圓錐曲線上四點(diǎn)共圓充要條件的統(tǒng)一證明與應(yīng)用

☉湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書(shū)

圓錐曲線上四點(diǎn)共圓充要條件的統(tǒng)一證明與應(yīng)用

☉湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書(shū)

圓錐曲線上四點(diǎn)共圓問(wèn)題在高考中屢見(jiàn)不鮮，這類試題將圓錐曲線與四點(diǎn)共圓有機(jī)地結(jié)合在一起，重點(diǎn)考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，由于問(wèn)題綜合性強(qiáng)、運(yùn)算量大，大多考生望而生畏，甚至談“圓”色變，不得不選擇放棄.筆者曾在文2中介紹了構(gòu)建曲線系方程來(lái)處理圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的有效方法，在文3中給出了圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)充要條件，并用直線的參數(shù)方程分別對(duì)橢圓、雙曲線和拋物線三種情形一一進(jìn)行了證明，本文筆者再用曲線系方程給出這個(gè)充要條件的統(tǒng)一證明，并用這一充要條件來(lái)“秒殺”圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的高考難題和數(shù)學(xué)問(wèn)題.

先用曲線系方程來(lái)解決圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一道高考難題，體驗(yàn)曲線系方程解題的方法和魅力.題目如下：

考題 已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點(diǎn)，且A、M、B、N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，求l的方程.

這是2014年高考全國(guó)大綱卷文科第22題、理科第21題，第二問(wèn)就是一道拋物線上四點(diǎn)共圓問(wèn)題，參考答案給出的解答是一種常規(guī)解法，但運(yùn)算量非常大，下面我們借助曲線系方程來(lái)巧解這道難題.

解析：（Ⅰ）求得C的方程為y2=4x.（過(guò)程略）

（Ⅱ）依題意，直線l、l′的斜率均存在且互為負(fù)倒數(shù).因直線l過(guò)焦點(diǎn)F（1，0），故設(shè)直線l的方程為x=my+ 1 ①，將其代入拋物線方程得y2-4my-4=0，則yA、yB是這個(gè)方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得yA+yB=4m，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則所以x=my+1=2m2+1.DD所以直線l′的方程為即mx+y-4m2-1=0 ②.

由①②知兩直線AB、CD的二次方程為（x-my-1）·（mx+y-4m2-1）=0，設(shè)過(guò)四點(diǎn)A、B、C、D的曲線系方程為（x-my-1）（mx+y-4m2-1）+λ（y2-4x）=0，即mx2+（λ-m）y2+（1-m2）xy-（4λ+4m2+m+1）x+（4m3+m-1）y+4m2+1=0 ③.

若A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則③式左邊x2、y2項(xiàng)的系數(shù)相等，且xy項(xiàng)的系數(shù)為零，即有解得或

故所求直線l的方程為x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1= 0.

下面我們先用曲線系方程給出圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)充要條件的統(tǒng)一證明，再用這個(gè)充要條件解決有關(guān)試題.

定理 若兩條直線y=kix+bi（i=1，2）與圓錐曲線ax2+ by2+cx+dy+e=0（a≠b）有四個(gè)交點(diǎn)，則四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是k1+k2=0.

證明：兩直線組成的曲線方程為（k1x-y+b1）（k2x-y+ b2）=0，則過(guò)四個(gè)交點(diǎn)的曲線方程可設(shè)為（k1x-y+b1）（k2xy+b2）+λ（ax2+by2+cx+dy+e）=0 ①.

必要性：若四點(diǎn)共圓，則方程①表示圓，那么①式左邊展開(kāi)式中xy項(xiàng)的系數(shù)為零，即有k1+k2=0.

充分性：當(dāng)k1+k2=0時(shí)，令①式左邊展開(kāi)式中x2，y2項(xiàng)的系數(shù)相等，得k1k2+λa=1+λb，聯(lián)立解得將其代入①，整理得x2+y2+c′x+d′y+e′=0 ②.

方程②的幾何意義是如下三種情形之一：表示一個(gè)圓、表示一個(gè)點(diǎn)、無(wú)軌跡.由題設(shè)知四個(gè)交點(diǎn)在方程②所表示的曲線上，故方程②表示圓.

