☉浙江省寧波市鄞州區(qū)姜山鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué) 王 沖
“問題”喚醒“沉睡”的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂
——對(duì)問題驅(qū)動(dòng)下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的感悟
☉浙江省寧波市鄞州區(qū)姜山鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué) 王 沖
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性,引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程.認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等,都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.因此,讓學(xué)生主動(dòng)、輕松、愉快地學(xué)習(xí),已經(jīng)成為當(dāng)下課堂教學(xué)改革的主題.
在日常的教學(xué)過程中,筆者曾發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象:在上新授課的時(shí)候,學(xué)生面對(duì)新知識(shí)的探索欲望強(qiáng)烈,能積極主動(dòng)地參與到課堂活動(dòng)中來;但是,上復(fù)習(xí)課的時(shí)候,學(xué)生面對(duì)舊知識(shí)的探索欲望顯得有些低落,不能積極主動(dòng)地參與到復(fù)習(xí)課堂活動(dòng)中來,復(fù)習(xí)效率低下.同時(shí),學(xué)生覺得數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課很枯燥、乏味.所以,筆者覺得有必要落實(shí)學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的主體地位,激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中主動(dòng)、輕松、愉快地學(xué)習(xí).
著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過:“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”而數(shù)學(xué)課堂正是在提出問題和解決問題的循環(huán)反復(fù)過程中培養(yǎng)、發(fā)展和提高學(xué)生的思維品質(zhì)與學(xué)習(xí)能力的.同時(shí),學(xué)生探究知識(shí)的欲望一般都是從問題開始的.所以問題應(yīng)該是數(shù)學(xué)課堂的中心.因此,筆者認(rèn)為,我們可以根據(jù)教學(xué)任務(wù)和學(xué)生學(xué)習(xí)的需要,將復(fù)習(xí)內(nèi)容問題化,讓學(xué)生自主、合作、探究學(xué)習(xí),落實(shí)學(xué)生在復(fù)習(xí)課堂中的主體地位,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時(shí),以“問題解決”獲得知識(shí)與技能,提高學(xué)習(xí)能力和思維能力,促進(jìn)情感、態(tài)度與價(jià)值觀發(fā)展.
筆者結(jié)合自己曾經(jīng)面向初二學(xué)生執(zhí)教過的“直角三角形中求線段長(zhǎng)度的方法”的教學(xué)片斷,談?wù)勛约簩?duì)問題驅(qū)動(dòng)下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的感悟.
問題1:如圖1,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB= 10,CD是斜邊AB上的中線,則CD=______.
生1:CD=5.
師:你是怎樣求得的?你的依據(jù)是什么?
生1:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.
(板書:①利用性質(zhì)定理)
圖1
圖2
問題2:如圖2,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB= 10,∠B=30°,CD是斜邊AB上的中線,你能求哪些線段的長(zhǎng)度?
師:如果我再添一個(gè)條件,∠B=30°,你能求圖2中哪些線段的長(zhǎng)度?
生2:利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以求得CD=5.
師:請(qǐng)你談?wù)勄蠼獾倪^程并敘述其依據(jù).
生3:因?yàn)椤螦CB=90°,∠B=30°,所以根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,可以求得AC=AB=5.
(板書:②利用特殊角)
生3:因?yàn)椤螦CB=90°,AC=5,AB=10,所以根據(jù)勾股定理可以求得.
(板書:③利用勾股定理)
生3:因?yàn)镃D是斜邊AB上的中線,所以根據(jù)三角形中線的意義可以求得AD=BD=AB.另外,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可以得到CD=5.
師:就是剛才生1總結(jié)的利用性質(zhì)定理求直角三角形中的線段.
師:良好的開始是成功的一半,同學(xué)們已經(jīng)總結(jié)了三種在直角三角形中求線段長(zhǎng)度的方法,請(qǐng)大家思考一下,這三種方法在下題中是否適用?
問題3:如圖3,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB= 10,AC=6,CD是斜邊AB上的高線,則BC=______,CD= ______.
生4:可以根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)等于8.
師:那么CD呢?
生4:可以利用面積法.
師:有點(diǎn)兒意思了,可以更具體些.
圖3
生4:因?yàn)椤螦CB=90°,AC=6,BC=8,所以S△ABC=AC· BC=24.又CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高線,所以S△ABC=AB·CD=5CD=24,因此CD=.
(板書:④利用面積法)
生5:我認(rèn)為可以利用勾股定理求CD的長(zhǎng),因?yàn)镃D是Rt△ACD與Rt△BCD的公共邊,那么CD的計(jì)算方法有兩種.第一種:CD2=AC2-AD2,第二種:CD2=BC2-BD2.如果設(shè)AD=x,則BD=10-x,所以可以得到方程36-x2=64-(10-x)2,解得x=,然后代入CD2=AC2-AD2,可以求得CD=
師:感謝你的發(fā)言,給同學(xué)們開啟了另一扇思維的天窗.
師:當(dāng)兩個(gè)直角三角形有一條公共直角邊的時(shí)候,我們可以利用勾股定理,構(gòu)建方程模型求直角三角形中線段的長(zhǎng)度.
