對模型教學(xué)以及探求建模的一些思考

周龍虎 劉師妤

（1.湖北省華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 全國新青年數(shù)學(xué)工作室430223；2.湖北省武漢市英格中學(xué)430079）

高中數(shù)學(xué)中，有很多章節(jié)涉及數(shù)學(xué)模型及實(shí)際應(yīng)用等內(nèi)容，但更多的一線教師對這一塊的處理辦法往往是一帶而過甚至根本不講，僅因?yàn)槠洚a(chǎn)生的高考效益不高，這是現(xiàn)今教學(xué)中典型的重“目標(biāo)教學(xué)”輕“過程教學(xué)”的亂象.謀求數(shù)學(xué)上的發(fā)展應(yīng)是一個(gè)懷石成玉、懷沙成珠的過程，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成在于朝朝夕夕、點(diǎn)點(diǎn)滴滴.數(shù)學(xué)模型給我們提供的不僅僅只是解決問題的程序與步驟，更應(yīng)是解決問題的思維方式.2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確指出高中數(shù)學(xué)課程需要設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建?！钡葘W(xué)習(xí)活動(dòng)以及體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專題課程.要求“增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，能初步運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，逐步學(xué)會(huì)把實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行探索、猜測、判斷、證明、運(yùn)算、檢驗(yàn)，使問題得到解決”.為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).這些要求不僅符合數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，也是社會(huì)發(fā)展的需要.因?yàn)槲覀兊臄?shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得新的知識(shí)而且要提高學(xué)生的思維能力，要培養(yǎng)學(xué)生自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去考慮和處理日常生活、生產(chǎn)中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質(zhì)，具有探索新知識(shí)、新方法的創(chuàng)造性思維能力.

基于這種考量，利用數(shù)學(xué)模型原型作為教學(xué)資源，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問題的教學(xué)思路逐漸形成，就是我們常說的數(shù)學(xué)模型思想.數(shù)學(xué)模型思想就是利用數(shù)學(xué)語言（包括符號(hào)、圖形、公式）模擬現(xiàn)實(shí)問題的模型，把問題原型進(jìn)行抽象、概括、假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是完全形式化和符號(hào)化的模型，從而指導(dǎo)相關(guān)數(shù)學(xué)問題的研究和解決的一種演繹思想.

數(shù)學(xué)模型思想的提煉、內(nèi)化離不開數(shù)學(xué)建模，哪怕我們在平時(shí)的教學(xué)中只做其中的某些步驟.文[1]中張思明老師以鮮活的、可借鑒的建模案例全方位地展現(xiàn)了中學(xué)教師如何做好中學(xué)數(shù)學(xué)建模，對落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、提升數(shù)學(xué)課程價(jià)值意義重大.文[2]中章建躍等老師圍繞著函數(shù)y=Asin（ω x+φ）的修訂研究工作談到了建模思想應(yīng)至始至終貫穿于整個(gè)建?！饽＿^程中，即使得到模型后也不能僅限于在數(shù)學(xué)內(nèi)部研究問題，要體現(xiàn)模型回歸實(shí)際意義的過程，而不是簡單的說明.文[3]中張唯一老師以高中概率的教學(xué)為例，也呼吁要加強(qiáng)建模的抽象過程和解釋過程，并加強(qiáng)模型的對比.這給我們的教學(xué)作了很好的一個(gè)引領(lǐng)作用，數(shù)學(xué)建模思想的介入，使得較籠統(tǒng)的、不太確定的教學(xué)過程變得有機(jī)相連、層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣，科學(xué)的解釋性和精確性得到充分的體現(xiàn).經(jīng)過不斷的探索和經(jīng)驗(yàn)的積累，我們已經(jīng)對某些模型研究得非常成熟了，如對勾函數(shù)模型、立幾中的正方體模型、四面都是直角三角形的三棱錐模型等.相信隨著研究的深入，我們模型教學(xué)的素材會(huì)愈加貼近生活，愈有數(shù)學(xué)味.但數(shù)學(xué)模型原型雖作為一種很好的介入方式，但能否順應(yīng)出新問題的建模及解模，是一個(gè)值得思考的問題，筆者以《建立不等式模型解決實(shí)際問題》為例，展示從數(shù)學(xué)模型原型出發(fā)，到探求數(shù)學(xué)模型的教學(xué)思路與做法，以期與同行交流.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 教學(xué)內(nèi)容解析

