穩(wěn)步推進(jìn)求發(fā)展 積極探索謀新篇
——2016年高考數(shù)學(xué)試卷總體評析與教學(xué)啟示

☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭 良☉安徽省宿州市教科所 王 鋒

穩(wěn)步推進(jìn)求發(fā)展 積極探索謀新篇
——2016年高考數(shù)學(xué)試卷總體評析與教學(xué)啟示

☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭 良☉安徽省宿州市教科所 王 鋒

一、總體評價

2016年全國各地高考數(shù)學(xué)試卷共有10套19份（文、理科各算1份，江蘇文理科合卷，理科有卷II（附加題）），分別是教育部考試中心統(tǒng)一命制的試題3套：全國卷I（河南、河北、山西、江西、安徽、湖南、湖北、福建、廣東等省區(qū)），全國卷II（陜西、重慶、遼寧、吉林、黑龍江、寧夏、甘肅、青海、新疆、西藏、內(nèi)蒙古、海南等省區(qū)），全國卷III（云南、貴州、廣西等省區(qū)），自主命題7套（北京、天津、上海、浙江、江蘇、山東、四川等省區(qū)）.總體來說，各套試卷保持一貫風(fēng)格（新增全國卷III），穩(wěn)步推進(jìn)，適度發(fā)展創(chuàng)新，使學(xué)生心態(tài)平穩(wěn)，較快地進(jìn)入考試狀態(tài)，發(fā)揮真實水平；立足基礎(chǔ)，盡可能使每個學(xué)生都得到基本分，彰顯人文關(guān)懷；著眼能力，通過思維層次的甄別，凸現(xiàn)學(xué)生能力，突出高考的測試與選撥功能；在延續(xù)主干知識重點考查的同時兼顧知識面的覆蓋，不偏不難，有效避免“猜題押題”“題海戰(zhàn)術(shù)”；頻現(xiàn)經(jīng)典、兼顧冷點，體現(xiàn)了命題專家堅持改革與創(chuàng)新的嘗試；關(guān)注應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“來源于生活，應(yīng)用于生活”，讓學(xué)生在學(xué)以致用中理解升華；文化創(chuàng)新，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科育人價值，促進(jìn)素質(zhì)全面發(fā)展；突出本質(zhì)、強化綜合，從整體角度、系統(tǒng)高度考查學(xué)生的綜合素養(yǎng)，有利于發(fā)揮高考的導(dǎo)向作用.

二、試題特點與應(yīng)用舉例

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗），“四能”（發(fā)現(xiàn)問題的能力、提出問題的能力、分析問題的能力、解決問題的能力），高中學(xué)生理應(yīng)具備更高的能力與素養(yǎng).R.柯朗和H.羅賓指出：“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩ν昝谰辰绲淖非?它的基本要素是邏輯和直觀、分析和構(gòu)作、一般性和個別性.”［1］知己知彼，百戰(zhàn)不殆.限于篇幅，本文不再對全國各地數(shù)學(xué)卷考點分布情況進(jìn)行統(tǒng)計，僅就試題顯著特點進(jìn)行概述與部分試題例析與鏈接.

1.立足基礎(chǔ)

基礎(chǔ)扎實，能力才能提升.各地數(shù)學(xué)卷整體上難度略有降低，壓軸題運算量減少，十分注重對“四基”與“四能”的考查.如集合運算（19份）、復(fù)數(shù)運算（17份，浙江卷文、理科無）和向量運算（19份）等基礎(chǔ)知識與方法，程序框圖（15份，浙江卷與上海卷文、理科無）、三視圖（17份，上海卷文、理科無）、線性規(guī)劃等仍然是知識考查的熱點.此類試題大多為客觀題的靠前部分，需要解題者通過審題發(fā)現(xiàn)問題的一般與特殊，實現(xiàn)“小題?。ㄇ桑┳觥?，謹(jǐn)防“青蛙效應(yīng)”引起時間悄然流逝.

例1（北京卷文科第2題）復(fù)數(shù)=（ ）.

