消除差異
——治愈“三角疑難”癥的良方——從近幾年江蘇高考幾道三角壓軸題想到的

☉江蘇省太湖高級(jí)中學(xué) 張 敏 侯 斌

·江蘇省無(wú)錫市王華民名師工作室·

消除差異
——治愈“三角疑難”癥的良方——從近幾年江蘇高考幾道三角壓軸題想到的

☉江蘇省太湖高級(jí)中學(xué) 張 敏 侯 斌

“繼承與創(chuàng)新”歷來(lái)是高考命題的指導(dǎo)思想，江蘇數(shù)學(xué)高考從2013年以來(lái)，以繼承、穩(wěn)定為主，總體難度控制得比較好，其中近四年的填空壓軸題（第13、14題），大多是三角、向量試題，而以往這類(lèi)“高大上”試題只能出現(xiàn)在函數(shù)、數(shù)列、不等式內(nèi)容中，這個(gè)變化點(diǎn)也是江蘇高考試卷的一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn).但作為壓軸題，難度自然不低，有的思維要求高，有的信息量大，不少學(xué)生不知如何入手.解題差異論認(rèn)為，解題的過(guò)程就是消除條件與條件、條件與結(jié)論之間差異的過(guò)程，要消除整體與局部、數(shù)與形的差異，消除多與少、高與低的差異等，它的理論基礎(chǔ)是哲學(xué)中的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律及反饋原理.［1］

本文透過(guò)幾道高考三角填空壓軸題，結(jié)合筆者多年的教學(xué)實(shí)踐，覺(jué)得“消除差異”可以有效解決三角中的一些重、難點(diǎn)問(wèn)題.在三角問(wèn)題中消除差異，既要消除條件與目標(biāo)之間的差異，也要消除條件中不同角、不同（函數(shù)）名、不同次數(shù)的差異.通過(guò)消除差異，以便快速尋求解題突破口，幫助學(xué)生釋疑解惑，重拾信心.

一、通過(guò)三角函數(shù)的“名變換”和“角變換”，消除差異

現(xiàn)行高中教材中，三角函數(shù)的名稱(chēng)有正弦、余弦和正切，對(duì)于求值、化簡(jiǎn)等問(wèn)題中同時(shí)含有“弦”和“切”的問(wèn)題，一般是“切”化“弦”，有時(shí)需要“弦”化“切”，稱(chēng)為函數(shù)“名變換”，以此來(lái)消除函數(shù)名的差異，再利用“弦”之間或“切”之間的關(guān)系求解.如果一個(gè)三角函數(shù)問(wèn)題含有幾種不同的角，那么解題時(shí)就需要尋求它們之間的聯(lián)系，進(jìn)行“角變換”，以消除“角”的差異.

例1（無(wú)錫市高二數(shù)學(xué)期末檢測(cè)題）不查表求值：4sin20°+tan20°.

簡(jiǎn)析：該題有正弦和正切兩個(gè)三角函數(shù)名，消除函數(shù)名的差異，一般通過(guò)“切”化“弦”，4sin20°+再通分、整理，得因有兩個(gè)20°角和1個(gè)40°角，需要消除差異角40°，將40°= 60°-20°代入兩角差的正弦公式，整理得

評(píng)注：該題雖然消除了函數(shù)名的差異，但在通分整合過(guò)程中，又產(chǎn)生了角的差異，需要再消除角的差異.實(shí)踐表明：解一道較難的三角問(wèn)題，需要消除差異的往往不止一個(gè).

例2（某四星級(jí)高中“三角變換測(cè)試”題）已知：求的值.

簡(jiǎn)析：測(cè)試反饋：有幾個(gè)班級(jí)的學(xué)生得分率不足0.3，可見(jiàn)其難度.本題條件是兩角和、兩角差的正切，目標(biāo)是二倍角的正弦之比，角與函數(shù)名都存在差異.一般學(xué)生對(duì)“角變換”都能想到，對(duì)函數(shù)“名變換”也知曉，但因解答程序不合理，仍然困難.有些同學(xué)從條件出發(fā)，可以求得tan2α，tan2β，但沒(méi)有給出角的具體范圍，需要分類(lèi)的情形比較多，解答煩瑣.以下給出兩種正確的解法.

