平面幾何起始教學(xué)的“四個(gè)重視”
——學(xué)習(xí)鐘善基先生平面幾何起始教學(xué)建議

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué) 戴 路

平面幾何起始教學(xué)的“四個(gè)重視”
——學(xué)習(xí)鐘善基先生平面幾何起始教學(xué)建議

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué) 戴 路

我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)教育學(xué)科的主要?jiǎng)?chuàng)立者和奠基人、北京師范大學(xué)教授鐘善基先生（1923～2006）多次參與《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》的起草和修改工作.鐘先生在《初中平面幾何課中“基本概念、相交線(xiàn)、平行線(xiàn)”的教學(xué)》一文（詳見(jiàn)《鐘善基數(shù)學(xué)教育文選》，人民教育出版社，詳見(jiàn)文1，以下簡(jiǎn)稱(chēng)“鐘文”）中，對(duì)平面幾何的教學(xué)提出了一些建議，盡管時(shí)光過(guò)去將近30年，至今卻還能對(duì)平面幾何教學(xué)有所啟發(fā).本文梳理筆者研習(xí)該文的一些心得體會(huì)，供分享.

一、“鐘文”內(nèi)容概述

“鐘文”主要分教材內(nèi)容概述、理論分析、教學(xué)目的簡(jiǎn)括、教法要點(diǎn)，其中在教法要點(diǎn)方面又分為上好導(dǎo)言課、概念的教學(xué)、公理的教學(xué)、定理的教學(xué)這四個(gè)方面詳細(xì)進(jìn)行論述.這里概述一下“鐘文”教法要點(diǎn)中四個(gè)建議.

1.上好導(dǎo)言課

“鐘文”首先指出，長(zhǎng)期以來(lái)，初中平面幾何的起始教學(xué)常常不易取得良好的效果，原因是學(xué)生不知道學(xué)習(xí)幾何有什么用，不理解幾何的研究對(duì)象是什么，從小學(xué)到初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的印象只是“算”，不知道數(shù)學(xué)的研究對(duì)象除了“數(shù)量關(guān)系”，還有“空間形式”，不理解反映“空間形式”的幾何研究對(duì)象，把幾何作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支來(lái)學(xué)習(xí)，學(xué)生在思想上一時(shí)難以接受.作為一門(mén)新分支學(xué)習(xí)的導(dǎo)言課，“鐘文”要求我們帶領(lǐng)學(xué)生明確幾何研究對(duì)象，根據(jù)定義、性質(zhì)、性質(zhì)背后的道理的順序來(lái)明確學(xué)習(xí)要求，并傳遞給學(xué)生一個(gè)印象：不但要明確某個(gè)名稱(chēng)指的是什么，而且要把它說(shuō)得更清楚，不但要說(shuō)清楚某個(gè)性質(zhì)是什么，還要說(shuō)清楚為什么會(huì)有這個(gè)性質(zhì)的道理.也即另一位著名數(shù)學(xué)教育家傅種孫所倡導(dǎo)的“知其然，知其所以然，何由以知其所以然，啟發(fā)學(xué)者，示以思維之道耳”.

2.小學(xué)已出現(xiàn)過(guò)的概念如何教學(xué)

這里所指的概念是指在小學(xué)階段已出現(xiàn)過(guò)的數(shù)學(xué)概念或“名稱(chēng)”，學(xué)生在新學(xué)這些概念時(shí)容易出現(xiàn)“早已知道了”，從而不會(huì)集中精力，結(jié)果往往是“空轉(zhuǎn)一課”，仍然不明確相關(guān)概念的內(nèi)涵和新本質(zhì).鐘先生認(rèn)為應(yīng)該以復(fù)習(xí)的姿態(tài)出現(xiàn)，讓學(xué)生集中注意力認(rèn)真回憶和試答.在例舉平行線(xiàn)的教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生先回憶它的概念，當(dāng)學(xué)生不加限制條件“在同一平面內(nèi)時(shí)”，教師用代表兩條直線(xiàn)的小棍擺出異面直線(xiàn)的形象，給出反例讓學(xué)生辨析后在定義中添補(bǔ)出條件“在同一平面內(nèi)……”.再比如講解垂線(xiàn)時(shí)，鐘先生建議從復(fù)習(xí)的姿態(tài)出發(fā)，讓學(xué)生先辨析一組垂線(xiàn)的圖形，學(xué)生如果只肯定“標(biāo)準(zhǔn)圖式”（圖①、④），而不能辨別出“非標(biāo)準(zhǔn)圖式”（圖③⑥⑦），則安排學(xué)生度量檢驗(yàn)出90°角，從而深刻理解數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)思想.

