幾何概型教學(xué)中的理解學(xué)生

官運(yùn)和

（廣東韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 512005）

幾何概型是中學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要的教學(xué)內(nèi)容，由于是新增內(nèi)容等原因，也是較難把握的教學(xué)內(nèi)容.它的前置知識(shí)是概率的統(tǒng)計(jì)定義和等可能概念以及古典概型，是第二類等可能概率模型，它把等可能事件的概念從有限延伸到無(wú)限.等可能、無(wú)限是二個(gè)極其抽象的概念，為教學(xué)增加了難度.教學(xué)概率的目的是學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)方法去研究不確定現(xiàn)象的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生用科學(xué)態(tài)度、辯證思維、隨機(jī)觀念去觀察、分析、研究客觀世界.

學(xué)生主體，教師主導(dǎo)，即教學(xué)的雙主性是被大家認(rèn)可的，認(rèn)可歸認(rèn)可，但落實(shí)并不盡人意.怎么落實(shí)，說(shuō)教可能會(huì)空洞，不妨結(jié)合中學(xué)幾何概型的教學(xué)就雙主性的基礎(chǔ)問(wèn)題——理解學(xué)生來(lái)展開(kāi)討論，談點(diǎn)思考.

1 理解學(xué)生，理解學(xué)生思維的跨度

對(duì)于大眾教育而不是精英教育，我們鼓勵(lì)低起點(diǎn)，小跨度，注重思維的連貫性，走進(jìn)思維的最近發(fā)展區(qū)，一步一步往前走，走得踏實(shí)有力.從古典概型到幾何概型的過(guò)渡來(lái)考查學(xué)生的思維跨度.

從一些教學(xué)比賽的數(shù)學(xué)課以及公開(kāi)課來(lái)看，較多老師對(duì)教學(xué)幾何概型設(shè)計(jì)的教學(xué)流程是：知識(shí)回顧（或復(fù)習(xí)舊知：古典概型）——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情景、引入新課——講解新課（幾何概型）——概念深化（列表對(duì)比古典概型與幾何概型）——典型例題（分長(zhǎng)度、角度、面積和體積四種情形）——課堂檢測(cè)——課堂小結(jié)——課后作業(yè)，其中的創(chuàng)設(shè)情景、引入新課的問(wèn)題是下面二題或類似題：

題1已知A=[1，8]，從A中任意取出一個(gè)整數(shù)a，求a≤4的概率.

題2已知A=[1，8]，從A中任意取出一個(gè)實(shí)數(shù)a，求a≤4的概率.

即先應(yīng)用古典概型的方法解題1，接著給出幾何概型的方法解題2，由題2解答抽象概括歸納幾何概型概念的定義，然后就古典概型與幾何概型的特點(diǎn)加以列表比較，然后用例題分長(zhǎng)度、角度、面積和體積等情形加強(qiáng)幾何概型的應(yīng)用，等等，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)看上去也沒(méi)什么問(wèn)題，也符合教學(xué)法的要求，有概念的形成、概念的比較、概念的深化、概念的應(yīng)用等過(guò)程，但總感覺(jué)還是少了什么，或?qū)Σ糠謱W(xué)生來(lái)說(shuō)還是有點(diǎn)不易接受，題1與題2的外在形式有很多的相似，但解法有本質(zhì)的區(qū)別，沒(méi)有思維上的連接，而是另辟蹊徑，形成了思維跨度.

我們來(lái)看另一個(gè)設(shè)計(jì)的引例：

例1不透明的袋子中裝有大小完全相同的16個(gè)小球，其中含12個(gè)白球，4個(gè)黑球，隨機(jī)在袋中摸出一球，求摸出黑球的概率.

例2如圖一，有一個(gè)由16塊大小相同的正方形地板鋪成地面的房間，其中有12塊白地板，4塊黑地板，小蟲(chóng)在地面上隨意自由爬動(dòng)，求小蟲(chóng)爬在黑地板上的概率.

圖一

圖二

圖三

如果“面積比”意境還沒(méi)出來(lái)，進(jìn)一步給出下面的題目：

例3如圖二，把四塊黑地板移在中間位置，其它條件不變，求小蟲(chóng)爬在黑地板上的概率.

例4如圖三所示，鋪一塊蘭色圓地板，其余為白地板，其它條件不變，求小蟲(chóng)爬在蘭色地板上的概率.

