方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的教學(xué)分層設(shè)計(jì)與反思

甘綺雯

【摘要】方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的分層教學(xué)內(nèi)容包含一個(gè)概念、三個(gè)等價(jià)關(guān)系、一個(gè)定理.為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課先通過(guò)四個(gè)方程是否有實(shí)根，根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)分層設(shè)計(jì)，讓不同層次學(xué)生都碰撞思維的火花，激發(fā)求知欲，從而引入課題；再利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)去探究方程的根，給出“函數(shù)零點(diǎn)”的定義以及等價(jià)關(guān)系；最后探究零點(diǎn)存在的條件，引出“零點(diǎn)存在性定理”，并利用該定理解決具體問(wèn)題，再輔以分層作業(yè)，進(jìn)行鞏固提高.

【關(guān)鍵詞】方程的根；函數(shù)零點(diǎn)；分層設(shè)計(jì)；教學(xué)反思

【基金項(xiàng)目】廣州市2013年“十二五”教育規(guī)劃課題《高中數(shù)學(xué)作業(yè)分層設(shè)計(jì)的實(shí)踐研究》的階段性成果.課題編號(hào)：2013B263

2014年10月，廣州市黃埔區(qū)高中數(shù)學(xué)學(xué)科舉行了“同課異構(gòu)”教學(xué)研討活動(dòng)，我采用了分層教學(xué)設(shè)計(jì).作為一名青年教師，我有幸參加此次活動(dòng).這次活動(dòng)的課題是人教A版必修1第三章3.1.1“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”，通過(guò)這次活動(dòng)，筆者對(duì)這節(jié)課有一些粗淺認(rèn)識(shí)，現(xiàn)記錄下來(lái)，與大家分享和交流.

一、關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的分層定位

課堂教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該以該節(jié)教學(xué)內(nèi)容為載體，扎根于具體教學(xué)內(nèi)容之中，對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)一步細(xì)化，以突出教學(xué)目標(biāo)對(duì)教學(xué)的導(dǎo)向作用.而本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系以及函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，教學(xué)難點(diǎn)是探究函數(shù)零點(diǎn)存在的條件.

基于以上認(rèn)識(shí)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位如下：

（1）從一些具體方程（如一次、二次方程）根的求解以及相應(yīng)函數(shù)圖像，理解函數(shù)零點(diǎn)的概念以及探索出方程的實(shí)根與其相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系；（2）會(huì)將一個(gè)方程求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，并會(huì)用定理判斷存在零點(diǎn)的區(qū)間；（3）通過(guò)觀察一些特殊函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上函數(shù)值之積的特點(diǎn)，探索發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理；（4）在學(xué)習(xí)過(guò)程中感悟化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想.

對(duì)于不同層次的學(xué)生，教學(xué)目標(biāo)要求是不一樣的：A組學(xué)生達(dá)到（1）—（2）；B組學(xué)生達(dá)到（1）—（3）；C組學(xué)生達(dá)到（1）—（4）.

二、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，分層定標(biāo)，引入零點(diǎn)概念

一個(gè)好的引入可以幫助學(xué)生更好地理解所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，激發(fā)各個(gè)層次學(xué)生自己提出數(shù)學(xué)問(wèn)題.所以本人在課本的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題來(lái)引入新課.

教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

問(wèn)題1：判斷下列方程是否有解？

①x-1=0；②x2-2x-3=0； ③x3-x=0；④lnx+2x-6=0.

（設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1中方程①②③學(xué)生都可以利用初中知識(shí)解決，但方程④用現(xiàn)有方法解決不了，以此引起認(rèn)知沖突）

問(wèn)題2：求出表中方程的實(shí)數(shù)根，畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖像的簡(jiǎn)圖，并寫(xiě)出函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo).（由A層次學(xué)生回答）

（設(shè)計(jì)意圖：利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)去探究方程的根，給出函數(shù)零點(diǎn)的概念）

問(wèn)題3：結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義，你能說(shuō)說(shuō)函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)、方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根、函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，三者有什么關(guān)系？（由B或C層次學(xué)生解決）

