無(wú)規(guī)矩不成方圓
——以三視圖為例談立體幾何中的還原策略

☉湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉玲瓏

無(wú)規(guī)矩不成方圓
——以三視圖為例談立體幾何中的還原策略

☉湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉玲瓏

三視圖是高考對(duì)立體幾何模塊的常考題型，考查角度主要有：由三視圖求幾何的棱長(zhǎng)、面積、體積；給出幾何體判斷其三視圖等.本文將對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的求解策略歸納總結(jié).以期對(duì)學(xué)生解答此類(lèi)問(wèn)題有所幫助.

一、明確命題根源

從命題的角度來(lái)看，此類(lèi)試題通常以學(xué)生所熟悉的常規(guī)幾何體為背景，如長(zhǎng)方體、正方體等，將長(zhǎng)方體或正方體經(jīng)過(guò)切割、分解以后，以新的面目呈現(xiàn)在我們面前.如圖1所示的正四面體，就可以理解為將正方體切割掉4個(gè)角后所得的幾何體.

圖1

因此在解答相關(guān)問(wèn)題時(shí)，我們可采用還原策略，即將所考查的幾何體還原在常規(guī)幾何體中，從而尋找問(wèn)題的簡(jiǎn)潔解法.

例1已知三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐的俯視圖如圖2所示，那么此三棱錐的體積是_________，左視圖的面積是_____________.

圖2

解法1：（常規(guī)解答）設(shè)三棱錐為S-ABC（如圖3所示），CD為三角形ABC的中線，作三棱錐的高SM，易知點(diǎn)M在CD上，且點(diǎn)M為三角形ABC的重心.

圖3

因?yàn)槿切蜛BC為等邊三角形且邊長(zhǎng)為2，所以三角形ABC的高，其面積為

解法2：（還原策略）根據(jù)題目條件可知該三棱錐為正方體的一個(gè)角，如圖4所示.所以

圖4

評(píng)注：通過(guò)以上兩種解法的對(duì)比，其優(yōu)劣程度一目了然.因此在處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)要準(zhǔn)確把握幾何體的特征，準(zhǔn)確還原.

二、還原特殊幾何體

1.還原于正方體

例2某三棱錐的正視圖如圖5所示，則這個(gè)三棱錐的俯視圖不可能是圖6中的（ ）.

圖5

圖6

解析：對(duì)于選項(xiàng)A，可還原幾何體，如圖7所示.

圖7

對(duì)于選項(xiàng)B，可還原幾何體，如圖8所示.

圖8

對(duì)于選項(xiàng)D，可還原幾何體，如圖9所示.

圖9

故正確選項(xiàng)為C.

評(píng)注：不考算，只考想！重點(diǎn)考查空間想象能力、邏輯推理能力.在處理類(lèi)似問(wèn)題時(shí)不能僅僅停留在直覺(jué)層面.拓展思考：（1）俯視圖不確定，能否對(duì)所有可能情形進(jìn)行分類(lèi)？（2）如果再給出左視圖，能否確定俯視圖呢？

例3 如圖10，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（ ）.

圖10

解析：如圖11所示，原幾何體為三棱錐D-ABC，其中AB=BC=4，AC=4，DB=DC=2，DA=故最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為DA=6，選C.

圖11

評(píng)注：在正方體中找到三棱錐各頂點(diǎn)所在位置是準(zhǔn)確還原幾何體的關(guān)鍵所在.

2.還原于長(zhǎng)方體

例4某三棱錐的三視圖如圖12所示，則該三棱錐的表面積是（ ）.

圖12

解析：該幾何體的長(zhǎng)、寬和高不相等，故可將其還原于長(zhǎng)方體中，如圖13所示.由三視圖可知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5、4、4，所以在三角形SAB中，利用勾股定理求得所以三角形SAB是以SA為底邊的等腰三角形，易求得其高為6，所以所以該三棱錐的表面積為故正確選項(xiàng)為B.

圖13

評(píng)注：將所求三棱錐還原于長(zhǎng)方體中，利用長(zhǎng)方體的有關(guān)性質(zhì)將問(wèn)題直接求解.

例5某三棱錐的三視圖如圖14所示，則該三棱錐四個(gè)面中面積最大的是（ ）.

圖14

解析：由三視圖可將該三棱錐還原到長(zhǎng)方體中，如圖15所示，三棱錐C′-ABD即為已知三棱錐.結(jié)合長(zhǎng)方體的幾何特征易求得在三角形C′AD中，C′A=所以故正確選項(xiàng)為A.

圖15

評(píng)注：在三視圖問(wèn)題的解答中要注意實(shí)線與虛線的區(qū)別.本題條件為三棱錐，但俯視圖為四邊形，故其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)的投影，進(jìn)而準(zhǔn)確還原.

總之，用好還原策略是解答三視圖問(wèn)題的有效策略.在解答問(wèn)題時(shí)要準(zhǔn)確把握所求幾何的相關(guān)特征、準(zhǔn)確還原.