本課內(nèi)容是高三第一輪復(fù)習(xí)《不等式與不等式選講》章節(jié)中的一節(jié)課，這一章的主要內(nèi)容有：不等關(guān)系與不等式、一元二次不等式的解法、二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題、基本不等式、絕對值不等式以及不等式的證明.建立不等式模型解決實(shí)際問題基于建立不等式模型和求解不等式的方法兩大塊，因此本節(jié)課的重點(diǎn)是進(jìn)一步完備建模的思想，引導(dǎo)學(xué)生建立不等式模型并求解.

本節(jié)課是繼建立函數(shù)模型后再一次數(shù)學(xué)建模的拓展，在不等式相關(guān)知識(shí)背景下展開，目的在于再現(xiàn)建模方法、體現(xiàn)不等式價(jià)值、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用.

根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為：

建立不等式模型解決實(shí)際問題

1.2 學(xué)生學(xué)情診斷

學(xué)生在《函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》章節(jié)中已經(jīng)學(xué)習(xí)了建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題，并在《不等式與不等式選講》章節(jié)中學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)、解不等式及不等式的證明，對建立數(shù)學(xué)模型有了初步的認(rèn)識(shí)，但對于從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力仍有欠缺.第一輪復(fù)習(xí)階段學(xué)生對建立不等式模型的思想的理解還比較模糊，對于實(shí)際問題中有用信息的收集與轉(zhuǎn)化、變量關(guān)系的處理仍感到困難，尤其是不容易建立不等式模型解決實(shí)際問題.

根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為：

不等式模型的建立

1.3 教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置

（1）通過數(shù)學(xué)測試得分、綠化投資方案比較兩個(gè)簡單實(shí)例，能抓住題中“不低于”、“不少于”等關(guān)鍵詞，感受“關(guān)鍵詞”在建立不等式模型中的作用；

（2）通過人員調(diào)整利潤最大化和高峰期增開售票窗口兩個(gè)例題，對文字材料進(jìn)行分析、獲取并整理信息，并在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上建立不等式模型，感受建立不等式模型的思維過程與方法；

（3）經(jīng)歷建立不等式模型解決實(shí)際問題的過程，加深對建模過程的認(rèn)識(shí)，體會(huì)建模的思想與方法.

1.4 教學(xué)策略分析

高三第一輪復(fù)習(xí)課旨在核心知識(shí)再梳理、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建、思想方法上逐步提升.本節(jié)課采用的是“逐步遞進(jìn)式”，即遵照“易建模，易解模”→“易建模，難解模”→“難建模，易解模”的思路展開.通過對實(shí)例的探究，讓學(xué)生進(jìn)一步明確建立不等式模型解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，體會(huì)收集信息、整理信息對應(yīng)用不等式建立模型的重要性.

2 課堂演示

2.1 基礎(chǔ)訓(xùn)練

引例1在一次數(shù)學(xué)測試中，一共有16個(gè)選擇題，規(guī)定答對一題得6分，答錯(cuò)一題扣2分，不答不得分也不扣分.該同學(xué)只有一道題未答.該同學(xué)答對多少道題，其得分不低于70分？設(shè)該同學(xué)答對的題數(shù)為x道，則不等關(guān)系為：_______.

引例2某市環(huán)保局為增加城市的綠地面積，提出兩個(gè)投資方案：方案A為一次性投資500萬元；方案B為第一年投資5萬元，以后每年都比前一年增加10萬元.列出不等式表示“經(jīng)過n年后，方案B的投入不少于方案A的投入”為：________.