總結(jié)一下上面引例，例1是古典概型的問(wèn)題，其它的都是幾何概型的問(wèn)題，從例1出發(fā)，到后面的例題，這樣實(shí)現(xiàn)了思維的無(wú)縫對(duì)接，同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了由古典概型到幾何概型的過(guò)渡，實(shí)現(xiàn)了從有限到無(wú)限的過(guò)渡，為深入學(xué)習(xí)幾何概型打下了基礎(chǔ)，做到了低起點(diǎn)，小跨度，甚至是無(wú)跨度，注重思維的連貫性，走進(jìn)思維的最近發(fā)展區(qū)，給學(xué)生新知識(shí)“不難”的感覺(jué).

這里也告訴我們，古典概型和幾何概型雖然是有區(qū)別的，也是緊密聯(lián)系的，強(qiáng)調(diào)區(qū)別的同時(shí)也要注重聯(lián)系，兩種概型的概率其實(shí)質(zhì)是統(tǒng)一的“比式”，事件A的測(cè)度/基本事件的總測(cè)度，因?yàn)橹袑W(xué)生沒(méi)有測(cè)度論的知識(shí)儲(chǔ)備，因此我們避開(kāi)“測(cè)度”的概念，采用“幾何量”這樣直觀的說(shuō)法，明確長(zhǎng)度、角度、面積、體積就是幾何量，那么這個(gè)比式就是個(gè)數(shù)/總個(gè)數(shù)、長(zhǎng)度/總長(zhǎng)度、面積/總面積、體積/總體積.

2 理解學(xué)生，理解學(xué)生思維的難度

上面已說(shuō)了幾何概型的概率其實(shí)質(zhì)是“比式”，基本事件的幾何量的比例，其中的基本事件的一個(gè)重要條件是等可能性，在概率空間中，基本事件是最原始、最小的、不可再分的事件[1]，在解決具體問(wèn)題的時(shí)候，具有等可能性的原始基本事件好找，因?yàn)轭}目必須明確給出，但往往要將原始基本事件作等價(jià)描述，那么問(wèn)題就來(lái)了，與具有等可能性的原始基本事件成一一映射的新描述的基本事件還具有等可能性嗎？數(shù)學(xué)教科書(shū)經(jīng)常用“一一映射”定義“等價(jià)”，文[2]給出了一種應(yīng)用一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法：“通過(guò)實(shí)數(shù)坐標(biāo)建立與基本事件的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系在坐標(biāo)系中用圖形表示樣本空間和隨機(jī)事件從而用構(gòu)造出的幾何量度和幾何概型公式求解[2]”，然而一一對(duì)應(yīng)并非普適，不妨看下面的例題：

例5如圖四，已知Rt△ABC中，∠A=60°，C為直角頂點(diǎn)，在△ABC內(nèi)部過(guò)點(diǎn)C任意方向等可能地作一條射線CD，與線段AB交于點(diǎn)D，求AD≤DB的概率.

圖四

圖五

圖六

略解：取AB的中點(diǎn)為M，由題意知，在△ABC內(nèi)部過(guò)點(diǎn)C任意方向等可能地作射線CD，作出∠ACD是等可能的，則AD≤DB的概率=∠ACM/∠ACB=2/3（因?yàn)椤螦CM=60°）.

思考：在△ACB內(nèi)部過(guò)點(diǎn)C任作一條射線CD，與線段AB交于點(diǎn)D是唯一的，反過(guò)來(lái)，在線段AB上任取一點(diǎn)D與C連接得射線CD也是唯一的，因此“在△ACB內(nèi)部過(guò)點(diǎn)C任作一條射線CD，與線段AB交于點(diǎn)D”與“線段AB上取點(diǎn)D，得射線CD”能建立一一映射，簡(jiǎn)單的說(shuō)，作射線CD與AB上取點(diǎn)D能建立一一映射，是不是有：AD≤DB的概率=AM/AB=1/2呢？顯然不是，原因是雖然作射線CD與AB上取點(diǎn)D能建立一一映射，但作射線是等可能的，而AB上取點(diǎn)不具有等可能性，也就是說(shuō)一一映射并不一定傳遞等可能性.

等可能性在區(qū)域里面被描述為均勻分布，因此均勻分布的量經(jīng)一一映射后不一定均勻分布.什么時(shí)候一一映射能傳遞等可能性呢，答案是：原像的相等的改變量，像的改變量也相等.本題中的角度比不等于線段比，這樣的一一映射沒(méi)有傳遞等可能性.

例6把例5的圖形變等腰直角三角形，其它不變，情況咋樣呢.即：如圖五，在Rt△ABC中，AC=BC，在△ACB內(nèi)部過(guò)點(diǎn)C任意方向等可能地作一條射線CD，與線段AB交于點(diǎn)D，求AD≤DB的概率.

