鋪平墊穩(wěn)拾級而上，引導(dǎo)回顧反思提升
——中考綜合題教學(xué)的一些思考

☉江蘇省江陰市石莊中學(xué) 姚衛(wèi)金

鋪平墊穩(wěn)拾級而上，引導(dǎo)回顧反思提升
——中考綜合題教學(xué)的一些思考

☉江蘇省江陰市石莊中學(xué) 姚衛(wèi)金

在當(dāng)前的中考復(fù)習(xí)背景下，初三第二學(xué)期在中考備考期間，學(xué)生會接觸大量綜合題，這里所指的綜合題是指綜合了多個(gè)知識點(diǎn)且難度較大的試題，題型有選擇、填空、解答，以解答為主.這類試題在講評時(shí)如果簡單的告知答案或思路，往往難以取得較好的教學(xué)效果，我們在中考綜合題教學(xué)中積累了一些教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，比如，增設(shè)鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生拾級而上，解后安排學(xué)生回顧反思，積累問題的深層結(jié)構(gòu)或本質(zhì)特點(diǎn).本文以近期收集的一些典型綜合題，呈現(xiàn)講評記錄，并跟進(jìn)思考，提供研討.

一、綜合題解題教學(xué)案例

考題1（上海寶山區(qū)初三一?？碱}）已知：如圖1，兩塊全等的斜邊為10cm，含30°角的直角△ABC和直角△ACD按如圖放置，在將△ACD以1cm/s的速度沿AC的方向勻速平移至△PNM位置的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB方向也以1cm/s的速度勻速移動，如圖2，當(dāng)P與C重合時(shí)，點(diǎn)Q停止移動，設(shè)AP=x，連接PQ、MQ、MC.

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥MN？

（2）設(shè)△QMC和四邊形ABQP的面積比為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）求使△PQM為直角三角形時(shí)AP的值.（若不可能，請說明理由）

圖1

圖2

解題教學(xué)記錄：我們主要預(yù)設(shè)了如下一些問題，幫助學(xué)生設(shè)計(jì)了鋪墊，使得學(xué)生在這些鋪墊問題的基礎(chǔ)下，自主發(fā)現(xiàn)問題解答.

比如第（1）問的講評時(shí)設(shè)計(jì)如下一些問題：

問題1：在平移過程中，分析MN與AB的位置關(guān)系，并說明理由.（預(yù)設(shè)：因?yàn)椤螧AC=∠MNP=90°，所以AB∥MN）

問題2：當(dāng)PQ∥MN時(shí)，PQ與邊AB有怎樣的位置關(guān)系？

問題3：當(dāng)PQ∥MN時(shí)，PQ與邊AC有怎樣的位置關(guān)系？

問題4：用含x的式子表示PC的長.

設(shè)計(jì)意圖：在上述鋪墊問題啟發(fā)之生，學(xué)生可將目光聚焦在直角△PCQ中利用銳角三角函數(shù)來列出方程獲得解答.

第（2）問的講評時(shí)預(yù)設(shè)如下的一些問題：

問題5：在平移過程中，PM與BC邊有怎樣的位置關(guān)系？

問題6：有人認(rèn)為，在平移過程中，恒有△PQC與△MQC的面積相等.你覺得道理何在？

問題7：如圖3，作PG⊥BC于G點(diǎn)，試用含x的式子表示PG.

問題8：用含x的式子表示△PQC和△MQC的面積.

圖3

問題9：用含x的式子表示四邊形ABQP的面積.

設(shè)計(jì)意圖：在上述鋪墊問題啟發(fā)之生，學(xué)生可將△QMC和四邊形ABQP的面積比為y用含x的式子表示出來.

第（3）問的講評時(shí)預(yù)設(shè)如下的一些問題：

問題10：在運(yùn)動過程中，∠MPQ為直角時(shí)，求x的值.

問題12：求使△PQM為直角三角形時(shí)AP的值.

設(shè)計(jì)意圖：通過前兩問的分別求解，暗示了原考題第（3）問的解答.

解后反思：

問題13：解決本題時(shí)你發(fā)現(xiàn)哪一類特殊直角三角形是很關(guān)鍵的？為什么？

問題14：解決本題過程中，你還能積累哪些基本圖形或性質(zhì)？

問題15：第（3）問為什么只要考慮兩處直角的可能？你是根據(jù)什么直接舍去一種情形的？

考題2（江蘇海門中學(xué)自主招生考題）已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線與直線y=-x+k都經(jīng)過點(diǎn)M，且OM=2，求k的值.

