最小公倍數(shù)法求最小正周期適用定理探索

陳潔，韓光松

(1.湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430068;2.華中科技大學(xué),湖北 武漢 430074)

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最小公倍數(shù)法求最小正周期適用定理探索

陳潔1，韓光松2

(1.湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430068;2.華中科技大學(xué),湖北 武漢 430074)

本文主要針對(duì)最小公倍數(shù)法求和函數(shù)周期時(shí)存在的不足，基于周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式，分析了最小公倍數(shù)法求最小正周期時(shí)的不足，給出了最小公倍數(shù)法的適用定理；然后，從頻譜數(shù)的角度給出了兩個(gè)推論，并討論了三種正余弦函數(shù)的周期。

最小公倍數(shù)法；最小正周期；傅里葉級(jí)數(shù)

1 引言

對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期。常見(jiàn)的求解函數(shù)最小正周期的方法有定義法、公式法、圖像法、檢驗(yàn)法、求導(dǎo)法[1]、積分法[2]等。

當(dāng)函數(shù)為多個(gè)函數(shù)和的形式時(shí)，最小公倍數(shù)法已經(jīng)被大家廣泛地采用，然而，文獻(xiàn)[3-5]通過(guò)反例指出了最小公倍數(shù)法求出的周期不一定是最小正周期。到目前為止，還沒(méi)有資料清楚地闡述最小公倍數(shù)法的適用條件。本文通過(guò)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式詳細(xì)地討論了最小公倍數(shù)法的適用條件，給出了兩個(gè)判據(jù)。

2 三個(gè)引理

引理1[6]設(shè)f(x)和g(x)為定義在實(shí)數(shù)域上的任意兩個(gè)連續(xù)且非常值的周期函數(shù)，T1和T2分別為它們的最小正周期，則f(x)+g(x)為周期函數(shù)的充要條件是T1/T2為有理數(shù)。

3 最小公倍數(shù)法適用定理

三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k的周期僅與角頻率ω有關(guān)，下面的討論不考慮振幅A、初相φ和參數(shù)k。另外，假設(shè)討論的正余弦函數(shù)的角頻率為有理數(shù)，根據(jù)引理1，和函數(shù)的周期存在。

定理1 設(shè)周期函數(shù)f1(x)、f2(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中各正余弦函數(shù)的周期集合分別為A、B，f1(x)與f2(x)傅里葉級(jí)數(shù)展開式的和式中各正余弦函數(shù)周期的集合為C，記G{·}表示集合的最小公倍數(shù)，則 G{A∪B}≥G{C}

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)最小公倍數(shù)法適用于求和函數(shù)的周期。

證明：設(shè)周期函數(shù)f1(x)和f2(x)滿足收斂定理，其周期分別為T1=2l1和T2=2l2，其傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

根據(jù)引理2

求周期函數(shù)f1(x)與f2(x)的和時(shí)，分下面兩種情況：

(1)傅里葉級(jí)數(shù)沒(méi)有出現(xiàn)“角頻率消失”現(xiàn)象，根據(jù)引理2，f1(x)+f2(x)的周期為

故G{A∪B}=G{C}，因此，可以使用最小公倍數(shù)法。

(2)傅里葉級(jí)數(shù)出現(xiàn)“角頻率消失”現(xiàn)象，不妨設(shè)存在pi和qi(i=1,2,…,r)，使得

api+cqi=0，bpi+dqi=0，qil1=pil2

G{C}=G{A∪B-D}≤G{A∪B}=G{T1,T2}

因此，使用最小公倍數(shù)法求得的周期可能大于實(shí)際的最小正周期，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)最小公倍數(shù)法適用于求和函數(shù)的周期。

適用定理需要求周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，應(yīng)用不是很方便，為此，根據(jù)周期函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開式中角頻率數(shù)量的不同，將周期函數(shù)分為無(wú)限頻周期函數(shù)和有限頻周期函數(shù)，基于上面的適用定理，給出下面兩個(gè)推論。

推論1 設(shè)f1(x)和f2(x)均為無(wú)限頻或有限頻周期函數(shù)，f1(x)+f2(x)可能出現(xiàn)“角頻率消失”，導(dǎo)致G{C}

推論2 設(shè)f1(x)為無(wú)限頻周期函數(shù)，f2(x)為有限頻周期函數(shù)，即使f1(x)+f2(x)時(shí)出現(xiàn)“角頻率消失”，由于該現(xiàn)象僅發(fā)生在有限的角頻率點(diǎn)，仍有G(A∪B)=G(C)，可以使用最小公倍數(shù)法。

為方便大家使用最小公倍數(shù)法適用定理，給出常見(jiàn)的無(wú)限頻周期函數(shù)和有限頻周期函數(shù)。

無(wú)限頻周期函數(shù)

有限頻周期函數(shù)

4 正余弦函數(shù)的周期

基于最小公倍數(shù)法適用定理，下面討論三種常用正余弦函數(shù)的周期。

(1)復(fù)合函數(shù)的周期

結(jié)論：當(dāng)f(x)為連續(xù)偶函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(sinωx)+f(cosωx)中存在“角頻率消失”。

(2)求f(x)=sinω1xsinω2x、sinω1xcosω2x或cosω1xcosω2x的周期，其中ω1>0和ω2>0。

由積化和差公式有

由最小公倍數(shù)法有下面的結(jié)論：

這種情況較為復(fù)雜，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里通過(guò)一個(gè)例題進(jìn)行說(shuō)明。

例1 求f(x)=sin43xcos5x的最小正周期。

解 存在常數(shù)ci(i=0,1,2)，使得sin43x=c0+c1cos6x+c2cos12x，于是

f(x)=c0cos5x+c1cos6xcos5x+c2cos12xcos5x

[1] 李世杰.周期函數(shù)和周期數(shù)列[M].浙江大學(xué)出版社，2008，7.

[2] 李和遜.用定積分給出函數(shù)周期的一種方法[J].重慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，1.

[3] 孫亦器.關(guān)于兩周期函數(shù)之和的最小正周期問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005，2.

[4] 韋存軍，封云.用最小公倍數(shù)法求周期函數(shù)的周期[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2006，1.

[5] 朱威軍.從兩道錯(cuò)題談周期函數(shù)[J].科技資訊，2011，17.

[6] 張嚴(yán)選.論任二周期函數(shù)和差積商的周期性[J].江蘇廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，2.

陳潔(1976-)，女，湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，博士，講師。 韓光松(1984-)，男，華中科技大學(xué)，博士。

G623.5

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1671-1602(2016)22-0229-02