解法一：（切化弦）由tan（α+β）=-3，得sin（α+β）= -3cos（α+β），同理sin（α-β）=cos（α-β），代入目標(biāo)式，得

解法二：（弦化切）從目標(biāo)出發(fā)，將目標(biāo)角2α，2β轉(zhuǎn)化為條件角α+β，α-β，再展開(kāi).

評(píng)注：本題切化弦、弦化切都可以，關(guān)鍵是解答程序要把握好.解法一是從條件出發(fā)，進(jìn)行切化弦，求出了一個(gè)關(guān)系，代入目標(biāo)式，歸到“一個(gè)量”，再約分求解，是整體消除差異，而不是像有些學(xué)生那樣，求出tan2α；解法二是從目標(biāo)出發(fā)，通過(guò)角變換消除角的差異，展開(kāi)后是一個(gè)奇次式，通過(guò)同除運(yùn)算，把“弦”化成了“切”，消除函數(shù)名的差異，再把條件直接代入.

二、通過(guò)函數(shù)“名變換”和“消元法”，消除差異

眾所周知，數(shù)學(xué)高考考查的側(cè)重點(diǎn)之一是通性通法，“消元法”是處理“多變量”或“多字母”問(wèn)題的通法，在三角函數(shù)的“多字母”問(wèn)題中，出現(xiàn)的函數(shù)名、次數(shù)的差異，需要利用“消元法”并結(jié)合其他方法消除.

例3 （2016年江蘇高考題14）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是_________.

簡(jiǎn)析：其一，條件“sinA=2sinBsinC”含三個(gè)角的正弦，目標(biāo)“求tanAtanBtanC的最小值”含三個(gè)角正切的乘積，條件和目標(biāo)之間的函數(shù)名有差異，可以通過(guò)“弦”化“切”消除.

其二，條件的左右兩邊的次數(shù)不齊，需消除差異，注意到有三個(gè)變量即三“元”，自然想到消元，消哪一個(gè)呢？如果消sinB（或sinC），展開(kāi)后變?yōu)槿?，難以整合，因此只能消sinA.再用兩角和的正弦公式，得sin（B+C）= 2sinBsinC，展開(kāi)sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，形式為二次奇次式，等式兩邊可同除以cosBcosC，得tanB+tanC= 2tanBtanC ①.

同理，對(duì)于目標(biāo)式的三“元”問(wèn)題，自然要消元（tanA），得tanAtanBtanC=

將①代入②，設(shè)tanBtanC=x，tanAtanBtanC=y，得到函數(shù)關(guān)系式通過(guò)分離常數(shù)4，再利用基本不等式，可求得tanAtanBtanC的最小值是8.

評(píng)注：本題通過(guò)觀察條件式與目標(biāo)式，存在函數(shù)名、次數(shù)等的差異，通過(guò)函數(shù)名變換、消元，消除其差異，當(dāng)然過(guò)程并非一帆風(fēng)順.其中，奇次式問(wèn)題常用“同除”，求最值問(wèn)題常結(jié)合基本不等式，在解題中發(fā)揮了重要作用.可見(jiàn)，解決這道高難度的填空壓軸題，思路也很自然，這是緣于用了“消除差異”的策略，它在尋求問(wèn)題的本質(zhì)聯(lián)系后進(jìn)行自然轉(zhuǎn)換.當(dāng)然，解答本題也可以用“解析幾何”、“基本不等式”等其他方法，這里從略.

三、通過(guò)三角函數(shù)的“角變換”和“升降冪變換”，消除差異

有些三角問(wèn)題的次數(shù)有高有低，所給的角有二倍角、半角等，如何同時(shí)消除次數(shù)和角的差異呢？可以通過(guò)二倍角的變形式——升降冪公式，在次數(shù)升（降）的同時(shí)，角也相應(yīng)變?。ù螅?，達(dá)成一種新的平衡.有時(shí)把一個(gè)角拆分為兩個(gè)角，再用兩角和與差的正、余弦公式，也能升“次”，達(dá)到消除差異.

簡(jiǎn)析：本題的角有二倍角（2θ）、半角兩種，角的差異需要消除，一般是將其轉(zhuǎn)化為單角（θ）.利用升降冪公式：

例5（1997年全國(guó)高考題18）的值為_(kāi)_______.