評析以學(xué)生熟悉的題型入手，開門見山，體會(huì)建立不等式模型在解決實(shí)際問題中的作用.

2.2 實(shí)例探究

例1某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出x（x∈N*）名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，同時(shí)為了保證企業(yè)正常的運(yùn)轉(zhuǎn)，規(guī)定調(diào)整出的員工人數(shù)x（x∈N*）應(yīng)滿足300≤x≤400.調(diào)整后從事第三產(chǎn)業(yè)員工平均每人每年創(chuàng)造利潤為，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高0.2x%.

（1）請問能保證剩下員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤嗎？

（2）若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？

評析以實(shí)際應(yīng)用問題形式給出的不等關(guān)系，需要學(xué)生加工、整理信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)不等關(guān)系，從而建立該問題的不等式模型或由函數(shù)模型進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為不等式模型，再根據(jù)問題的求解目標(biāo)，選擇使用不等式的方法，通過求解不等式，回歸實(shí)際問題實(shí)際意義達(dá)到解題的目的.

為直觀表達(dá)題干中有關(guān)量的關(guān)系，可引導(dǎo)學(xué)生建立如下表格，使數(shù)學(xué)表達(dá)到建立模型更順暢、快捷.

人數(shù) 人均創(chuàng)造利潤 年總利潤調(diào)整前10 00 10 10 00 0_____________調(diào)整后第三產(chǎn)業(yè) x 10a-3x（ ）50 0 10x a-3x（ ）50 0原產(chǎn)業(yè) 10 00-x 10（1+0.2x%） 10（10 00-x）（1+0.2x%）

例2春運(yùn)期間，各車站通過增加售票窗口、檢票窗口、班次等方式來減少旅客的滯留量.旅客在車站排隊(duì)購票，并且排隊(duì)的旅客可視為均勻增加.若只開設(shè)一個(gè)售票窗口，需要40分鐘將等待購票的旅客的車票全部售出（假設(shè)每名排隊(duì)旅客只能購一張所需車票）；若只開設(shè)兩個(gè)售票窗口，只需15分鐘將等待購票的旅客的車票全部售出.現(xiàn)有一班增開客車進(jìn)站運(yùn)送旅客.因時(shí)間緊張，所有排隊(duì)購票的旅客必須在5分鐘內(nèi)全部購票上車（假設(shè)等待購票的旅客都乘坐該車，并且購票后立即上車），問此時(shí)車站最少要同時(shí)開放幾個(gè)售票窗口？

評析本題的變量關(guān)系具有一定的隱蔽性，引導(dǎo)學(xué)生搜集信息、加工信息是本題的一大難點(diǎn).

教學(xué)片段

師：同學(xué)們先認(rèn)真審題

生：【審題、思考】

師：審?fù)觐}了，不太好下手吧，我先提三個(gè)問題供大家思考：（1）本例要解決的問題是什么？（2）問題如何用文字語言表述？（3）文字語言中的量如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表示？并用表格呈現(xiàn)出來（投影顯示）.

請大家回憶我們解決前面兩個(gè)問題的思維過程，認(rèn)真討論，我再請同學(xué)回答.

生：【思考、討論】

師：有沒有哪位同學(xué)主動(dòng)回答這個(gè)問題？

生1：需要解決的是“旅客必須在5分鐘內(nèi)全部購票上車，求此時(shí)開設(shè)的最少窗口數(shù)”.

師：對，如何用文字不等式表示呢？

生1：【思考】

師：怎樣保證旅客在5分鐘內(nèi)全部購票上車？

生1：5分鐘內(nèi)窗口能售出的票數(shù)不得少于購票的旅客人數(shù).

師：一個(gè)窗口可以保證嗎？

生1：不能，設(shè)開n個(gè)窗口.

