關(guān)于k-可表示Frobenius 問題的拓展研究

張文超，陳丹霞

（1.惠州學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 惠州 516007；2.大亞灣第三中學，廣東 惠州 516083）

Frobenius 問題是關(guān)于一次不定方程的一個著名問題，該問題是找出依賴于互素正整數(shù)集{a1,a2,…,ad}(d≥2)的最大不可表出數(shù)，即Frobenius數(shù)。二元情況下的Frobenius 問題已經(jīng)得到完全解決，Sylvester［1］討論了相關(guān)問題并給出了二元Frobenius 數(shù)的表達式為ab-a-b.Matthias 和Sinai［2］對d= 3 的情況進行了探討并對可表示問題進行了相關(guān)探究，給出了部分結(jié)論。

我國對于Frobenius 問題的研究起步較晚，取得了部分顯著成果。如：柯召對該問題做出了較大貢獻，給出了二元情況下Frobenius 問題的另一種證明［3］，同時給出了三元情況下的最大不可表出數(shù)算法以及在一定條件下的最大不可表出數(shù)的計算公式［4］。傅克慎［5］、林源洪［6］等對三元情況下的Frobenius 問題進行了進一步探索，給出了線性最大不可表出數(shù)的表示形式以及最大不可表出數(shù)的最大下界；除此之外，吳佃華［7］、陳清華［8］、陳寶根［9］、廖群英［10］等對Frobenius 問題進行探究后給出了在一定條件下的算法以及研究成果。

1 基本概念及引理

設有一組互素正整數(shù)

如果存在非負整數(shù)xi,其中i= 1,2,…,d，使得

那么我們稱正整數(shù)n是可由a1,a2,…,ad表示的。

Frobenius 問題就是找出依賴于互素正整數(shù)集{a1,a2,…,ad} (d≥2)的最大不可表出數(shù)。我們稱這個最大不可表出數(shù)為Frobenius 數(shù)，用符號g(a1,a2,…,ad) 表示，其中已知g（a,b）=ab-a-b.

例如：關(guān)于3 和7 的最大不可表出數(shù)為11。此即，11 不能表示成“11=3x1+7x（2x1、x2均為正整數(shù)）”的形式，而大于11的任意正整數(shù)n均是可表示成“n=3x1+7x（2x1、x2均為正整數(shù)）”的形式。

關(guān)于Frobenius 問題的研究，Peter Barlow 和Tiberiu Popoviciu 具體研究了任意正整數(shù)由互素正整數(shù)集{a1,a2,…,ad} 表示的解的個數(shù)，并給出以下結(jié)論［2］。

引理1.1［2］若a和b均為正整數(shù)且(a,b)= 1，則有正整數(shù)n=x1a+x2b解的個數(shù)

其中，符號{ }表示取符號內(nèi)數(shù)字的小數(shù)部分，b-1b≡1(mod a)且a-1a≡1(mod b)（a-1,b-1均為正整數(shù)）。

易知關(guān)于3和7的最大不可表出數(shù)為11，那么任意大于11的任意正整數(shù)均是可由3和7表示的。根據(jù)引理1.1 可以求出大于11 的正整數(shù)關(guān)于3 和7 可表示解的個數(shù)。如：P{3,7}(24)= 2，即24 關(guān)于3 和7 有2 種不同 的 組 合 式——“24=3×8”、“24=3×1+7×3”；P{3,7}(42)= 3，即42 關(guān)于3 和7 有3 種不同的組合式——“42=3×7+7×3”、“42=3×14”、“42=7×6”。

本文以下內(nèi)容均考慮二元情況下的k-可表示Frobenius問題。為便于后續(xù)研究陳述，現(xiàn)給出部分名詞定義。

定義1.2若a,b均為正整數(shù)且P{a,b}(n)=k，則稱正整數(shù)n關(guān)于a和b是k-可表示的。

定義1.3若a,b均為正整數(shù)且P{a,b}(n)≥k，則稱正整數(shù)n關(guān)于a和b至少是k-可表示的。

定義1.4若正整數(shù)N滿足P{a,b}(N)=k，且對于?n＞N有P{a,b}(n)＞k（n為正整數(shù)），則N為k-可表示的最大正整數(shù)。

