創(chuàng)新設(shè)問方式，引導(dǎo)備考方向
——以南通通州兩道九年級(jí)期中考題為例

☉江蘇省南通市通州灣海晏中學(xué) 姜海平

創(chuàng)新設(shè)問方式，引導(dǎo)備考方向
——以南通通州兩道九年級(jí)期中考題為例

☉江蘇省南通市通州灣海晏中學(xué) 姜海平

我們知道，最近兩年來北京中考數(shù)學(xué)卷在最后幾道把關(guān)題上不斷創(chuàng)新，一改長期以來“八股化”的試題呈現(xiàn)形式，一方面，加大開放題考查的力度.另一方面，堅(jiān)持用新定義考題引導(dǎo)中考命題改革，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.這種更為“現(xiàn)實(shí)引領(lǐng)”（相比一些文件，甚或“課標(biāo)”），使得北京市各區(qū)、各校在平時(shí)的階段檢測、期中、期末試卷中都出現(xiàn)了大量優(yōu)秀的考題，所以北京各區(qū)的試卷也成為全國各地有命題興趣的研究者關(guān)注的重點(diǎn)，也悄然影響著不少地區(qū).巧合的是，我們發(fā)現(xiàn)不但北京有通州區(qū)，在江蘇南通也有一個(gè)通州區(qū)，最近我們注意到該地區(qū)九年級(jí)期中試卷竟然也與北京中考倡導(dǎo)的開放考查、新定義考查高度類似，本文選取該卷中的兩道考題，賞析試題并跟進(jìn)思考，提供研討.

一、兩道九年級(jí)考題的解法與賞析

考題1（2016年11月南通通州區(qū)九年級(jí)期中卷，第26題）如圖1，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，將邊AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）得線段AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線CP得對(duì)稱點(diǎn)Q，連接AQ，BQ.

（1）求∠AQB的度數(shù)；

圖1

圖2

思路簡述：（1）如圖2，連接CQ.由題意可知，CB=CQ= CA.則∠BQC=90°-∠BCQ，∠AQC=90°-∠ACQ.

（2）求解思路如下：

①過點(diǎn)A作AE⊥BQ，交BQ的延長線于點(diǎn)E，如圖2所示；

④由B，Q兩點(diǎn)關(guān)于直線CP對(duì)稱，AC=AP，可求∠PCQ=15°，∠ACP=75°；

⑤從而求出θ=30°.（或者寫成：從而求出θ的度數(shù)）

解后反思：第（1）問解出∠AQB是定值135°，則該問題應(yīng)該有一個(gè)深層結(jié)構(gòu)，這就是如圖3這樣的兩個(gè)圓，其實(shí)是分別以A、C為圓心的兩個(gè)等圓，點(diǎn)P在以A為圓心、AC為半徑的圓上，而點(diǎn)Q在以C為圓心、CA為半徑的圓上！理由容易理解，前者AP=AC；后者有CA=CB=CQ.這樣的話，就容易理解∠AQB為定值的原因了，當(dāng)點(diǎn)Q在劣弧AB上時(shí)，∠AQB一定是鈍角135°；而去除考題中的限制條件旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）后，則Q還可能在優(yōu)弧AB上，此時(shí)∠AQB就為45°！

圖3

第（2）問的關(guān)鍵在于對(duì)幾個(gè)特殊數(shù)據(jù)、角度的敏感上，及時(shí)構(gòu)造、利用特殊直角三角形，就可迅速確定轉(zhuǎn)化方向，發(fā)現(xiàn)△ACQ為等邊三角形是最關(guān)鍵的一步！

考題2（2016年11月南通通州區(qū)九年級(jí)期中卷，第28題）定義：如圖4，對(duì)于線段AB及線段AB外一點(diǎn)C，稱∠ACB為點(diǎn)C對(duì)線段AB的張角，記作∠（C，AB）.

圖4

圖5

如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)D（0，1），E（0，5），F(xiàn)是該坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）若∠（F，DE）=30°，則滿足條件的點(diǎn)F有_____個(gè)；

（2）若點(diǎn)F在x軸正半軸上，且∠（F，DE）=30°，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)F在x軸上移動(dòng)時(shí)，∠（F，DE）是否有最大值？若有，求點(diǎn)F的坐標(biāo)，并說明最大的理由；若沒有，請(qǐng)說明理由.

思路簡述：（1）解題的關(guān)鍵是想清楚新定義中的點(diǎn)F的軌跡，即點(diǎn)F應(yīng)該在一個(gè)圓上，該圓經(jīng)過D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，則弦DE所對(duì)的圓周角就是符合要求的，故點(diǎn)F有無數(shù)個(gè)；這里可構(gòu)造一個(gè)草圖示意，如圖6，先作等邊△DEP，則以P為圓心，PE為半徑的圓P上的一些點(diǎn)，比如優(yōu)弧DFE上（端點(diǎn)D，E除外）就是F的位置；當(dāng)然，根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)P還可以在第二象限.