師：即5分鐘內(nèi)n個(gè)窗口能售出的票數(shù)≥5分鐘內(nèi)排隊(duì)購票的旅客人數(shù)

師：那這個(gè)不等關(guān)系中涉及哪些量呢？

生1：5分鐘內(nèi)的購票人數(shù)以及排隊(duì)購票的旅客人數(shù).

師：很好，如何表示呢？我們先來表示排隊(duì)購票的旅客人數(shù).

生1：排隊(duì)購票的旅客人數(shù)包括兩部分，一是已經(jīng)在車站等的旅客，二是均勻增加陸續(xù)來的旅客.

師：非常好！如何表示出排隊(duì)購票的旅客人數(shù)中的兩個(gè)量呢？

生1：設(shè)售票開始時(shí)排隊(duì)旅客購票的旅客有x人，排隊(duì)的人數(shù)每分鐘增加y人，從而5分鐘內(nèi)排隊(duì)購票的旅客人數(shù)為x+5y.

師：很好，再看左邊，5分鐘內(nèi)n個(gè)窗口能售出的票數(shù)又該如何表示呢？

生1：設(shè)每售一張票的時(shí)間為t0（分鐘），5分鐘內(nèi)n個(gè)窗口能售出的票數(shù)為.

師：這個(gè)不等關(guān)系就為？

師：真不錯(cuò)，請坐！要解決這個(gè)問題，光知道這個(gè)不等式還不能求出n，我們還要進(jìn)一步尋求x，y，t0的關(guān)系，請同學(xué)們接著審題，確定需要哪些量并用表格表示出來，找出其它關(guān)系.

生：【再審題、思考并討論】

師：大家應(yīng)該得到x，y，t0的其他關(guān)系了吧，我們請同學(xué)展示一下你們的成果.

生2：有售票窗口數(shù)、售票時(shí)間、售票初排隊(duì)人數(shù)、排隊(duì)人數(shù)均勻增速、能售出的票數(shù)和購票人數(shù)這些量.還滿足.

【投影顯示】

如何求n呢？

生：由（1）（2）可以消參，用t0表示x，y.

師：這個(gè)問題也圓滿解決了，看來大家運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力很強(qiáng)！從該例來看，獲得模型較困難，解模卻很容易，因而搜集信息、轉(zhuǎn)化信息就顯得尤為重要.相比而言，例1中直接可建立不等式，但解模要稍復(fù)雜些.兩個(gè)例題揭示了建立不等式模型解決實(shí)際問題中兩個(gè)很重要的本領(lǐng)：一個(gè)是“建”的本領(lǐng)，認(rèn)真審題、對信息去粗存精；另一個(gè)是“解”的本領(lǐng)，解一般不等式的方法、不等式恒成立問題的求解辦法.

評析該問題是本節(jié)課的核心問題，為了保證預(yù)期解模的成功，教師沒有急于告知，而是搭建一定的腳手架，并給學(xué)生充分的時(shí)間思考、探索及表達(dá)，讓整個(gè)數(shù)學(xué)建模過程緊張而激烈，對增強(qiáng)學(xué)生攻克難題的信心、解決問題的有序性都大有幫助.

2.3 歸納提升

師生共同總結(jié)建立不等式模型解決實(shí)際問題的基本步驟：

1.審題 → 尋求變量關(guān)系；

2.建模 → 建立不等式；

3.解模 → 求解不等式；

4.作答 → 回歸實(shí)際意義.

評析從兩個(gè)實(shí)例的探究過程中歸納出建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟，并進(jìn)一步明確建立不等式模型的方法.

2.4 練習(xí)鞏固

某大學(xué)為推進(jìn)后勤社會(huì)化改革，與光谷新區(qū)商定：由該區(qū)向銀行貸款500萬元在光谷新區(qū)為學(xué)校建一棟可容納一千人的學(xué)生公寓，工程于2014年初動(dòng)工，年底竣工并交付使用，公寓管理處采用收費(fèi)還貸償還銀行貸款（年利率5%，按復(fù)利計(jì)算），公寓所收費(fèi)用除去物業(yè)管理費(fèi)和水電費(fèi)18萬元，其余部分全部在年底償還銀行貸款.