A.i B.1+i C.-i D.1-i

點評：本題常規(guī)解法是分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)實現(xiàn)分母實數(shù)化，充分觀察分子、分母中復(fù)數(shù)的實部與虛部的聯(lián)系，用“i2=-1”局部逆代換，通過約分實現(xiàn)分母實數(shù)化復(fù)數(shù)的本質(zhì)是“i2=-1”，很多學(xué)生只知道復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和四則運算，使復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)與運用成為機械化的操作，索然無味.若從復(fù)數(shù)的三角形式來理解“i2=-1”，復(fù)數(shù)的本質(zhì)是對平面局部做旋轉(zhuǎn)和縮放，另解清楚自然，水到渠成.將其變式，利用幾何意義可解四川卷文、理科第15題（“伴隨點”姊妹題）.

例2（天津卷文、理科第7題）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則的值為（ ）.

解法2：以B，C的中點為坐標(biāo)原點，以B，C所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示，則所以（1，0），故

圖1

點評：本題考查三角形的性質(zhì)，平面向量基本定理、線性運算與數(shù)量積，考查考生的運算能力.解法1以為平面向量的一組基底（基向量的選擇要盡可能容易表示出目標(biāo)向量），將目標(biāo)式中向量“標(biāo)準(zhǔn)化”，彰顯化歸思想的力量，對可直接展開，利用解法2為解析法，將幾何問題代數(shù)化，通過運算來研究幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合以不變應(yīng)萬變；解法3利用“互相垂直的兩個向量的數(shù)量積為零”簡化運算，利用共線定理往已知結(jié)論上轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了特性在解題中的作用；解法4利用數(shù)量積的幾何意義（a與b的數(shù)量積等于|a|乘以b在a方向上的投影），直觀快捷.以上解法是處理（平面、空間）向量問題的基本方法.解題要有模式，但不能囿于模式，要具體問題具體分析，如山東卷文科第13題用解析法較好（若用幾何意義淪為解三角形問題），山東卷理科第8題代數(shù)法與幾何法運算量相當(dāng).

2.突出本質(zhì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》提出：“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項基本要求，但不能只限于形式化的表達(dá)，要強調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里……”.“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)定義、法則、結(jié)論的發(fā)生、發(fā)展過程和本質(zhì).”各地數(shù)學(xué)卷都突出考查數(shù)學(xué)（尤其是核心）定義和核心思想方法的掌握與運用，以及對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與感悟，這就要求學(xué)生能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，數(shù)學(xué)地理解、數(shù)學(xué)地思考、數(shù)學(xué)地表達(dá).

例3（浙江卷理科第5題）設(shè)函數(shù)f（x）=sin2x+bsinx+ c，則f（x）的最小正周期（ ）.

A.與b有關(guān)，且與c有關(guān) B.與b有關(guān)，且與c無關(guān)

C.與b無關(guān)，且與c有關(guān) D.與b無關(guān)，且與c無關(guān)

點評：本題考查三角函數(shù)的周期性.深刻理解正弦（型）函數(shù)、余弦（型）函數(shù)、正切（型）函數(shù)的圖像與性質(zhì)，函數(shù)的圖像變換是解決問題的關(guān)鍵.不少教師認(rèn)為本題重在考查周期函數(shù)和與差函數(shù)的周期公式，即在f（x）= g（x）+h（x）中，（其中［Tg（x），Th（x）］、（Tg（x），Th（x））分別表示函數(shù)g（x）的最小正周期與函數(shù)h（x）的最小正周期的最小公倍數(shù)、最大公約數(shù)）.筆者認(rèn)為命題者意在考查函數(shù)y=|sinx-m|+c的圖像與性質(zhì)，因為y=sinx既是軸對稱圖軸，又是中心對稱圖形，將其在平衡線一側(cè)的圖像沿著平衡位置翻折，其周期減半.考慮到y(tǒng)=sinx的平衡位置為直線y=0，故需對參數(shù)b是否為0分類討論.

例4（上海卷理科第18題）設(shè)f（x），g（x），h（x）是定義域為R的三個函數(shù)，對于命題：①若f（x）+g（x），f（x）+ h（x），g（x）+h（x）均為增函數(shù)，則f（x），g（x），h（x）中至少有一個為增函數(shù)；②若f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均是以T為周期的函數(shù)，則f（x），g（x），h（x）均是以T為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）.

