課堂因?qū)W案而精彩
——《圓錐側(cè)面積和全面積》教學(xué)案例設(shè)計(jì)

甘肅省武威市民勤第五中學(xué) 王興軍

課堂因?qū)W案而精彩
——《圓錐側(cè)面積和全面積》教學(xué)案例設(shè)計(jì)

甘肅省武威市民勤第五中學(xué) 王興軍

設(shè)計(jì)有梯度的問題串完成教學(xué)過程；針對(duì)分層訓(xùn)練使課堂務(wù)實(shí)高效；一種拓展思考因它讓學(xué)案更鮮活；一道典型例題因它讓學(xué)案突破了本節(jié)課難點(diǎn)；分層跟蹤檢測因它讓學(xué)案查漏補(bǔ)缺得到落實(shí)；課堂分組討論小結(jié)因它讓學(xué)案張揚(yáng)了學(xué)生的個(gè)性。分組分層布置作業(yè)，讓分層教學(xué)落到實(shí)處。

分層教學(xué)；案例設(shè)計(jì)；精確問題串；突破難點(diǎn)；分組討論；分組檢測

教學(xué)內(nèi)容：圓錐的側(cè)面積和全面積。教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)目標(biāo)：

（1）了解圓錐的有關(guān)概念；（2）推導(dǎo)出圓錐側(cè)面積和全面積的計(jì)算公式。

2.能力目標(biāo)：

（1）經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)——觀察——推論”的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維。

（2）用扇形面積公式推導(dǎo)圓錐側(cè)面積公式，進(jìn)一步探究出圓錐的底面半徑、母線及圓錐側(cè)面扇形圓心角三者之間的關(guān)系。

（3）能夠運(yùn)用以上公式解決有關(guān)說理和計(jì)算問題，逐漸提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。

3.情感目標(biāo)：

通過學(xué)生動(dòng)手操作，觀察，發(fā)現(xiàn)，猜想，推理自主探究和合作交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生真正體會(huì)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

教學(xué)重點(diǎn)：圓錐側(cè)面積公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：圓錐底面圓半徑、母線及側(cè)面展開扇形圓心角三者之間的關(guān)系。

教學(xué)方法與學(xué)法指導(dǎo)：在教學(xué)中運(yùn)用誘導(dǎo)探究式教學(xué)模式，讓學(xué)生通過自主探究和合作交流推導(dǎo)出以上公式和關(guān)系式，采用分層教學(xué)、數(shù)形結(jié)合、分組討論，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題公式化，提高了課堂教學(xué)效果。

教學(xué)過程：

一、梯度的問題串——因它讓學(xué)案引人入勝

1.圓柱的側(cè)面展開圖是什么圖形呢？

2.圓錐的側(cè)面展開圖又是什么圖形呢？

3.如圖：PA是圓錐的什么呢？PO是圓錐的什么呢？

4.同學(xué)們，圓錐的側(cè)面展開圖是個(gè)扇形，請(qǐng)思考：扇形的弧長等于什么呢？現(xiàn)在知道圓錐的母線為L，那么圓錐的側(cè)面積為：S錐側(cè)=x底面周長×母線=πrL。（r表示圓錐底面的半徑，L表示圓錐的母線長）

5.圓錐的側(cè)面積與底面積的和叫做圓錐的全面積（或表面積），那么圓錐的全面積：S全=πr2+πrL。

6.圓錐底面的半徑r、高h(yuǎn)、母線長L三者之間關(guān)系式為：r2+h2=L2。

二、針對(duì)分層訓(xùn)練——因它讓學(xué)案務(wù)實(shí)高效

（A組同學(xué)做（1）、（2）小題，B組同學(xué)都做）

（1）已知一個(gè)圓錐的底面周長為6cm，母線為8cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_______________。

（2）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為12cm，母線長為20cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為______________ ，全面積為_______________。

（3）已知一個(gè)圓錐的高為3cm，側(cè)面展開圖是半圓，求：①圓錐的母線長與底面半徑之比；②錐角的度數(shù)；③圓錐的側(cè)面積；④圓錐的底面直徑為80cm，母線長為90cm，求它的全面積。

三、一種拓展思考——因它讓學(xué)案更鮮活

（1）圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于什么呢？（2πr），側(cè)面展開扇形的圓心角為n度，母線長為L，則扇形的弧長又等于什么呢?（nπL/180）圓錐的底面半徑為r，側(cè)面展開扇形的圓心角為n度，母線長為L，三者之間的關(guān)系式是什么呢？

學(xué)生分組討論，教師適時(shí)點(diǎn)撥誘導(dǎo)得到以下推論：2πr=nπL/180，即：360r=nL。

四、一道典型例題——因它讓學(xué)案突破了本節(jié)課的難點(diǎn)

例：如圖所示的扇形中，半徑R=10，圓心角θ=144°，用這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面。

（1）求這個(gè)圓錐的底面半徑r；（2）求這個(gè)圓錐的高。

五、分層跟蹤檢測——因它讓學(xué)案查漏補(bǔ)缺得到落實(shí)

（A組同學(xué)做（1）、（2）小題，B組同學(xué)都做）

（1）圓錐的側(cè)面積公式為_________ ；圓錐的全面積公式為_________ ；圓錐的底面半徑為r，側(cè)面展開扇形的圓心角為n度，母線長為L，三者之間的關(guān)系式是__________；

（2）圓錐的底面直徑為80cm.母線長為90cm，它的側(cè)面積是__________。

（3）扇形的半徑為30，圓心角為120°，用它做一個(gè)圓錐模型的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑是___________ ，圓錐的高是__________。

（4）圓錐形煙囪帽的母線長為8dm，高為4dm，求這個(gè)煙囪帽的面積。

六、課堂分組討論小結(jié)——因它讓學(xué)案張揚(yáng)了學(xué)生的個(gè)性

A組討論結(jié)果：圓柱的側(cè)面展開圖是長方形；圓錐的側(cè)面展開圖是扇形；圓錐的側(cè)面積公式：S=Lrπ；圓錐的全面積公式S=πr2+Lrπ；圓錐底面半徑r、母線L，高h(yuǎn)三者之間的關(guān)系式為：r2+h2=L2。

B組討論結(jié)果：因?yàn)閳A錐底面圓的周長等于圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長，所以可得到圓錐的底面半徑為r，側(cè)面展開扇形的圓心角n度，母線長為L三者之間的關(guān)系式是：360r=nL，三個(gè)量中只要知道其中兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)量。

七、分組分層設(shè)計(jì)作業(yè)——因它利用學(xué)案實(shí)施分層教學(xué)落到實(shí)處

1.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為18cm，圓心角為240°的扇形，則這個(gè)圓錐的底面半徑長為____；

2.圓錐的底面半徑為10m，母線長為20m，則圓錐的側(cè)面積為____；

3.要制作一個(gè)圓錐形煙囪帽，使底面圓的半徑與母線長的比是4∶5，那么所需扇形的鐵皮的圓心角度數(shù)為___；

4.已知圓錐的側(cè)面積等于60πcm2，母線長為10cm，則圓錐的高為____。

（以上作業(yè)A組做前三個(gè)，B組同學(xué)都做，每題寫出解題過程）

【本文系基金項(xiàng)目：甘肅省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度規(guī)劃課題研究成果，課題批準(zhǔn)號(hào)GS[2016]GHB1750】