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程的實(shí)數(shù)根和相應(yīng)函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，建構(gòu)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的實(shí)數(shù)根的關(guān)系）

三、關(guān)于零點(diǎn)存在性定理的辨析處理

1.對(duì)零點(diǎn)存在性定理的辨析主要有兩個(gè)方面：第一，對(duì)于定理?xiàng)l件的“充分不必要性”的認(rèn)識(shí)，這可以通過(guò)舉反例（如畫(huà)y=x2函數(shù)圖像）理解.第二，對(duì)于定理中零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，首先要明確“零點(diǎn)的個(gè)數(shù)”不是這節(jié)課的重點(diǎn)，只要讓學(xué)生在直觀上認(rèn)識(shí)到，在定理的條件下，一定能保證零點(diǎn)存在，“有多少個(gè)”定理無(wú)法確定.課本中的例1，求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，意在用信息技術(shù)做函數(shù)值對(duì)應(yīng)表和函數(shù)圖像，通過(guò)直觀判斷得出結(jié)論.本人覺(jué)得這節(jié)課的重點(diǎn)是方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系以及函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，所以本人把例題改為：

例題 設(shè)x0是方程lnx+2x-6=0的解，則x0屬于區(qū)間（ ）.

A.（-1，0） B.（1，2）

C.（2，3）D.（3，4）

解決完本題后可以利用幾何畫(huà)板畫(huà)出函數(shù)f（x）=lnx+2x-6圖像，再次驗(yàn)證結(jié)論.

2.在什么時(shí)候進(jìn)行定理辨析？剛學(xué)定理，在對(duì)定理不熟練的情況下，馬上進(jìn)行定理的辨析，對(duì)部分學(xué)生（尤其是A層次學(xué)生）來(lái)說(shuō)是有一定難度的，這樣的辨析只會(huì)弱化對(duì)定理的掌握和理解.所以，本人的處理方法是把定理的辨析放在課后練習(xí)中處理（詳見(jiàn)課堂練習(xí)第（6）題），由B和C層次的學(xué)生來(lái)解決.

四、關(guān)于課堂練習(xí)的設(shè)置——分層作業(yè)

根據(jù)因材施教的理論，這節(jié)課的課堂訓(xùn)練設(shè)計(jì)為分層練習(xí)，分為A、B、C三組練習(xí)，以滿足不同層次學(xué)生的需要.

A組：（由A層次學(xué)生展示）

（1）求下列函數(shù)的零點(diǎn)：

①f（x）=2x-1；②y=x-1x；③f（x）=（x+2）（x-4），x<0，lgx，x≥0.

（2）下列圖像表示的函數(shù)中沒(méi)有零點(diǎn)的是（ ）.

（小結(jié)求函數(shù)零點(diǎn)的方法：①代數(shù)法，即求方程的實(shí)根；②幾何法，即利用函數(shù)y=f（x）的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)）

（3）函數(shù)f（x）=4-4x-ex的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）.

A.（1，2）B.（0，1）

C.（-1，0）D.（-2，-1）

B組：（B層次學(xué)生展示）

（4）設(shè)x0是方程x2-4x=0的解，則x0屬于區(qū)間（ ）.

A.（-1，0）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）

（5）若函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，且有f（a）f（b）>0.則函數(shù)f（x）在[a，b]上（ ）.

A.一定沒(méi)有零點(diǎn)B.至少有一個(gè)零點(diǎn)

C.只有一個(gè)零點(diǎn)D.零點(diǎn)情況不確定

概念辨析：

①將零點(diǎn)存在性定理的條件和結(jié)論交換，所得命題成立嗎？即命題“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，那么f（a）·f（b）<0.”成立嗎？若不成立請(qǐng)舉反例.