評(píng)注：（1）方程ax2+by2+cx+dy+e=0（a≠b）是對(duì)稱軸平行于坐標(biāo)軸的圓錐曲線（圓除外）的統(tǒng)一形式，統(tǒng)一的證明必須有統(tǒng)一的表現(xiàn)形式.從統(tǒng)一的思想高度來(lái)思考問(wèn)題，必須求大同存小異，考慮共性的東西，而不要去顧及個(gè)性特征，否則，會(huì)陷入到一些細(xì)枝末節(jié)中而不能自撥.本證法是數(shù)學(xué)形式化與數(shù)學(xué)本質(zhì)的完美結(jié)合，證法簡(jiǎn)潔、大氣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的形式美、簡(jiǎn)潔美與和諧統(tǒng)一之美.（2）k1+k2=0是四點(diǎn)共圓的充要條件，λ是一個(gè)與k1、k2相伴隨的待定常數(shù)，只要存在這樣的常數(shù)使方程①表示圓即可.

上述定理用文字表述，即斜率均存在的兩條直線與圓錐曲線（圓除外）有四個(gè)交點(diǎn)，則四個(gè)交點(diǎn)共圓的充分條件是兩直線的斜率互為相反數(shù).這是一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的充要條件，運(yùn)用這個(gè)定理可解決圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的高考難題和數(shù)學(xué)問(wèn)題.

對(duì)于上面這道高考題的第二問(wèn)，用定理可簡(jiǎn)解如下：

簡(jiǎn)解：依題意，兩直線l、l′的斜率均存在且互為負(fù)倒數(shù)，設(shè)其斜率分別為因?yàn)樗膫€(gè)交點(diǎn)共圓，由定理得解得k=±1，故所求直線l的方程為x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0.

例1 （武漢市2016屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)第12題）設(shè)直線y=3x-2與橢圓Γ：交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、B的圓與Γ交于另外兩點(diǎn)C、D，則直線CD的斜率k為（ ）.

簡(jiǎn)解：由定理知直線CD的斜率k為-3，故選B.

例2 （2011年高考全國(guó)卷Ⅱ理科第21題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.

例3 （2005年高考湖北卷理科第21題）設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).

（Ⅰ）確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；

（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的λ，使得A、B、C、D在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)解：（Ⅰ）λ的取值范圍是λ＞12，直線AB的方程為y=-x+4.（過(guò)程略）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線AB的斜率為-1，則線段AB的垂直平分線CD的斜率為1，兩直線斜率互為相反數(shù)，由定理知對(duì)任意的λ＞12，A、B、C、D四點(diǎn)總在同一圓上.

例4 （2002年高考廣東、廣西、江蘇、河南卷理科第20題）設(shè)A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，2）是線段AB的中點(diǎn).

（Ⅰ）求直線AB的方程；

（Ⅱ）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D在同一個(gè)圓上，為什么？

簡(jiǎn)解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線AB的方程為y=x+1，則線段AB的垂直平分線CD的斜率為-1，兩直線斜率互為相反數(shù)，由定理知A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上.

例5 （《數(shù)學(xué)通報(bào)》2016年5月第2305號(hào)數(shù)學(xué)問(wèn)題）AB是圓錐曲線mx2+ny2=1的斜率等于1的弦，AB的垂直平分線與該圓錐曲線交于點(diǎn)C、D，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

簡(jiǎn)解：因?yàn)橹本€AB的斜率等于1，所以AB的垂直平分線CD的斜率等于-1，兩直線斜率互為相反數(shù)，由定理知A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

由①②知直線AB、CD的斜率互為相反數(shù)，由定理知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，再由相交弦定理得|MA|·|MB|=|MC|· |MD|.

曲線系方程是高中數(shù)學(xué)課本中的內(nèi)容，用曲線系方程可以有效地解決圓錐曲線上四點(diǎn)共圓難題，解法不僅能被高中生接受和掌握，也能得到高考閱卷人的肯定和點(diǎn)贊，解答題用曲線系方程作答最好.對(duì)于選擇題或填空題，由于不需解題過(guò)程，若能用本文定理求解效果最佳，往往可以一劍封喉而秒殺之.

1.吳佐慧，劉合國(guó).橢圓上四點(diǎn)共圓的充要條件的行列式證明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（6）.

2.鄒生書(shū).構(gòu)建曲線系方程簡(jiǎn)解四點(diǎn)共圓問(wèn)題［J］.河北理科教學(xué)研究，2012（5）.

3.鄒生書(shū).圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)充要條件［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（南昌），2012（6）.