高中數(shù)列解題思路與方法探討

汪家榕

摘 要：數(shù)列是我們?cè)谌粘W(xué)習(xí)過(guò)程中一直困擾和存在的問(wèn)題，這些問(wèn)題往往復(fù)雜多變的形式，出現(xiàn)在習(xí)題和考試中。文章從探討分享數(shù)列解題方法入手，提出加強(qiáng)基本數(shù)學(xué)的敏感，準(zhǔn)確地判斷數(shù)字的特征和數(shù)字之間內(nèi)在的聯(lián)系，進(jìn)行發(fā)散性的思維和發(fā)散性的思考。

關(guān)鍵詞：數(shù)列問(wèn)題 解題思路 發(fā)散性思維

一、前言

在高中數(shù)學(xué)教材過(guò)程中，關(guān)于數(shù)列知識(shí)被單獨(dú)列做一個(gè)章節(jié)進(jìn)行學(xué)習(xí)。由此可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列在日常的學(xué)習(xí)過(guò)程中是重中之重。在解題的過(guò)程中，需要聯(lián)系實(shí)際的數(shù)列公式，并且靈活運(yùn)用在一些命題之中。如果想要解答數(shù)列知識(shí)，一般情況下都是要了解數(shù)列的定義性質(zhì)，為命題進(jìn)行切入。加強(qiáng)對(duì)于數(shù)列之間的知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容聯(lián)系和補(bǔ)充。高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識(shí)和其他知識(shí)之間存在緊密的聯(lián)系，一些較為綜合的解題技巧和解題思路，大部分都是從數(shù)列開(kāi)始進(jìn)行計(jì)算的。把數(shù)列作為一定的知識(shí)背景，在高中生對(duì)于日常學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)不等式函數(shù)方程等多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都和數(shù)列有著密不可分的關(guān)系。所以在日常學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)，掌握相應(yīng)的解題技巧是非常重要的。

第一次接觸數(shù)列知識(shí)，覺(jué)得抽象而陌生，其實(shí)多數(shù)同學(xué)和我有同樣的體會(huì)，一時(shí)不知道該如何入手，如何快速地找到數(shù)列學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)并一舉突破。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)初期會(huì)有各種各樣的困惑，集中起來(lái)無(wú)外乎體現(xiàn)在兩個(gè)方面。其一是數(shù)列學(xué)習(xí)方法的模糊，沒(méi)有明確有效的學(xué)習(xí)方法，數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)沒(méi)有頭緒，在具體的數(shù)列解題時(shí)，常常忽略已知的條件中隱含的內(nèi)容，沒(méi)有對(duì)題意進(jìn)行深入思考，計(jì)算不準(zhǔn)確。二是公式記憶困難。因?yàn)榈炔畹缺葦?shù)列的學(xué)習(xí)需要記憶一些公式，很多同學(xué)很容易把公式弄混，公式的記憶也是死記硬背，缺乏深入的分析與了解。在最終解題時(shí)生搬硬套，在處理等差和等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，按照傳統(tǒng)的解題思維，缺乏對(duì)題干的深入分析。這些問(wèn)題導(dǎo)致等差等比數(shù)列學(xué)習(xí)中問(wèn)題頻出，數(shù)學(xué)數(shù)列的學(xué)習(xí)越來(lái)越困難。

二、高中數(shù)學(xué)解題思路的有效分享

（一）精讀題目，分析已知條件，梳理解題思路

在解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)不要著急求解，必須先靜下心來(lái)，仔細(xì)梳理解題思路。等差等比數(shù)列具有抽象性的特征，解題時(shí)需要我們具備嚴(yán)密的邏輯思維能力。在解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)我們必須精讀題目，尤其是針對(duì)題干中的已知條件要重點(diǎn)把握，很多題干中的已知信息帶有一定的隱蔽性，我們精讀題干的目的就是發(fā)現(xiàn)這些潛在的已知信息，并充分利用。在分析題意之后，明確解題的思路。在自己一頭霧水的時(shí)候可以與其他同學(xué)討論，集思廣益，梳理解題思路。已知{an}屬于一個(gè)等差數(shù)列，而Sn 是這個(gè)等差數(shù)列前n 項(xiàng)之和，同時(shí)n∈N*。如果a3=6，S20= 20，那么S10 的數(shù)值是多少？在掌握基本概念和性質(zhì)后，再對(duì)已知條件加以分析，學(xué)生只要根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，還有前n 項(xiàng)和求和公式等知識(shí)，就能求得此題中的數(shù)列首項(xiàng)及公差，并最終得到答案。