定義1.5若正整數(shù)N滿足P{a,b}(N)=k，且對于?n＜N有P{a,b}（n）＜k（n為正整數(shù)），則N為k-可表示的最小正整數(shù)。

文獻［2］給出了兩元素互素情況下的k-可表示最大正整數(shù)的如下表達式，見引理1.6。

引理1.6［2］若a,b均為正整數(shù)，且(a,b)= 1，則k-可表示的最大正整數(shù)gk(a,b)=(k+1)ab-a-b。

接下來給出引理1.6的一個證明。

證明：由引理1.1 可得

由二元互素Frobenius數(shù)g（a,b）的表達式可得，

因此k-可表示的最大正整數(shù)gk(a,b)=(k+1)ab-a-b，得證。

文獻［2］給出了兩元素互素情況下k≥2 時的k-可表示最小正整數(shù)的表示式，見引理1.7。

引理1.7［2］若a,b均為正整數(shù)，且(a,b)= 1，則當k≥2時，k-可表示的最小正整數(shù)為（k-1） ab。

證明：由引理1.1可得，

不妨設P{a,b}(n)=k，對其進行放縮后有

整理可得

引理1.7得證。

2 主要結(jié)論及其證明

2.1 k -可表示數(shù)的范圍

基于k-可表示最大正整數(shù)和最小正整數(shù)的計算公式，進一步對k-可表示數(shù)的范圍進行了進一步討論，給出了包含所有k-可表示的正整數(shù)區(qū)間（定理2.1）和一個僅包含k-可表示正整數(shù)的區(qū)間（定理2.2）。

定理2.1若a,b均為正整數(shù)，且(a,b)= 1，則包含所有k-可表示的正整數(shù)區(qū)間為[(k-1)ab, (k+1)ab-a-b]。特別地，包含所有1-可表示的正整數(shù)區(qū)間為[min{a,b}, 2ab-a-b]。

證明：當k≥2 時，由引理1.6和引理1.7可得k-可表示的所有正整數(shù)所在區(qū)間為

注意到，a,b均為正整數(shù)且(a,b)= 1情況下，當k= 1 時，k-可表示的最小正整數(shù)為min{a,b} ，則同理可得到包含1 -可表示的所有正整數(shù)的區(qū)間為[min{a,b}, 2ab-a-b]。

定理2.2a,b均為正整數(shù)且(a,b)= 1時，僅包含k-可表示的正整數(shù)的區(qū)間為(kab-a-b,kab)。

證明：（1）k= 1時。

由引理1.6和引理1.7可知，關(guān)于a和b的1 -可表示的最大正整數(shù)為2ab-a-b,2 -可表示的最小正整數(shù)為ab；

又因為 2ab-a-b＞ab。

因此，a,b均為正整數(shù)且(a,b)= 1 時，僅包含1 -可表示的正整數(shù)的區(qū)間為(ab-a-b,ab)。

（2）k≥2時。

當a,b均為正整數(shù)且(a,b)= 1 時，根據(jù)定理2.1，可以得到以下結(jié)論：

1）包含所有(k-1)-可表示的正整數(shù)區(qū)間為[(k-2)ab,kab-a-b];

2）包含所有k-可表示的正整數(shù)區(qū)間為[(k-1)ab,(k+ 1)ab-a-b];

3）包含所有(k+ 1)-可表示的正整數(shù)區(qū)間為[kab,(k+ 2)ab-a-b]。

其中，

又因為在(a,b)= 1的情況下

因此

由此可得，

為此，可以得到a,b均為正整數(shù)，(a,b)= 1，且k≥2 時，僅包含k-可表示的正整數(shù)的區(qū)間為(kab-a-b,kab)。

綜上可得，a,b均為正整數(shù)且(a,b)= 1 時，僅包含k-可表示的正整數(shù)的區(qū)間為(kab-a-b,kab)。

2.2 不互素情況下的k -可表示問題

在互素情況下的k-可表示數(shù)極值以及分布區(qū)間的基礎上，進一步對部分不互素情況下的k-可表示數(shù)極值進行了研究，得到了關(guān)于二元呈倍數(shù)關(guān)系時的k-可表示的最大正整數(shù)（定理2.3）以及關(guān)于任意二元不互素情況下的k-可表示的最小正整數(shù)的計算公式（定理2.4）。