A.①和②均為真命題

B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題

D.①為假命題，②為真命題

點評：兩個函數(shù)單調(diào)性相同時，其和函數(shù)的單調(diào)性與每個函數(shù)單調(diào)性相同，其差函數(shù)不一定具有單調(diào)性，這與每個函數(shù)增（減）的幅度有關(guān).構(gòu)造反例，應(yīng)從每個函數(shù)的增（減）幅度入手.記F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）+ h（x），H（x）=g（x）+h（x），則f（x）=考慮最簡單的函數(shù)載體——線性函數(shù)，其單調(diào)性取決于直線斜率的符號.將定義域R分成三段（抽屜原理），函數(shù)f（x）、g（x）、h（x）分別在第一段、第二段、第三段上是水平的射線、線段、射線，而在其余的部分，三個函數(shù)均為斜率為1的線段或射線，那么在每一段上，F(xiàn)（x），G（x），H（x）均為斜率為1或2的線段或射線.若考慮函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增，只需將水平的、斜率為1的線段或射線的斜率改為斜率為-1、2即可.如f（x）=②由f（x+T）即函數(shù)f（x）是周期為T的周期函數(shù)，同理可得g（x），h（x）為周期函數(shù)（周期函數(shù)的和與差函數(shù)必定是周期函數(shù)）.如該卷第13題：設(shè)a，b∈R，c∈［0，2π），若對任意實數(shù)x都有則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（a，b，c）的組數(shù)為_________.若從恒成立角度求解，則會陷入繁雜的計算.在y= Asin（ωx+φ）+b（A>0，ω>0）中，A、ω、φ、b分別決定函數(shù)的高度、寬度（周期）、初始位置、平衡位置.將幾何表征轉(zhuǎn)換為代數(shù)表征，即函數(shù)的圖像與函數(shù)y= asin（bx+c）的圖像重合，其必要條件是高度和寬度必須一致，起點相差周期的整數(shù)倍，結(jié)合誘導(dǎo)公式及［0，2π）的區(qū)間長度為一個周期，說明c取值唯一.因此本題表象是枚舉法，本質(zhì)為對應(yīng)，利用計數(shù)原理得有序?qū)崝?shù)對（a，b，c）的組數(shù)為2×2×1=4，體現(xiàn)出思維的深刻性.

3.注重推理

推理是直覺思維與邏輯思維的綜合體現(xiàn)，包括合情推理（歸納推理、類比推理）和演繹推理等.數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué).數(shù)學(xué)地思考就是邏輯推理（從給定的前提條件出發(fā)，在推理過程中遵守邏輯規(guī)律、規(guī)則，正確地得出結(jié)論的推理）的表現(xiàn).

例5（上海卷理科第11題、文科第14題）無窮數(shù)列an由k個不同的數(shù)組成，Sn為an的前n項和，若對任意n∈N*，Sn∈｛2，3｝，則k的最大值為__________.

解：由題意知，k最大當(dāng)且僅當(dāng)Sn=｛2，3｝（否則，當(dāng)Sn=｛2｝時，則有時同理）.當(dāng)Sn=｛2，3｝，有兩種情況：當(dāng)S1=a1=2，則必有ai=1（i≥2），還存在aj=-1，且數(shù)列｛an｝中僅有首項為2，1與-1彼此相間且先出現(xiàn)1，數(shù)字0可任意插入；當(dāng)S1=a1=3，則必有ai=-1（i≥2），還存在aj=1，且數(shù)列｛an｝中僅有首項為3，-1與1彼此相間且先出現(xiàn)-1，數(shù)字0可任意添加.無論哪種情況，k的最大值為4.

點評：學(xué)生可能會通過列舉法歸納出k的最大值為4，結(jié)論是否正確？為什么？通過正反思維、理性分析、邏輯推理鎖定數(shù)列｛an｝的構(gòu)成規(guī)律，證實發(fā)現(xiàn).推理是數(shù)學(xué)的生命線，無處不在.直接考查數(shù)學(xué)推理的試題有全國卷II理科第15題（文科第16題）、北京卷理科第8題（利用對應(yīng)對稱性）、北京卷文科第8題（正反思維）等，當(dāng)然也可以把結(jié)論當(dāng)作條件，實現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)、思想方法上的融會貫通，如北京卷文科第18題第（III）問等.

4.強化思想方法

高考試題由“知識立意”到“能力立意”，并逐步發(fā)展能力的內(nèi)涵，不斷加大考查的力度.很多試題殊途同歸，只有通曉相關(guān)定義，理解數(shù)學(xué)思想方法，才能隨心所欲，找到優(yōu)美的、本質(zhì)的解法.高考中的數(shù)學(xué)思想主要包括：數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、特殊與一般思想、有限與無限思想、或然與必然思想等，數(shù)學(xué)基本方法有：待定系數(shù)法、配方法、換元法、割補法、反證法等.