感悟:回顧自己剛參加工作的時(shí)候,上復(fù)習(xí)課習(xí)慣于先梳理、歸納知識(shí)點(diǎn),然后講解一兩道典型例題,接著讓學(xué)生進(jìn)行課堂練習(xí),檢測(cè)學(xué)生的掌握情況.現(xiàn)在想想,這種形式的復(fù)習(xí)課,學(xué)生被動(dòng)地接受復(fù)習(xí)內(nèi)容,沒有經(jīng)歷思考、探索等體驗(yàn)活動(dòng),導(dǎo)致學(xué)生不能積極主動(dòng)地參與到課堂活動(dòng)中來,復(fù)習(xí)效率低下.同時(shí),學(xué)生也覺得數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課很枯燥、乏味.所以,在本次“直角三角形中求線段長(zhǎng)度的方法”的專題復(fù)習(xí)課中,筆者摒棄了傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課的基本思路.
課堂伊始,筆者就拋出了一道已知直角三角形斜邊長(zhǎng),求斜邊上中線長(zhǎng)的題目.筆者再提出“遞進(jìn)式問題”———你是怎樣求得的?你的依據(jù)是什么?引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)歸納出直角三角形中求線段長(zhǎng)度的方法之一:利用性質(zhì)定理.問題2是問題1的延伸,在問題1的基礎(chǔ)上添加了一個(gè)特殊角的條件.此時(shí),筆者提出一個(gè)“開放性的問題”———你能求哪些線段的長(zhǎng)度?不再局限于學(xué)生求某條線段的長(zhǎng)度,旨在讓學(xué)生從多角度去探究直角三角形中求線段長(zhǎng)度的方法.問題3是問題2的拓展,在解決問題2的過程中,學(xué)生已經(jīng)主動(dòng)探究出了直角三角形中求線段長(zhǎng)度的的另外兩種方法:利用特殊角;利用勾股定理.所以,學(xué)生很輕松地求得了BC的長(zhǎng).這時(shí),筆者就提出了一個(gè)“引導(dǎo)性問題”———那么CD呢?引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地去探究求CD的方法.這樣就出現(xiàn)了直角三角形中求線段長(zhǎng)度的第四種方法:利用面積法.同時(shí),生5利用勾股定理,構(gòu)建方程模型求直角三角形中線段的長(zhǎng)度的方法,讓學(xué)生在親身經(jīng)歷解決問題的過程中,不僅領(lǐng)略了數(shù)形結(jié)合思想和方程思想的魅力,而且很好地處理了知識(shí)與方法應(yīng)用之間的關(guān)系,提高了復(fù)習(xí)課的效率.
通過三個(gè)“循序漸進(jìn)式的問題”,讓學(xué)生去求解直角三角形中的線段長(zhǎng)度,并敘述求解過程及依據(jù),使學(xué)生輕松、自主地復(fù)習(xí)了與求直角三角形中線段長(zhǎng)度有關(guān)的知識(shí)與方法,通過讓學(xué)生自主、探究學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時(shí),學(xué)生通過親身經(jīng)歷求直角三角形中線段長(zhǎng)度的過程,主動(dòng)構(gòu)建了直角三角形中求線段長(zhǎng)度的方法的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).
師:我們從邊、角入手梳理了直角三角中求線段長(zhǎng)度的方法,同時(shí)對(duì)解決直角三角中求線段長(zhǎng)度的方法也有了進(jìn)一步的體驗(yàn).下面讓我們繼續(xù)探究.
問題4:如圖4,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,且AD是△ABC的內(nèi)角∠CAB的平分線,求BD的長(zhǎng).
圖4
圖5
師:大家好像遇到了困難,剛才我們歸納了在直角三角形中求線段長(zhǎng)度的四種方法,而現(xiàn)在BD不在直角三角形中,我們?cè)撛趺崔k?
生齊答:可以構(gòu)造直角三角形.
師:如何構(gòu)造?
生齊答:過D作DE⊥AB于E.
師:當(dāng)所求的線段不在直角三角形中時(shí),我們可以通過作垂線將一般三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形,我們把這種數(shù)學(xué)思想稱為轉(zhuǎn)化思想.
師:同學(xué)們,觀察圖形,你們發(fā)現(xiàn)了哪些結(jié)論?
生6:因?yàn)锳D是△ABC的內(nèi)角∠CAB的平分線,∠ACB=90°,DE⊥AB,所以根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到CD=DE.
生7:根據(jù)剛才生6的結(jié)論CD=DE,再結(jié)合∠ACB= 90°,DE⊥AB,AD=AD,就可以證明△ACD≌△AED,所以AE=AC=6.
師:非常棒,現(xiàn)在以小組為單位討論解決這道題的不同方法.
師:A組把你們集體討論的成果跟大家分享一下.
