試析導數(shù)在高中函數(shù)問題中的應用

湖南省瀏陽市田家炳實驗中學1407班 羊宇健

試析導數(shù)在高中函數(shù)問題中的應用

湖南省瀏陽市田家炳實驗中學1407班 羊宇健

歷年高考中，函數(shù)知識的考查一直是每年高考的熱點，而導數(shù)在函數(shù)問題中的應用，給我們解決函數(shù)問題增添了新的活力，尤其是在判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值等方面有著廣泛的應用。下面，我就分享自己在導數(shù)學習中的一些感受和經(jīng)驗供大家參考。

一、利用導數(shù)求函數(shù)的切線

例1 已知曲線y=x3-2x2+1 ，求經(jīng)過點A（2,1）的切線方程。

解：當切點為點A時，將x=2代入y,=3x2－4x，得y′=4，利用點斜式，可得切線方程為4x-y+7=0；當切點不是點A時，不妨設切點為A0(x0,y0),則有y0＝x03－2x02＋1；（1）

利用點斜式，可得切線方程為y－1＝（3x02－4x0）（x－2）；（2）

結(jié)合（1）（2）兩式，可解得x0＝0,2，所以，過點A的切線有兩條，分別是y＝1和4x－y＋7＝0。

對于利用導數(shù)求函數(shù)的切線問題，我們要熟練掌握曲線y＝f（x）在A（x0，y0）處的切線斜率就是函數(shù)y＝f（x）在x0處的導數(shù)，其切線方程為y－y0＝f′（x）(x－x0），而很多學生常常忽略題目的要求，沒有弄清是求過切點的切線還是求該點為切點時的切線。因此，在做題時應仔細審題，確保答案正確無誤。

二、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

例2 已知函數(shù)y＝2x3－4x2＋2x，求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

分析：首先明確函數(shù)的定義域，求出該函數(shù)的導數(shù)為y′＝6x2－8x＋2；其次利用導數(shù)性質(zhì)進行作答，即當y′＞0時，函數(shù)為單調(diào)增區(qū)間，y＝6x2－8x＋2＞0,求得x＞1或x＜;當y＜0時，函數(shù)為單調(diào)減區(qū)間，6x2－8x＋2＜0,求得＜x＜1。

在函數(shù)比較復雜時，我們常常利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。對于利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性問題，首先應求出函數(shù)的導數(shù)，并且確定出函數(shù)的定義域；其次，利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，即在函數(shù)的定義域內(nèi)導數(shù)大于零，則為函數(shù)的增區(qū)間，導數(shù)小于零，則為函數(shù)的減區(qū)間。

三、利用導數(shù)求解函數(shù)的極值

例3 已知函數(shù)f（x）＝ex（x2＋ax＋a＋1），求該函數(shù)的極值個數(shù)。

解：函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）＝ex（x2＋ax＋a＋1）＋ex（2x＋a）＝ex［x2＋（a＋2）x＋2a＋1]＝0，

由于ex恒大于0，所以x2+（a+2）x+2a+1＝0，

當△=0時，函數(shù)兩個相同的實根x1、x2，即（a+2）2－4（2a+1）＝0，求得a為0或4，故f′（x）=ex（x－x1）2，此時，恒有f′（x）＞0，因此，該函數(shù)沒有極值。

當△＞0時，函數(shù)有兩個不同的實根x1，x2，即（a+2）2－4（2a+1）＞0，求得a＜0或a＞4,為了研究方便，我們采用以下圖表進行分析：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）f（x） + 0 - 0 +f（x） 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增

當△＜0時，求得0＜a＜4，故f′（x）＝ex［x2＋（a＋2）·x＋2a＋1]恒大于零，則f（x）＝ex（x2＋ax＋a＋1）為增函數(shù)，此時該函數(shù)沒有極值。

一個函數(shù)能否取得極值的關(guān)鍵在于該點處導數(shù)是否為零且該點兩側(cè)是否異號，若該點的導數(shù)為零但該點兩側(cè)為同號，則該點仍然不是極值。對于利用導數(shù)求解函數(shù)極值問題，首先，仍然是求出函數(shù)的導數(shù)，并且確定出函數(shù)的定義域；其次，求出函數(shù)的導數(shù)的所有實根，然后利用表格的形式進行檢驗，確保該點左右兩側(cè)為異號。若是左正右負，則該點為極大值，反之，則為極小值。

四、利用導數(shù)求參數(shù)的范圍

例4 已知函數(shù)為f（x）=ax2-lnx-1有兩解，求參數(shù)a的取值范圍。

為了研究方便，根據(jù)題意，我們不妨描出f（x）=ax2-lnx-1的草圖，其函數(shù)草圖如下圖所示。

利用導數(shù)求參數(shù)的范圍，應將其轉(zhuǎn)換為不等式恒成立求解，通過這種逆向思維的轉(zhuǎn)換，最終轉(zhuǎn)換為函數(shù)的極值或最值問題進行求解。只有這樣，才能將復雜的數(shù)學問題簡單化。

五、利用導數(shù)解決函數(shù)實際問題

例題5 如圖所示，A廠位于河道邊，B廠位于距離河道40km處，并且A廠到B廠在河道上的垂直點D處的距離為50km，則怎樣修建一座供水站C廠，使C廠到A、B兩廠的管道鋪設費用最小？其中供水站到A、B兩廠的鋪設費用每千米分別為3a、5a元。

解法：不妨設CD=xkm，則AC=（50-x）km,,根 據(jù) 題 意，此題可以轉(zhuǎn)化為當x取何值時，鋪設費用取得最小值。

總之，導數(shù)應用于函數(shù)問題將使函數(shù)問題變得更加清晰和簡單，因此，在具體應用過程中，我們務必注重導數(shù)和函數(shù)基礎(chǔ)知識的理解，應用圖形結(jié)合思想，達到優(yōu)化函數(shù)解題思維，簡化解題過程的目的。

（指導老師：湯華柏）