例6（天津卷文科第5題）設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的（ ）.

A.充要條件

B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件

D.既不充分也不必要條件

解：x＞|y|等價于-xy的幾何表示為射線l1與y軸圍成的區(qū)域（不含邊界）.

圖2

由于x＞0，當(dāng)x>y時，取x=1，y=-2，不滿足x＞|y|；

反之，當(dāng)x＞|y|時，有x>|y|≥y，即x>y成立.故“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分條件.

點評：判斷充要條件的方法有三種：①定義法（命題p與命題q相互推出情況），②命題法（構(gòu)造新命題：若p則q，通過判斷原命題與逆命題的真假確定），③集合法（以p、q所包含的對象構(gòu)成集合P、Q，通過判斷集合P、Q的包含關(guān)系確定）.三種方法表現(xiàn)形式不同，但邏輯本質(zhì)（蘊含關(guān)系）相同，可對具體問題具體分析.一般說來，實數(shù)問題往往采用數(shù)形結(jié)合思想（形的直觀和數(shù)的精確雙管齊下）與集合法.反例怎么找？先將命題p、q等價轉(zhuǎn)化，從隱形走向顯性.通過判斷兩者差異，尋找符合條件而不符合結(jié)論的部分.類似的有天津卷理科第5題，江蘇卷第9題（代數(shù)角度解三角方程，幾何角度確定交點個數(shù)）等.

5.重視變形能力

數(shù)學(xué)是運算的科學(xué)，而運算的核心是恒等變形，相等與不等是對立統(tǒng)一的.因何而變，變向何方？變形就是對問題數(shù)學(xué)地理解、數(shù)學(xué)地思考基礎(chǔ)上數(shù)學(xué)地表達(dá).

例7（浙江卷文科第20題）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+1 1+x， x∈［0，1］.證明：

（1）f（x）≥1-x+x2；

（2）證法1：由0≤x≤1得x3≤x，故f（x）

由（1）得f（x）≥1-x+x2=又因為所以f（x）>

（2）證法2：f（x）=x3+則f′（x）=3x2-是（0，1）上增函數(shù)，由f′（0）=-1<0，f′（1）=知存在唯一實數(shù)x0∈（0，1）使f′（x0）=0，故函數(shù)（fx）在［0， x0］單調(diào)遞減，在［x0，1］單調(diào)遞增，又（f0）=1，（f1）=所以f（x）在［0，1］的最大值為

當(dāng)x∈［0，1］時，由f′（x0）=0，即解得所以f（x）的最小值f（x0）

點評：（1）利用代數(shù)式恒等變形和不等式放縮完成證明.（2）適當(dāng)利用代數(shù)式放縮來證明，要注意放縮的方向與精度，尤其要注意取等條件，如x3≤x在x=1時等號成立，f（x）≥1-x+x2當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.放縮方向本質(zhì)為同向不等式可加性（符號法則），一般不可調(diào)整，而放縮的精度要結(jié)合要求設(shè)定，如f（x）的本質(zhì)是f（x）max≤取等條件為x=1，證法1中利用增量法，而f（x）>的本質(zhì)為f（x）min>，f（x）的最小值點能夠確定，但最小值不易化簡，證法2利用等量代換，將目標(biāo)（函數(shù)）式用我們熟悉的（函數(shù)）式替代或擬合.

6.頻現(xiàn)經(jīng)典

很多問題具有典范性、示范性，能體現(xiàn)學(xué)科（知識、思想方法）的精髓，百考不厭，?？汲Ｐ?如函數(shù)的“極值點偏移”問題，可逆用函數(shù)的單調(diào)性（構(gòu)造函數(shù)、等量代換、化歸與轉(zhuǎn)化）解決，可也用對數(shù)平均不等式處理，其實施步驟、邏輯原理等仍有待挖掘與提升.如全國卷I理科第21題第（2）問即為“極值點偏移”問題，同樣取整函數(shù)也出現(xiàn)在全國卷II文、理科第17題.經(jīng)典需要傳承發(fā)展，文化需要繼承弘揚，如全國卷II文科第9題（理科第8題）“秦九韶算法”程序框圖問題，全國卷III理科第12題的背景是“卡特蘭”計數(shù)（體現(xiàn)了一一對應(yīng)與構(gòu)造），江蘇卷第22題（圓錐曲線中對稱點）、浙江卷理科第18題（最小值函數(shù)）.