（1）若公寓收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為每生每年800元，問到哪一年可償還銀行貸款.

（2）若公寓管理處要在20 22年底把銀行貸款全部還清，則每生每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是多少元（精確到一元）.

（參考數(shù)據(jù)：l g1.73 43=0.2391，l g1.05=0.0212，1.058=1.4774.）

評析數(shù)列、不等式在銀行貸款及利率方面的應(yīng)用是學(xué)生熟悉的一類實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題中的文字語言如“到哪一年可償還銀行貸款”表面上是等量關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是不等關(guān)系.

2.5 作業(yè)布置

1.某地鐵路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km，在列車運(yùn)行時(shí)刻表上，規(guī)定列車8時(shí)整從A站發(fā)車，8時(shí)07分到達(dá)B站，并停車1分鐘，8時(shí)12分到達(dá)C站，在實(shí)際運(yùn)行中，假設(shè)列車從A站正點(diǎn)發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時(shí)以平均速度vk m/h行駛，現(xiàn)規(guī)定列車從A站到達(dá)某站的實(shí)際時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)的規(guī)定時(shí)間之差的絕對值W為列車在該站的運(yùn)行誤差.

（1）分別寫出列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差WB，WC.

（2）若要求列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過2分鐘，求v的取值范圍.

2.夏天，某省電網(wǎng)用電短缺：每天從早晨8點(diǎn)整到下午6點(diǎn)整為用電正常期，每小時(shí)缺電300萬千瓦；從下午6點(diǎn)整到晚上10點(diǎn)整為用電高峰期，每小時(shí)缺電750萬千瓦；從晚上10點(diǎn)整到次日早晨8點(diǎn)整為用電低谷期，每小時(shí)缺電100萬千瓦.現(xiàn)從外省購買電量（定值），量少可直接被電網(wǎng)使用，量多可蓄能再用.已知購買價(jià)格為每度（千瓦時(shí)）0.5元，蓄能電站每吸收1度電可發(fā)0.6度電；除輸入電量的成本外，電站每發(fā)1度電的額外成本S與每天發(fā)出的總電量Q（萬度）之間的關(guān)系是元.為保證該省電網(wǎng)正常運(yùn)轉(zhuǎn)的情況下，每小時(shí)需購買多少萬千瓦的電量時(shí)，每日（從晚10點(diǎn)整到次日10點(diǎn)整）成本最低？

3.某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費(fèi)用12萬元，從第二年起開始包括維修費(fèi)在內(nèi)，每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬元，該船每年捕撈的總收入為50萬元.

（1）該船捕撈幾年開始盈利（即總收入減去成本及所有費(fèi)用之差為正值）？

（2）該船捕撈若干年后，處理方案有兩種：

①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以26萬元的價(jià)格賣出；

②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以8萬元的價(jià)格賣出.

問哪一種方案較為合算，請說明理由.

評析通過作業(yè)與思考中不同實(shí)際問題情境的設(shè)置，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生利用不等式建模的意識(shí)，提高學(xué)生的分析能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

3 課后反思

通過本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)識(shí)到多一點(diǎn)精心預(yù)設(shè)，就能融一份動(dòng)態(tài)生成，體會(huì)到什么是由“關(guān)注知識(shí)”轉(zhuǎn)向“關(guān)注學(xué)生”.在教學(xué)過程中，注意到了由“給出知識(shí)”轉(zhuǎn)向“引起活動(dòng)”，由“完成教學(xué)任務(wù)”轉(zhuǎn)向“促進(jìn)學(xué)生發(fā)展”，課堂上的主體應(yīng)該是學(xué)生.一堂好課，師生一定會(huì)積極的互動(dòng)，并有良好的情感交流.本節(jié)課的教學(xué)中，較難的不等式模型是在老師的引導(dǎo)下建立的，學(xué)生通過在解決實(shí)際問題的過程中“抽出”的，并通過所學(xué)知識(shí)，完成解模的過程，學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的魅力.