②你能在下面橫線上填一個(gè)條件使結(jié)論成立嗎？

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并有f（a）·f（b）<0且，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

C組：（由C層次學(xué)生展示或留作課后C層次學(xué)生解決）

（6）已知函數(shù)f（x）=ax2+x-1+3a（a∈R）在區(qū)間[-1，1]上有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

五、教學(xué)反思

（一）本節(jié)課的成功之處

1.引入自然.為了激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)本內(nèi)容的必要性，本人先給出四個(gè)方程，其中三個(gè)是學(xué)生能通過(guò)已有的知識(shí)解決的，但第四個(gè)就不行了，這樣激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，又讓學(xué)生產(chǎn)生疑惑，為引入新課做鋪墊.然后通過(guò)一個(gè)表格引導(dǎo)學(xué)生觀察三個(gè)方程的解與相應(yīng)函數(shù)圖像的關(guān)系，順勢(shì)提出了函數(shù)零點(diǎn)的定義，此時(shí)學(xué)生很容易得到三個(gè)等價(jià)關(guān)系，并明確要轉(zhuǎn)換角度來(lái)研究方程的根：利用函數(shù)的性質(zhì)和圖像.

2.突破難點(diǎn).對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，高中階段不可能給以證明，只需要讓學(xué)生通過(guò)函數(shù)圖像，直觀感知零點(diǎn)存在的條件.基于此，本人精心設(shè)計(jì)了幾個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}4中的兩個(gè)探究活動(dòng)是學(xué)生熟悉的一次函數(shù)和二次函數(shù)，探究函數(shù)值在零點(diǎn)附近的變化規(guī)律，通過(guò)問(wèn)題4很多學(xué)生能得到：函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定有零點(diǎn)的條件是f（a）·f（b）<0，問(wèn)題5和問(wèn)題6進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生正確得到一般情況下，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定有零點(diǎn)的條件.這三個(gè)問(wèn)題層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生一邊畫(huà)草圖，一邊積極思考，舉反例，從幾何直觀上感知零點(diǎn)存在的條件.這樣設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從具體到抽象，讓學(xué)生在具體的例題中概括出共同的本質(zhì)特征，得出一般性的結(jié)論，使學(xué)生思維發(fā)生碰撞，弄懂了定理.

3.采用分層教學(xué)設(shè)計(jì)，滿足各層次學(xué)生學(xué)習(xí)需要，充分調(diào)動(dòng)各層次學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.讓不同層次學(xué)生都有碰撞思維的火花，課堂氣氛活躍，學(xué)生的參與意識(shí)明顯.學(xué)生在“成功的體驗(yàn)”中，不知不覺(jué)中掌握概念，突破難點(diǎn).最后輔以分層作業(yè)，進(jìn)行鞏固提高.這節(jié)課基本能保證C層在聽(tīng)課時(shí)不等待，A層基本聽(tīng)懂，得到及時(shí)輔導(dǎo)，即A層“吃得了”，B層“吃得好”，C層“吃得飽”.

（二）本節(jié)課的不足之處

1.本節(jié)課的新知識(shí)都具有“形”與“數(shù)”兩方面的含義，而幾何直觀是理性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，教學(xué)時(shí)應(yīng)充分利用好函數(shù)圖像，努力體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)現(xiàn)代教育手段的使用未能充分體現(xiàn)，對(duì)如何展現(xiàn)函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)x軸這一最為關(guān)鍵的過(guò)程，沒(méi)有突出和強(qiáng)調(diào)，從而沒(méi)能更充分利用媒體強(qiáng)化對(duì)學(xué)生思維刺激的輔助作用.

2.在教學(xué)過(guò)程中沒(méi)有注意學(xué)生思維的連貫性.不應(yīng)該在學(xué)完函數(shù)零點(diǎn)的概念和三個(gè)等價(jià)關(guān)系時(shí)馬上進(jìn)行了課堂練習(xí)（1）—（4）題的訓(xùn)練，然后再學(xué)習(xí)零點(diǎn)存在性定理.這樣操作學(xué)生的思維被打斷，不連貫，不利于下一個(gè)問(wèn)題的學(xué)習(xí).所以應(yīng)該把所有問(wèn)題講完才進(jìn)行課堂訓(xùn)練，這樣效果更好.實(shí)踐證明，只要學(xué)生真正理解概念和定理，是不需要急著解太多的題.概念的理解和定理的形成過(guò)程才是這節(jié)課的關(guān)鍵.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]章建躍.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的教學(xué)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2012（1/2）：16-18.