7.強化綜合

因為高考具有選拔功能，難題設(shè)置勢在必然.在知識的“交匯點”設(shè)置問題成為高考命題的趨勢，不僅增加了知識的覆蓋面，更檢測了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、思想方法的整體內(nèi)化水平.一般客觀題往往由兩到三個知識點交匯而成，解答題由更多內(nèi)容無縫對接、巧妙融合.如四川卷理科第19題，將數(shù)列、圓錐曲線以及不等式進(jìn)行綜合，能較好地考查學(xué)生的知識體系是否完備，同時也考驗學(xué)生的心靈素質(zhì).

8.嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、準(zhǔn)確性（邏輯的嚴(yán)密性，結(jié)論的確定性）、應(yīng)用的廣泛性，數(shù)學(xué)是一門語言（包括自然語言、符號語言、圖形語言等）.數(shù)學(xué)地表達(dá)是數(shù)學(xué)交流溝通的重要方式，命題者試圖通過表達(dá)來檢測學(xué)生思維的廣度、深度、嚴(yán)謹(jǐn)程度，但遺憾的是，很多學(xué)生只能意會，不善甚至不能言傳，主要原因有：教師沒有足夠的重視與示范而導(dǎo)致“啞巴”數(shù)學(xué)；學(xué)生學(xué)習(xí)的不求甚解導(dǎo)致“不拘小節(jié)”積習(xí)難改；各學(xué)科（如語文、物理等）不能齊頭并進(jìn)等.如立體幾何中，證明線面垂直的條件為直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，缺少“相交”，前提條件錯誤導(dǎo)致推證無效.高考試題具有推證規(guī)范性、精確化的趨勢，如確定方程根的存在一般要求給出根的有窮區(qū)間（區(qū)間的端點為具體的實數(shù)）.

例8（江蘇卷第19題）已知函數(shù)f（x）=ax+bx（a>0，b> 0，a≠1，b≠1）.

①求方程f（x）=2的根；

②若對于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求實數(shù)m的最大值；

（2）若0＜a＜1，b＞1，函數(shù)g（x）=f（x）-2有且只有1個零點，求ab的值.

解：（1）①方程f（x）=2的根為x=0（過程略）；②實數(shù)m的最大值為4.

（2）方法1：因為函數(shù)g（x）=f（x）-2只有1個零點，而g（0）=f（0）-2=a0+b0-2=0，所以0是函數(shù)g（x）的唯一零點.因為g′（x）=axlna+bxlnb，又由01知lna<0，lnb>0，所以g′（x）=0的唯一解

令h（x）=g′（x），則h′（x）=（axlna+bxlnb）′=ax（lna）2+bx（lnb）2，從而對任意x∈R，h′（x）>0，所以h（x）=g′（x）是（-∞，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù).

于是當(dāng)x∈（-∞，x0）時，g′（x）g′（x0）=0.因而函數(shù)g（x）在（-∞，x0）上是單調(diào)遞減函數(shù)，在（x0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù).下證x0=0.

若x0<0，則于是又g（loga2）= aloga2+bloga2-2>aloga2-2=0，且函數(shù)g（x）在以和loga2為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和loga2之間存在g（x）的零點，記為x1.因為0

若x0>0，同理可得，在和logb2之間存在g（x）的非0的零點，矛盾.

因此，x0=0.于是故lna+lnb=0，所以ab=1.

方法2：因為g′（x）=axlna+bxlnb，又由01知 lna<0，lnb>0，所以g′（x）=0的唯一解g（x）在（-∞，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，即函數(shù)g（x）在x=x0處取得最小值.

當(dāng)x→-∞時，ax→+∞，所以g（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時，bx→+∞，所以g（x）→+∞；

又g（x）在R上的圖像不間斷，且g（0）=f（0）-2=a0+b0-2=0，所以x0=0，故ab=1.

