259＠qq.com.

?通訊作者:高麗，Email:yadxgl＠163.com.