分析：取AB的中點(diǎn)為M，由題意知：AD≤DB的概率=∠ACM/∠ACB=1/2.當(dāng)然這時(shí)，AM/AB=1/2，是巧合，如果說(shuō)AD≤DB的概率=AM/AB=1/2，答案是正確的，則過(guò)程是錯(cuò)誤的，因?yàn)槿钡瓤赡苄詶l件，僅是巧合而已.因?yàn)镃與AB上中點(diǎn)連線等分∠C，但C與AB上n（n≥3）等分點(diǎn)連線并不等分∠C，對(duì)n=3用角平分線定理就很容易證明.

例7把例6的圖形變扇形，其它不變，情況又咋樣呢，即：在扇形CAB中，在扇形CAB內(nèi)部過(guò)頂點(diǎn)C任意方向等可能地作一條射線CD，與弧AB交于點(diǎn)D，求弧AD≤弧DB的概率.

分析：因?yàn)榛B上的D與C的連線任意等分角C?點(diǎn)D等分弧AB，所以當(dāng)作射線CD是等可能的時(shí)候，得到在弧AB上取點(diǎn)D也是等可能的.因此，弧AD≤弧DB的概率=∠ACM/∠ACB=弧AM/弧AB=1/2.

學(xué)生經(jīng)常信心百倍地視一些錯(cuò)誤解法為正確解法.

3 理解學(xué)生，理解學(xué)生思維的深度

在前面的題1與題2中把A=[1，8]都改為A=（1，8），情況又咋樣呢，我們知道題1的答案變了，[1，8]中含8個(gè)整數(shù)，（1，8）中只含6個(gè)整數(shù)了，而題2的答案沒(méi)變，[1，8]與（1，8）的區(qū)間長(zhǎng)度一樣，就跟8與6是不同的、而∞與∞-1、∞-2沒(méi)有區(qū)別是一樣的道理.嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，一個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度是0，一條線的面積是0，在計(jì)算線段長(zhǎng)度時(shí)，無(wú)論是否計(jì)算其端點(diǎn)，其長(zhǎng)度不變；在計(jì)算幾何區(qū)域面積或幾何體的體積時(shí)，無(wú)論是否考慮其邊界，區(qū)域的面積或幾何體的體積不變.進(jìn)一步，考慮下面的例題.

例8若A=[1，8]，則從A中任意取出一個(gè)實(shí)數(shù)a，求a=3的概率.

分析：由幾何概型很容易得，a=3的概率為0.事件“從A中任意取出一個(gè)實(shí)數(shù)a，a=3”是不可能事件嗎？不是不可能事件，因此，在古典概型中，基本事件有限，不可能事件?概率為0的事件，必然事件?概率為1的事件；而在幾何概型中，基本事件無(wú)限多，不可能事件的概率是0，概率為0的事件不一定是不可能事件，概率為1的事件不一定是必然事件，對(duì)于無(wú)限還有很多類似的結(jié)論，這就是無(wú)限的魅力.

4 理解學(xué)生，理解學(xué)生思維的自由度

我們常說(shuō)數(shù)學(xué)給的是理想化狀態(tài)，是在給定條件下的結(jié)果，這沒(méi)有錯(cuò)，但數(shù)學(xué)教學(xué)要走近學(xué)生，不能以個(gè)人意愿作為大眾理解.比如：如圖七，隨機(jī)地向圓盤(pán)投擲飛鏢，求飛鏢落點(diǎn)位于小圓內(nèi)的概率.顯然命題者設(shè)定飛鏢一定會(huì)擊中圓盤(pán)的，但經(jīng)過(guò)專業(yè)訓(xùn)練的世界名將都有可能脫靶，從而引起無(wú)謂的爭(zhēng)論.

圖七

在前面的例2中假如把小蟲(chóng)改為大象，雖然把大象看做一個(gè)點(diǎn)是合理的，但變成“求大象踩在黑地板上的概率”就不合常理了，設(shè)想為點(diǎn)的物不宜大.還有就是對(duì)于常規(guī)題要明確給出基本事件的等可能，開(kāi)放題則另當(dāng)別論.

5 結(jié)語(yǔ)

“學(xué)生主體，教師主導(dǎo)”這個(gè)教學(xué)的雙主性是內(nèi)涵豐富的話題，雙主性的基礎(chǔ)是理解學(xué)生，教學(xué)任何內(nèi)容都要從理解學(xué)生做起.教學(xué)中教師經(jīng)常是“教”，而不是“導(dǎo)”，沒(méi)有教師的“導(dǎo)”，就不能展現(xiàn)學(xué)生的主體性，沒(méi)有理解學(xué)生，就不會(huì)有教師的導(dǎo).理解學(xué)生，就必須理解學(xué)生思維的跨度、難度、深度、自由度.對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，對(duì)基本事件作一一映射的描述，并不一定確保等可能性等價(jià).