方法3：因為函數(shù)g（x）=f（x）-2只有1個零點，即ax=2-bx有且只有一個解，而函數(shù)m（x）=ax，n（x）=2-bx分別是過定點（0，1）的下凸函數(shù)，上凸函數(shù)，故兩個函數(shù)在x=0處的切線重合.而m（x）、n（x）在點（0，1）處的切線方程分別為y=（lna）x+1、y=（-lnb）x+1，所以有l(wèi)na=-lnb，即lna+lnb= 0，所以ab=1.

點評：對于第（2）問，方法1通過反向思維，利用排除法鎖定x0，理由充分，過程詳實；方法2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，利用圖像上升與下降（學(xué)生初中時對單調(diào)性的幾何映像），理由不如解法1充分；方法3分離函數(shù)，根據(jù)函數(shù)凸凹性確定其公切線重合，結(jié)論是正確的，但規(guī)范的證明要用到高等數(shù)學(xué)知識.因此，從圖看出來的結(jié)論不能替代證明，要用代數(shù)語言來精確表征.

9.關(guān)注應(yīng)用

應(yīng)用題的設(shè)計需要符合“貼近生活、背景公平、控制難度”.因為學(xué)生生活環(huán)境不同，對生活經(jīng)驗的感知與理解程度差異較大，往往難以確定貼近所有學(xué)生生活的載體，無法保證背景公平；同時學(xué)生的閱讀能力、抽象水平整體偏低，往往導(dǎo)致難度的失控，試卷的區(qū)分度、信度、效度不高，這也導(dǎo)致與應(yīng)用相關(guān)的高考題（主要是應(yīng)用題）在非議中裹足不前，甚至有萎縮的可能.目前，高考卷中很多應(yīng)用問題都經(jīng)過命題者反復(fù)的抽象與改編，就是成熟的數(shù)學(xué)模型，缺乏原生態(tài)的數(shù)學(xué)味.欣喜的是，江蘇卷與上海卷保持一貫關(guān)注應(yīng)用的風(fēng)格，并開展積極探索，其他各省市將應(yīng)用問題主要集中在概率與統(tǒng)計部分.

10.適度創(chuàng)新

《考試大綱》指出：“既考查中學(xué)數(shù)學(xué)的知識和方法，又考查考生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.”命題專家往往通過“自定義”信息題考查學(xué)生即時學(xué)習(xí)的能力.這類問題需要對信息提取，理解，對所給的信息進(jìn)行抽象、加工，然后對所要解決的問題確定化歸方向，逐步轉(zhuǎn)換，進(jìn)而有效輸出.如全國卷III理科第12題（規(guī)范01數(shù)列），北京卷理科第20題（G時刻），四川卷文、理科第15題（伴隨點），上海卷文科第22題（無窮互補數(shù)列）等，全國卷III文、理科第4題（識圖、用圖能力）等.

11.幾點商榷

高考試題對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有導(dǎo)向功能.高考數(shù)學(xué)試題以下問題值得商榷：（1）運算量大，書寫內(nèi)容多.總體來說，每份試卷都需大量的運算和繁多的書寫，耗費學(xué)生大量的時間與精力，此種現(xiàn)象助推教學(xué)的異化——題海戰(zhàn)術(shù)，把思維能力的考查演變?yōu)闄C械操作熟練度的比賽.工具化的學(xué)科教育也許是有效教學(xué)，但絕不是好教學(xué)，因為他缺乏善良的意志.因此，建議減少試題數(shù)量，提高思維含量.（2）客觀題多，主觀開放題少.學(xué)科教育是教育的一部分，具有智慧生命.目前，高考試題為了避免人為因素引起的不公平，片面追求客觀化、數(shù)量化，導(dǎo)致一些學(xué)生客觀題功虧一簣，被冰冷的分?jǐn)?shù)掩蓋、埋沒.建議去掉選擇題，減少填空題數(shù)量，通過以主觀題為載體的思維對話（自主招生試題與面試作了有益的嘗試），切實挖掘?qū)W生真實的情感與能力.（3）評分標(biāo)準(zhǔn)要透明、統(tǒng)一.評分標(biāo)準(zhǔn)關(guān)乎考生的命運，備受師生關(guān)注.以前高考答案（冊）中有賦分標(biāo)準(zhǔn)，使學(xué)生學(xué)習(xí)知根知底，教師教學(xué)心中有數(shù).通過解讀評分標(biāo)準(zhǔn)，使師生在現(xiàn)實中實現(xiàn)理想.省（市）考試院可對賦分的依據(jù)、上一年（近幾年）學(xué)生高考的情況進(jìn)行通報，使師生抬頭看路，有的放矢.各省評分標(biāo)準(zhǔn)盡可能統(tǒng)一，以免造成師生無所適從.（4）試水速度緩慢.銳意改革，逐步推進(jìn)，穩(wěn)中求變是當(dāng)前高考卷試水題的發(fā)展規(guī)律，以數(shù)學(xué)文化為例，主要以數(shù)學(xué)史和經(jīng)典數(shù)學(xué)問題為載體，對數(shù)學(xué)史是濃墨重彩還是蜻蜓點水？若用文言文考查，異化到語文古文領(lǐng)域；若直接翻譯為現(xiàn)代文，其功能無從談起.如何把握好度，開拓更多途徑值得深思.