定理2.3若a|b，則關(guān)于不互素正整數(shù)a和b的k-可表示的最大正整數(shù)為kb-a。

證明：因為a|b，所以可設b=an，因此

又

因為kb＞kb-a，所以正整數(shù)kb-a關(guān)于a和b有且僅有k種不同的表示形式，即kb-a關(guān)于不互素正整數(shù)a和b是k-可表示的。

取N=kb-a+x(x∈N+)，則

1）若x不是a的整數(shù)倍，則正整數(shù)N關(guān)于a和b是不可表示的；

事實上，

因此當x不是a的整數(shù)倍時，

即正整數(shù)N關(guān)于a和b是不可表示的。

2）若x是a的正整數(shù)倍，則正整數(shù)N關(guān)于a和b是可表示的，且至少是(k+ 1)-可表示的。

事實上，設x=an1(n1≥1且n1∈N+)，則

因此當x是a的正整數(shù)倍時，正整數(shù)N關(guān)于a和b是可表示的，且至少是(k+ 1)-可表示的。

綜上所述，當a和b不互素且b=an(n∈N+)時，kb-a關(guān)于不互素正整數(shù)a和b是k-可表示的且任意正整數(shù)N(N＞kb-a)關(guān)于a和b或不可表示或至少是(k+ 1)-可表示的。因此，關(guān)于不互素正整數(shù)a和b的k-可表示的最大正整數(shù)為kb-a，即定理2.3成立。

定理2.4關(guān)于不互素正整數(shù)a和b的k-可表示的最小正整數(shù)為

其中，lcm(a,b) 表示a和b的最小公倍數(shù)。

證明：不妨設a＜b。

（1）k= 1時。因為a＜b，因此正整數(shù)a關(guān)于a和b的表示僅可取0個b，即正整數(shù)a僅可表成a=a+ 0b的形式，所以a關(guān)于不互素正整數(shù)a和b是1-可表示的。

又取任意小于a的正整數(shù)為N，有N＜a＜b，因此正整數(shù)N關(guān)于a和b的表示中a和b都至多可取0個，即N關(guān)于不互素正整數(shù)a和b是不可表示的。

為此，不互素正整數(shù)a和b的1-可表示的最小正整數(shù)為min{a,b} 。

（2）k≥2時。

由最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)的關(guān)系，易知

其中g(shù)cd(a,b)表示a和b的最大公因數(shù)。

令

因為bx2≥0，則

又

所以

故正整數(shù)(k-1)×lcm(a,b) 關(guān)于不互素正整數(shù)a和b是k-可表示的。

取任意小于(k-1)×lcm(a,b)的正整數(shù)為N，令

同理可得

因為x＞0，所以

此即任意小于(k-1)×lcm(a,b) 的正整數(shù)關(guān)于不互素正整數(shù)a和b都是至多(k-1)-可表示的。

因此，當k≥2時，關(guān)于不互素正整數(shù)a和b的k-可表示的最小正整數(shù)為(k-1)×lcm(a,b)。

綜合（1）和（2）的證明，定理2.4成立。

3 結(jié)束語

文章研究k-可表示Frobenius問題，給出并證明了2 個關(guān)于k-可表示數(shù)分布的區(qū)間，即k-可表示正整數(shù)所在的區(qū)間和1個僅包含k-可表示正整數(shù)的區(qū)間。同時給出并證明了二元呈倍數(shù)關(guān)系時的k-可表示最大正整數(shù)以及兩元素不互素情況下的k-可表示最小正整數(shù)的表達形式，進一步對該問題進行了拓展。后續(xù)可以研究三元情況下的k-可表示數(shù)分布情況以及一般不互素情況下的k-可表示最大正整數(shù)表示形式，以進一步完善k-可表示問題的研究。