可取之處：一是教學(xué)設(shè)計(jì)簡潔明快，將建立不等式模型解決實(shí)際問題的核心定位在建模和解模兩大塊，尤其是在高中學(xué)習(xí)階段最易忽視的利用信息轉(zhuǎn)化建立模型方面作了一些嘗試，并取得了一定的教學(xué)效果；二是教態(tài)自然得體，親和力強(qiáng)，能很好地駕馭課堂，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生思考問題，課堂氣氛活躍.

改進(jìn)之處：由于時(shí)間有限，在暴露學(xué)生問題、思維過程等方面略顯不足，探究過程中還應(yīng)讓更多的學(xué)生發(fā)表自己的看法.

4 教學(xué)點(diǎn)評

本節(jié)課是第一輪復(fù)習(xí)中的復(fù)習(xí)課，對這節(jié)課如何“選材”進(jìn)行了認(rèn)真的思考，對怎樣建模作了幾點(diǎn)嘗試.

選材：一是選材源于教材、貼近生活.如引例2選自必修5的課后習(xí)題，以等差數(shù)列前n項(xiàng)和作為知識(shí)背景，建構(gòu)的是學(xué)生熟悉的數(shù)列不等式模型；二是選材注重“四性”—層次性、典型性、趣味性、探究性.“2+2+1+3”模式由淺入深、由易到難體現(xiàn)了建立不等式模型的基本程序，符合學(xué)生螺旋式發(fā)展認(rèn)知規(guī)律；針對實(shí)際問題建立了如一次不等式、二次不等式、絕對值不等式等不同類型的模型，建模基本步驟的歸納總結(jié)具有一般性；選擇與學(xué)生息息相關(guān)的生活問題如考試得分、優(yōu)化調(diào)整、銀行利率、排隊(duì)購票等能激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

建模：建立不等式模型是本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn).如何建立不等式模型，我的做法是：（1）抓住題中的“不低于”、“不少于”等關(guān)鍵詞建立不等式模型；（2）抓住題中的等量關(guān)系與不等關(guān)系建立不等式模型.在建模的過程中，認(rèn)真分析，使思維程序化：（1）閱讀材料，收集信息；（2）分析篩選、處理信息，將信息用表格的形式呈現(xiàn)出來；（3）用字母表示信息中的量；（4）尋找等量關(guān)系與不等關(guān)系；（5）用含字母的量表出等式關(guān)系與不等關(guān)系.

解模：解模的過程注重通性通法的應(yīng)用以及變量的轉(zhuǎn)換，能促進(jìn)學(xué)生思維的提升.

對于數(shù)學(xué)建模，在深化課程改革之今天，我們的中學(xué)課堂雖不能像大學(xué)理工科及部分文科專業(yè)的必修課那般常態(tài)化，綜合化，但不可否認(rèn)的是，模型教學(xué)中學(xué)生的學(xué)習(xí)方式改變了，學(xué)生的多種能力提升了，數(shù)學(xué)課堂更鮮活了，效果也更好了！值得稱道的是將要使用的新修訂或編寫的高中課標(biāo)教材已把“數(shù)學(xué)建模”等核心詞直接作為章節(jié)標(biāo)題的一部分，這表明模型的功能性地位不改變（素材、載體），但模型的延伸價(jià)值（由已知模型的探討到未知模型的建立）已受到重視，學(xué)生應(yīng)用意識(shí)、實(shí)踐能力的培養(yǎng)才能落到實(shí)處.

希望模型教學(xué)是今后數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革中一道靚麗的風(fēng)景線，學(xué)生通過多種合作交流活動(dòng)學(xué)中做，做中學(xué)，真正體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，為數(shù)學(xué)學(xué)科育人奉獻(xiàn)一份力量！