三、教學(xué)啟示

上面羅列了高考數(shù)學(xué)試題的部分特點，可作為（新授課與復(fù)習(xí)課等）教學(xué)的重要參考.如夯實基礎(chǔ)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系；感悟數(shù)學(xué)思想，理解數(shù)學(xué)方法；適度形式化，注重挖掘本質(zhì)；培養(yǎng)創(chuàng)新意識，突破知識交匯等，其作用與實施辦法不再贅述，此處強調(diào)四點.

1.強化閱讀理解能力培養(yǎng)

高考在考查基礎(chǔ)知識的同時，著重考查諸多方面的能力，而要讓這些能力在解題過程中得以充分發(fā)揮，離不開對題目的閱讀理解.數(shù)學(xué)閱讀障礙導(dǎo)致不少學(xué)生出現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，讀不懂，讀不通，不能正確完整理解題意，正是考生認(rèn)為試題偏難原因之一.教師要深入分析學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀障礙的原因，給予系統(tǒng)性的指導(dǎo)策略.因此，教學(xué)中要加強閱讀理解能力訓(xùn)練，教會學(xué)生閱讀（泛讀，細(xì)讀、精度）的方法，使學(xué)生獲得源頭活水.

2.教師自覺深入學(xué)習(xí)反思

當(dāng)前教師多是埋頭教學(xué)無暇三思，對新問題不求甚解，企圖通過題海戰(zhàn)術(shù)讓學(xué)生感知、感悟、理解、升華，把壓榨學(xué)生當(dāng)作認(rèn)真負(fù)責(zé).教育作為一門人文科學(xué)，要立足于人性，從而自然的教育便是“愛”，愛讓教師要敢于擔(dān)當(dāng)，樂于奉獻(xiàn).教師要不斷地學(xué)習(xí)，解決、反思、整合問題，時時刻刻、事事處處站在系統(tǒng)的高度講授知識，讓知識總是以“系統(tǒng)中的知識”的面目出現(xiàn)在學(xué)生面前.教師要著眼于知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，使學(xué)生從系統(tǒng)的高度領(lǐng)悟和把握知識進(jìn)行思考，做到八方聯(lián)系，渾然一體，達(dá)到浮想聯(lián)翩、思潮如涌的思維狀態(tài).在此過程中，教師要抓住機會向?qū)W生學(xué)習(xí)，豐富自己的理解，實現(xiàn)教學(xué)相長.

3.重視概念理解推進(jìn)教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).”概念是思維的基本形式，具有確定研究對象和任務(wù)的作用.數(shù)學(xué)概念則是客觀事物中數(shù)與形的本質(zhì)屬性的反應(yīng)，是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是提高解決問題能力的前提，是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓.概念是解題的出發(fā)點與歸宿，無論怎么強調(diào)都不為過.但要注意每一個數(shù)學(xué)概念都有一定的發(fā)展過程，不同學(xué)段的學(xué)生對同一概念的理解也應(yīng)當(dāng)是不同的，這是學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知規(guī)律所決定的.

4.加強自主探究能力訓(xùn)練

教育家蘇霍姆林斯基說過：“沒有自我教育，就不是真正的教育.”教師不要急于用自己的思想去同化學(xué)生的片面觀點、錯誤認(rèn)識，而應(yīng)站在學(xué)生的立場去順應(yīng)學(xué)生的思維，掌握其思維軌跡，給學(xué)生一定的探究平臺、時間和空間，讓學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)錯誤，尋找錯因，探究正解，在辨析中明理，在理解中內(nèi)化，在糾錯中升華.

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