圖6

圖7

（2）如圖6，由（1）知，點(diǎn)F在⊙P上，且圓心角∠DPE= 60°，再將思路轉(zhuǎn)化到圖7中，當(dāng)F點(diǎn)在x軸正半軸上時(shí)，一共有2個(gè)點(diǎn)，分別是F1、F2.過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為H和Q，在Rt△PDQ中，PD=DE=4，∠PDQ= 60°，則PD=2，PQ=.由輔助線作法可知四邊形PHOQ為矩形，則OH=PQ=，PH=OQ=3.在Rt△PHF1中，由勾股定理可知，，所以O(shè)F1=同理，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為，0）或

（3）當(dāng)過點(diǎn)D，E的⊙P與x軸相切于點(diǎn)F時(shí)，∠（F，DE）最大，如圖8，⊙P與x軸正半軸相切于點(diǎn)F，連接PD，PF，作PQ垂直于y軸，垂足為Q，則PF=OQ=3，即⊙P的半徑為3，得PQ=，所以F .

圖8

根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，關(guān)于y軸對(duì)稱還有一種情形，當(dāng)點(diǎn)F在x軸負(fù)半軸上時(shí)，可得.

∠（F，DE）最大的理由是：在x軸正半軸上任取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)F重合），連接MD，ME，ME交⊙P于點(diǎn)N，連接ND，則∠DFE=∠DNE.因?yàn)椤螪NE是△DMN的外角，所以∠DNE>∠DME，所以∠DFE>∠DME，即此時(shí)∠（F，DE）最大.

若切點(diǎn)F在x軸的負(fù)半軸上，同理可證得∠DFE>∠DME.

解后反思：第（1）問雖然簡單，只要填寫一個(gè)“無數(shù)”就能得分，但是想清楚這個(gè)“無數(shù)”個(gè)點(diǎn)F的軌跡，一段圓弧卻對(duì)于后續(xù)問題的求解起到奠基、全局作用.

第（2）問在上一問的基礎(chǔ)上，限制和強(qiáng)化了點(diǎn)F的位置，即既要在圓P上，又要出現(xiàn)在x軸正半軸上，這樣就是x正半軸與圓P的兩個(gè)交點(diǎn)了！

第（3）問比較抽象，需要想象出經(jīng)過點(diǎn)D，E的圓與x軸相切的情形，切點(diǎn)恰為滿足題意的F點(diǎn).

二、進(jìn)一步的思考

1.地區(qū)命題責(zé)任重大，引導(dǎo)教學(xué)和備考方向

作為一個(gè)地區(qū)的命題來說，往往幾千人的全樣本參與限時(shí)測試，其影響面之廣、之深是一節(jié)所謂的公開課、示范課或?qū)懸黄咐恼滤荒芗暗?，故承?dān)地區(qū)命題工作使命光榮，責(zé)任重大，既要科學(xué)準(zhǔn)確診斷、評(píng)估學(xué)生前一階段學(xué)習(xí)情況，又要對(duì)后一階段的教學(xué)和備考方向進(jìn)行有效引領(lǐng).比如上文中兩道考題，不僅考查了學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)、圓的相關(guān)知識(shí)的考查，而且導(dǎo)向著引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)幾何圖形中蘊(yùn)含的幾何結(jié)構(gòu)，促進(jìn)深入思考、洞察問題深層結(jié)構(gòu)的能力，當(dāng)然，這些都是需要教師本人首先要成為命題者的知音，自身先達(dá)到對(duì)考題的深刻理解，才能將這種反思和發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的能力傳遞給學(xué)生.

2.重視開放考題設(shè)計(jì)，創(chuàng)新考題設(shè)問的方式

考題1的第（2）問學(xué)習(xí)和借鑒了北京卷幾何把關(guān)題的考查方式，只要求學(xué)生展示思路，而不需要拘泥于具體的解題細(xì)節(jié)，這種開放式的解答要求鼓勵(lì)學(xué)生不同的思路，節(jié)約了書寫規(guī)范語句的時(shí)間，使得這一小問的考查目的得到強(qiáng)化，而不需要學(xué)生展示細(xì)枝末節(jié)，對(duì)于閱卷、評(píng)分也提出了較高的要求，閱卷老師需要仔細(xì)辨析學(xué)生的思路、解題路徑是否有效，能否貫通思路，相比其他試題直接比對(duì)標(biāo)準(zhǔn)解答的評(píng)分來說，難度增大很多.

三、結(jié)束語

坦率地說，限于筆者的搜集和能力所及，現(xiàn)如今很難在一份期中試卷中看出如此的精彩和用心，這樣的試題并不是簡單的拼湊行為，而是苦心經(jīng)營和立意引領(lǐng)，相信該地區(qū)的師生深入挖掘、深刻理解考題，一定能從中悟出下一階段的學(xué)習(xí)與備考方向，而不是把精力都放在一些不符合本地區(qū)命題風(fēng)格的繁雜習(xí)題上，甚至是一些不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的試題.也期待更多的承擔(dān)命題任務(wù)的老師能設(shè)計(jì)出更多這樣的“好的題目”.

1.劉東升.一次期中考試閱卷隨筆［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2016（1-2）.

2.夏盛亮.引導(dǎo)回歸教材，倡導(dǎo)開放取向——一次縣級(jí)期末卷的命題取向分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.

3.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.

4.付小飛.明辨并列與遞進(jìn)，引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

5.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.H