A組:第一種方法:先根據(jù)勾股定理求得BC=8.設(shè)BD= x,則CD=8-x.結(jié)合剛才生6和生7發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,可以得到DE=CD=8-x,BE=AB-AE=AB-AC=4.所以在Rt△BDE中,根據(jù)勾股定理,列出方程x2=(8-x)2+42,解得x=5,即BD=5.
第二種方法:因?yàn)椤螦CB=90°,所以S△ABC=AC· BC=24.由DE⊥AB,得S△ABC=S△ACD+S△ABD.設(shè)BD=x,則DE= CD=8-x.可以得到關(guān)于x的一元一次方程×6(8-x)+× 10(8-x)=24,解得x=5,即BD=5.
第三種方法:因?yàn)椤螦CB=90°,所以S△ABD=AC· BD.由DE⊥AB,得S△ABD=AB·DE.設(shè)BD=x,則DE=CD= 8-x.可以得到關(guān)于x的一元一次方程×6x=×10(8-x),解得x=5,即BD=5.
師:集體的力量真是大,想出了那么多方法.我也跟大家分享一下我的想法.剛才大家發(fā)現(xiàn)△ACD≌△AED,也就是說如果將△ACD沿AD所在的直線對(duì)折,△ACD與△AED將互相重合.所以,我們可以把它歸類于折疊問題.當(dāng)在直角三角形中碰到折疊問題時(shí),我們就可以利用面積法或利用勾股定理構(gòu)建方程模型求線段的長(zhǎng)度,請(qǐng)看直角三角形中的折疊問題.
問題5:如圖6,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,沿DE所在的直線折疊,使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,折痕DE交BC于D,交AB于E,求BD的長(zhǎng).
師:分析條件,大家能得到哪些結(jié)論?
圖6
師:你的思維真敏捷,一下子發(fā)現(xiàn)了這么多結(jié)論,結(jié)合生8發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,哪位同學(xué)可以幫忙解答?
生9:根據(jù)生8發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,設(shè)BD=x,則AD=BD=x, CD=8-x.因?yàn)椤螦CB=90°,所以62+(8-x)2=x2,解得,即BD=.
師:你表達(dá)得特別清楚,讓大家一聽就懂.當(dāng)某條線段所在的直角三角形無法求解時(shí),我們不妨通過數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到另一個(gè)直角三角形中,求與之相關(guān)的線段的長(zhǎng)度.
感悟:?jiǎn)栴}4的設(shè)置建立在前三個(gè)問題的基礎(chǔ)之上,此時(shí)學(xué)生已經(jīng)基本掌握了直角三角形中求線段長(zhǎng)度的四種方法.所以,筆者提出思考力度較大的問題,有部分學(xué)生一時(shí)之間難以想到解題思路.這時(shí),筆者就提出了一個(gè)“引導(dǎo)性問題”———大家好像遇到了困難,剛才我們歸納了在直角三角形中求線段長(zhǎng)度的四種方法,而現(xiàn)在BD不在直角三角形中,我們?cè)撛趺崔k?讓學(xué)生自主去探究發(fā)現(xiàn)可以過D作DE⊥AB于E,構(gòu)建直角三角形.然后,筆者又提出了一個(gè)“引導(dǎo)性問題”———觀察圖形,你們發(fā)現(xiàn)了哪些結(jié)論?通過這兩個(gè)問題,學(xué)生拾級(jí)而上,主動(dòng)探究發(fā)現(xiàn)CD=DE,△ACD≌△AED,為問題的解決奠定基礎(chǔ).
“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”在7~9年級(jí)的學(xué)段目標(biāo)中提出:讓學(xué)生經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程,體驗(yàn)解決問題方法的多樣性,掌握分析問題和解決問題的一些基本方法;在與他人合作和交流的過程中,能較好地理解他人的思考方法和結(jié)論.所以,筆者讓學(xué)生通過小組合作的形式探討問題4的多種解法,培養(yǎng)學(xué)生從多角度思考問題的習(xí)慣,同時(shí)也讓部分學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)自己在求直角三角形中線段長(zhǎng)度時(shí)方法方面的缺漏,親身經(jīng)歷解決問題的過程,掌握解決問題的方法,主動(dòng)彌補(bǔ)缺漏的知識(shí),形成對(duì)知識(shí)的深層次理解.最后,筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題4可以類比于折疊問題,為探究問題5埋下伏筆,培養(yǎng)和提升學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力.
以“問題”代替直接復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn),充分激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂中的探究欲望,落實(shí)學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂中的主體地位.學(xué)生通過親身經(jīng)歷求直角三角形中線段長(zhǎng)度的過程,主動(dòng)構(gòu)建直角三角形中求線段長(zhǎng)度的方法的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).同時(shí),“問題”助推了師生互動(dòng)與生生互動(dòng),學(xué)生不再是“靜止”狀態(tài),而是積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中來.所以,筆者認(rèn)為,教師在上復(fù)習(xí)課的時(shí)候,應(yīng)該以“問題”代替直接復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn),引發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中來,通過問題讓學(xué)生自主歸納,總結(jié)知識(shí)點(diǎn)和方法,使學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中主動(dòng)、輕松、愉快地學(xué)習(xí).
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