3.重視公理教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清、記牢公理

關(guān)于公理教學(xué)，鐘先生提醒要防止學(xué)生在思想上產(chǎn)生“這是理所當(dāng)然、盡人皆知的，何必如此小題大做”的觀(guān)念，缺少應(yīng)有的重視.并以“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”公理教學(xué)為例，讓學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)（可畫(huà)無(wú)數(shù)條），再到經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)（只能畫(huà)一條），還要分析經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)能否一定畫(huà)出一條直線(xiàn)（未必有）的比較，這樣讓學(xué)生感受到唯獨(dú)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)，有而且唯一.這是點(diǎn)和直線(xiàn)在位置關(guān)系上的一個(gè)特性，讓學(xué)生認(rèn)清、記牢.

4.定理教學(xué)重在定理推證，在簡(jiǎn)化中取舍

定理是由公理推證出來(lái)的，而推證定理往往涉及文字命題的證明，這里鐘先生特別強(qiáng)調(diào)，教師必須按照邏輯順序在黑板上較詳細(xì)地寫(xiě)出已知、求證、證明，并以對(duì)頂角相等為例，示范板書(shū).特別是，鐘先生解說(shuō)了“復(fù)合三段論法”（推證過(guò)程中不止用一次三段論時(shí)，就把這種推證方法叫作復(fù)合三段論法），而在數(shù)學(xué)中，推證命題時(shí)并不把“大前提”“小前提”“結(jié)論”完全寫(xiě)出來(lái)，實(shí)際上反映的是簡(jiǎn)化了的復(fù)合三段論法.如何簡(jiǎn)化？為了促進(jìn)學(xué)生理解得更形象、深刻，就需要把簡(jiǎn)化中的取舍顯示出來(lái)，為此鐘先生詳細(xì)給出證明“對(duì)頂角相等”的主要過(guò)程.對(duì)于我們指導(dǎo)學(xué)生初學(xué)幾何推證、幾何語(yǔ)言的簡(jiǎn)練有較大的幫助.

二、關(guān)于平面幾何教學(xué)的一些思考

1.重視起始階段的幾何概念教學(xué)

根據(jù)鐘善基先生的建議，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，我們認(rèn)為，幾何起始階段需要重視幾何概念的教學(xué).比如線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)的概念，需要跟小學(xué)對(duì)比著學(xué).初學(xué)幾何，不僅知道怎樣的圖形是線(xiàn)段、射線(xiàn)和直線(xiàn)，而且需要知道它們的不同表示方法，它們能否度量，如何用幾何語(yǔ)句描述這些概念，因?yàn)檫@些概念能否讓學(xué)生深刻理解，直接影響他們后續(xù)學(xué)習(xí)三角形的邊、三角形中重要線(xiàn)段（角平分線(xiàn)、高線(xiàn)、中線(xiàn)）、圓中弦（包括直徑）.再如角的學(xué)習(xí)，角的不同表示方法，角的度量，大小比較等都是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，特別是兩個(gè)角之間的互余、互補(bǔ)關(guān)系是教學(xué)重點(diǎn)也是教學(xué)難點(diǎn)，這涉及兩角的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系之間的辨識(shí)和理解，是有初中幾何特征的對(duì)應(yīng)關(guān)系，后續(xù)垂線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，仍然是數(shù)量關(guān)系與圖形位置關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)和溝通.

2.重視標(biāo)準(zhǔn)圖形與非標(biāo)準(zhǔn)圖形的變式教學(xué)

如圖1，鐘先生提出的讓學(xué)生辨識(shí)哪些是垂直線(xiàn)的圖形，其實(shí)就是引導(dǎo)學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)圖形走向非標(biāo)準(zhǔn)圖形，并在此過(guò)程中感悟、內(nèi)化垂線(xiàn)概念.這種變式教學(xué)的追求對(duì)學(xué)生掌握和理解垂線(xiàn)定義有幫助，特別是在這一學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以讓學(xué)生逐漸理解初中幾何概念或定理的本質(zhì)，而不只是停留在形式、表面上，需要他們走向深層次的結(jié)論認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)辨識(shí)，感悟共性.事實(shí)上，代數(shù)教學(xué)中也有很多概念的學(xué)習(xí)需要類(lèi)似的從標(biāo)準(zhǔn)走向非標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)方式，比如“同類(lèi)項(xiàng)”教學(xué)，需要在大量的同類(lèi)項(xiàng)式子的辨識(shí)中讓學(xué)生感悟出同類(lèi)項(xiàng)的“兩同”（所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同）.