簡(jiǎn)析：這是一道不查表求值問(wèn)題，為分式形式，有三個(gè)非特殊角，三個(gè)角的聯(lián)系為15°=7°+8°；正弦或余弦的次數(shù)有一次、二次.多元問(wèn)題一般方法是消元，消哪個(gè)角呢？要消除次數(shù)的差異，只能消7°（見(jiàn)例3的分析），根據(jù)兩角差的正、余弦公式，轉(zhuǎn)變?yōu)槎问剑簊in7°=sin15°cos8°-cos15°sin8°，同理cos7°=cos15°cos8°+sin15°sin8°.把它代入原式，得tan15°=2-

評(píng)注：利用升冪、降冪公式，可以起到縮小、放大角的目的，因此，“升、降冪變換”往往與“角變換”聯(lián)用，以消除差異.

四、通過(guò)三角形中邊與角的相互轉(zhuǎn)化，消除差異

對(duì)于三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題，有的已知邊（或角），求角（或邊），有的已知邊、角混合問(wèn)題，求邊（或角）的最大（小）值等，需要消除其差異，究竟是“邊”化“角”還是“角”化“邊”，需要根據(jù)題目的特點(diǎn)，進(jìn)行選擇、優(yōu)化.

簡(jiǎn)析：條件是含三個(gè)角A、B、C的正弦，目標(biāo)是求角C的余弦；如何消除條件、目標(biāo)中的差異，以溝通兩者的聯(lián)系呢？對(duì)于三個(gè)角的正弦函數(shù)，可以用正弦定理，把“角”整體轉(zhuǎn)化為“邊”目標(biāo)中求角C的余弦的最小值，可以用余弦定理表示，也轉(zhuǎn)化為邊這樣，就找到了條件、目標(biāo)的聯(lián)系——邊.

評(píng)注：本題根據(jù)形式特點(diǎn)，利用正弦、余弦定理，把條件、目標(biāo)式的三角函數(shù)中的“角”整體轉(zhuǎn)換為“邊”來(lái)處理，思路比較自然、明確.

例7（2010年江蘇高考題13）在銳角三角形ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c則

簡(jiǎn)析：這道試題思維強(qiáng)度大，得分率低.

條件是邊角混合問(wèn)題，需要消除差異，邊化角還是角化邊，目標(biāo)式為三個(gè)角的正切函數(shù)；若邊化角，則為二次結(jié)構(gòu).

觀察目標(biāo)式：因可能要利用正弦、余弦定理，故要進(jìn)行切化弦，并提取公因式，再通分，得

觀察形式結(jié)構(gòu)：分子、分母都是含有正弦的齊次式，可利用正弦定理，同時(shí)，對(duì)cosC用余弦定理，整理得

由①、②，通過(guò)消元（a2+b2或c2），得答案為4.

評(píng)注：當(dāng)時(shí)許多考生解答受阻，其一，對(duì)于多字母問(wèn)題不知如何處理，考生沒(méi)能主動(dòng)整理到形式其二，當(dāng)時(shí)復(fù)習(xí)教學(xué)還很少涉及正弦定理與余弦定理的聯(lián)用，學(xué)生意識(shí)不到.本題涉及三角形的邊角關(guān)系，需要根據(jù)試題的形式、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，合理選用兩個(gè)定理.第一次對(duì)條件式通分后，選擇余弦定理把角整體化為邊，之后又對(duì)目標(biāo)式切化弦，通分整合后，同時(shí)運(yùn)用正弦、余弦定理，這一解題策略很重要.當(dāng)然，本題若采用“特殊化”處理（令a=b），則可使解答更簡(jiǎn)潔、明快.

與人友好相處，要以誠(chéng)相待、求同存異，治愈“三角疑難”病癥（重、難點(diǎn)問(wèn)題）的一劑良方是消除差異，它追求自然的解題，追求和諧之道.明道還需優(yōu)術(shù)，其一，在“消除差異”指導(dǎo)下，要關(guān)注目標(biāo)，理清脈絡(luò)，通過(guò)選擇三角變換（角變換、名變換和升降冪變換），通過(guò)消元，制定合理的解題程序；其二，消除差異的過(guò)程有一定的反復(fù)，需要有耐心；其三，三角問(wèn)題往往免不了要結(jié)合通分、奇次式同除等常用的輔助手段，綜合問(wèn)題還需結(jié)合基本不等式、導(dǎo)數(shù)等常用工具.可見(jiàn)，一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，需要我們不斷累積，在解除疑難后奮力前行.

1.羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.