（二）轉(zhuǎn)化思維，創(chuàng)新解題思路，提升解題速度

在數(shù)列具體問(wèn)題的求解中我們往往會(huì)局限于一種思維，等差數(shù)列和等比數(shù)列是數(shù)學(xué)工具，如果我們只是掌握數(shù)列問(wèn)題的概念和性質(zhì)，憑借著自己掌握的公式去解答問(wèn)題，往往會(huì)碰壁。因此在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)我們不能一味地套用公式，我們必須創(chuàng)新思路，轉(zhuǎn)化思維，嘗試不同的解題方法。在解題中要勤思考，寧肯花費(fèi)大量的時(shí)間研究等差等比數(shù)列解題思路，也不著急解答問(wèn)題，多種方式的綜合嘗試，能提升數(shù)列問(wèn)題的解題準(zhǔn)確率。例如典型例題：已知一個(gè)等差數(shù)列的前10 項(xiàng)的和是310，前20 項(xiàng)的和是1220，由此可以確定其前n 項(xiàng)和的公式嗎？我們可以從不同的角度探尋解題的多元思路。分析一：將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后，可得到關(guān)于a1 與d 的關(guān)系，然后確定a1 與d，從而得到所求前n 項(xiàng)和公式。分析二：∵{an}為等差數(shù)列，∴Sn=（d/2）n2+（d/2- a1）n 將條件代入可求得d 與a1。分析三：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以可設(shè)Sn=An2+Bn，求出A，B 即可。分析四：運(yùn)用等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式，Sn=（d/2）n2+（d/2- a1）n 的變形式解題。不同的解題思路讓高中數(shù)列問(wèn)題的解答更高效，解題準(zhǔn)確率也有保障。

（三）創(chuàng)新發(fā)散，熟練運(yùn)用公式，綜合快速解題

在數(shù)列問(wèn)題的解答中，尤其是復(fù)雜數(shù)列問(wèn)題的解答，必須運(yùn)用發(fā)散思維。我們可以熟悉各種數(shù)列公式，在數(shù)列公式把握的基礎(chǔ)上運(yùn)用發(fā)散思維，實(shí)現(xiàn)不同公式的多元運(yùn)用，熟練運(yùn)用公式，綜合解答。我們?cè)跀?shù)列問(wèn)題解答中要學(xué)會(huì)從另一個(gè)角度看問(wèn)題，換個(gè)角度還有什么新的發(fā)現(xiàn)，在發(fā)散思維中，綜合思考，提出不同的見(jiàn)解，大膽質(zhì)疑，做好數(shù)列問(wèn)題的多種解答，也實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。只有熟練運(yùn)用數(shù)列公式才能實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)化處理，逐漸降低了數(shù)列問(wèn)題的解題難度，學(xué)生在發(fā)散思維的過(guò)程中明確了該題目的具體解題思路。

三、高中數(shù)列學(xué)習(xí)中的方法總結(jié)

在高中數(shù)列學(xué)習(xí)探究的過(guò)程中，結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)，在參考相關(guān)文章的基礎(chǔ)上我對(duì)幾種常見(jiàn)的數(shù)列解題方面進(jìn)行了歸納。主要有函數(shù)解題法：數(shù)列與函數(shù)存在密切關(guān)系，數(shù)列是特殊的函數(shù)，在解題過(guò)程中，特別是等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類(lèi)特殊的數(shù)列時(shí)，可以運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)進(jìn)行解答。方程解題法：數(shù)列中涉及大量首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、公比、第n 項(xiàng)和前n 項(xiàng)的數(shù)學(xué)公式，在解題中可以把他們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù)，通過(guò)公式建立關(guān)于求未知量的方程，這樣解題思路更清晰。不完全歸納解題法：主要是解決等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)問(wèn)題。倒序相加解題法：例如我在解答等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，就根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)，用倒序相加法高效解題。錯(cuò)位相減解題法：應(yīng)用于求和的項(xiàng)之間通過(guò)一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化，等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)就是例證。

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)列問(wèn)題具有很強(qiáng)的規(guī)律性?？匆粋€(gè)數(shù)列首先要看到數(shù)列的本身的變化規(guī)律才能將復(fù)雜的數(shù)列簡(jiǎn)化或分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的常規(guī)數(shù)列從而得以求解。所以說(shuō)解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于：打下扎實(shí)的基礎(chǔ)， 即熟練掌握數(shù)列的性質(zhì)、公式以及對(duì)相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用。培養(yǎng)觀察、歸納、總結(jié)的良好的數(shù)學(xué)思維方式掌握靈活的解題思路和巧妙的解題方法?？傊?，我們必須重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，充滿(mǎn)興趣和熱情地參與數(shù)學(xué)研究。在數(shù)列問(wèn)題的學(xué)習(xí)中，仔細(xì)研究題干，掌握公式定理，學(xué)會(huì)發(fā)散思維，多種方法解答，真正在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中體會(huì)到數(shù)學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)的快樂(lè)。