圖1

3.重視讓學(xué)生辨別命題的題設(shè)與結(jié)論

“鐘文”特別指出，在定理教學(xué)時(shí)會(huì)涉及定理的證明，這時(shí)不能直接給出已知、求證，并幫助學(xué)生畫(huà)好圖形，直接安排證明，這種“去頭、掐尾、燒中段”的定理證明是值得警惕的.而應(yīng)該在發(fā)現(xiàn)、歸納出來(lái)文字命題、猜想之后，引導(dǎo)學(xué)生辨識(shí)清楚這個(gè)猜想或該命題的題設(shè)是什么，結(jié)論是什么，即辨別已知、認(rèn)準(zhǔn)求證.想起不少教師執(zhí)教等腰三角形性質(zhì)一課時(shí)，常常是引導(dǎo)學(xué)生操作、折紙后得出等腰三角形“等邊對(duì)等角”，然后教師直接給出圖形、已知、求證，證明方法的多樣性由學(xué)生生動(dòng)活潑地展示出來(lái)，課堂氛圍也十分活躍，然而我們注意到著名特級(jí)教師李庾南老師對(duì)此曾有過(guò)的批評(píng)，她認(rèn)為等腰三角形的性質(zhì)如等邊對(duì)等角的證明，就這一節(jié)課來(lái)看，最重要的不是定理的證明，而是引導(dǎo)學(xué)生辨識(shí)該定理的條件與結(jié)論，并能準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證.想來(lái)，這是非常有見(jiàn)地的實(shí)踐觀(guān)點(diǎn)，值得我們傾聽(tīng)和踐行.

4.重視幾何語(yǔ)言的規(guī)范書(shū)寫(xiě)

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，初學(xué)幾何有相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間（至少一個(gè)月內(nèi)），學(xué)生對(duì)幾何語(yǔ)句的結(jié)構(gòu)、書(shū)寫(xiě)是需要認(rèn)真訓(xùn)練、糾正的.這也與小學(xué)階段圖形問(wèn)題解題時(shí)只注重列算式進(jìn)行運(yùn)算的訓(xùn)練有關(guān)，難以一下子遷移到一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支中來(lái)，特別是推理語(yǔ)句的組織與結(jié)構(gòu)，還需要教師的反復(fù)示范、糾正錯(cuò)誤.這里還可提及傅種孫先生關(guān)于平面幾何教學(xué)的八字建議“指示正確，糾正錯(cuò)誤”，幾何起始階段的教學(xué)恰恰應(yīng)該在這些方面下大功夫.甚至對(duì)于教材上特別簡(jiǎn)潔的證明語(yǔ)句，需要像“鐘文”中提出的把復(fù)合三段論式的內(nèi)容全部顯示出來(lái)，把簡(jiǎn)化前的取舍都顯示出來(lái)，以促進(jìn)學(xué)生更好地理解幾何語(yǔ)言.

三、結(jié)束語(yǔ)

平面幾何起始階段的教學(xué)關(guān)乎一個(gè)全新數(shù)學(xué)分支如何能吸引更多學(xué)生更快地“入門(mén)”、發(fā)展.很多前輩數(shù)學(xué)教育家、專(zhuān)家教師留下了豐富的理論認(rèn)識(shí)、實(shí)踐或反思的經(jīng)驗(yàn)，值得我們認(rèn)真傾聽(tīng)、理解并努力踐行.本文只是筆者研習(xí)鐘善基先生文選的一些體會(huì)，一些個(gè)性化的解讀不一定準(zhǔn)確，甚至有錯(cuò)漏，還望大家批評(píng)、賜教！

1.鐘善基.鐘善基數(shù)學(xué)教育文選［M］.北京：人民教育出版社，2005.

2.章建躍.創(chuàng)新推動(dòng)改革，全面提高教育質(zhì)量——暨“第九屆初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)”總結(jié)［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中），2016（4）.

3.王光明，廖晶.“探索世界”范式及其對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示——ICME12獲獎(jiǎng)報(bào)告述評(píng)［J］.課程·教材·教法，2013，33（12）.

4.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.Z