解題思路：這道題看上去非常簡潔，然而需要解讀的信息量很大，且十分隱蔽，需要調(diào)取不同知識領(lǐng)域的數(shù)學(xué)工具綜合求解.比如條件“OM=2”本質(zhì)上是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓一個(gè)動點(diǎn)M；而雙曲線與直線的一個(gè)交點(diǎn)又恰為M點(diǎn)，也即點(diǎn)M應(yīng)該是三個(gè)圖形的交點(diǎn).于是可以聯(lián)立雙曲線與直線方程得到關(guān)于k的一元二次方程，再把點(diǎn)M的條件利用起來（設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則m2+n2=4），組合方程組實(shí)現(xiàn)求解.

一是防汛抗旱取得積極成效。2013年，河南省因持續(xù)高溫少雨，發(fā)生了較為嚴(yán)重的春旱、伏旱和秋旱。全省累計(jì)投入抗旱資金22.2億元，累計(jì)抗旱澆地13 349萬畝次，解決21.94萬人臨時(shí)性飲水困難，挽回經(jīng)濟(jì)作物損失22.53億元、糧食作物損失88.58億元。完成了56個(gè)平原縣計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、視頻會商系統(tǒng)和264個(gè)山丘鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）視頻會商系統(tǒng)建設(shè)，完善了防汛抗旱指揮體系。

教學(xué)預(yù)設(shè)：

問題2：在坐標(biāo)系中，OM=2，則點(diǎn)M在哪種圖形上？

問題3：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則m，n之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（m2+n2=4）

問題5：設(shè)點(diǎn)M（m，n）為“問題4”中關(guān)于k的一元二次方程的兩根，則可得關(guān)于m，n的哪兩個(gè)等式？能否聯(lián)立并解出m，n？解出的m，n是否都符合題意？

最后，在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，給出本題完整解答如下：聯(lián)立得，化簡并整理得，因?yàn)镺M=2，所以O(shè)M2=4，所以x2+（-x+，設(shè)點(diǎn)k）2=4，整理得2（x2-kx）+3k2-4=0，由（*）得x2-kx=-2k，則2（-2k）+3k2-4=0，解得k1=2，k2= -.經(jīng)驗(yàn)證：當(dāng)k=-時(shí)，Δ＞0，當(dāng)k=2時(shí)，Δ＜0，所以k的值為-.

圖4

反思時(shí)給出本題的圖像結(jié)構(gòu)，如圖4所示.

二、關(guān)于綜合題講評的進(jìn)一步思考

1.深刻理解綜合題思路，充分展開解法步驟，想清思路的自然生成

理解教學(xué)內(nèi)容，即弄清教什么永遠(yuǎn)是教學(xué)的經(jīng)典問題.只有在弄清教什么之后，才能進(jìn)一步思考怎么教的話題.當(dāng)我們還沒有弄清一道試題解題思路怎樣貫通，有哪些不同的貫通路徑，不同的思路對應(yīng)著哪些數(shù)學(xué)概念或解題念頭，對比不同的思路，發(fā)現(xiàn)哪些思路更能體現(xiàn)“回到概念去解題”的自然、簡潔的特點(diǎn).這些是作為教師解題的一些思考方向，而不只是滿足于貫通思路，獲取答案的“低級階段”.

2.預(yù)設(shè)鋪墊式問題，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動已有數(shù)學(xué)概念或解題經(jīng)驗(yàn)

在教師對綜合題達(dá)到了深刻理解之后，就需要思考“怎樣教”，即怎樣把“冷冰”的解題思路以啟發(fā)學(xué)生“火熱思考”中自主發(fā)現(xiàn)難題的突破思路，讓學(xué)生不但學(xué)會解題，更重要的獲得自主發(fā)現(xiàn)思路的愉悅感.而這些鋪墊式問題需要從簡單的閱讀理解條件信息出發(fā)，以簡單的思考開始，漸次生長，并引導(dǎo)學(xué)生合并來自不同條件信息的進(jìn)展，獲得思路貫通.當(dāng)問題在強(qiáng)化條件不斷添加后，還要引導(dǎo)學(xué)生兼顧前后不同的問題，使得思路的連通變得自然而合理.

3.重視解后回顧與反思，提示問題深層結(jié)構(gòu)或直觀形式

較難題講評之后如果缺少必要的回顧反思環(huán)節(jié)，往往是“入寶山而空返”（羅增儒語）.在學(xué)生下次再遇類似問題常常又是懂而不會，或者會而不對.所以在這類難題講解之后需要跟進(jìn)必要的回顧與反思，使得學(xué)生對該題的深層結(jié)構(gòu)、本質(zhì)特點(diǎn)有更深的認(rèn)識，如果能與學(xué)生已有解題經(jīng)驗(yàn)“聯(lián)通”，并入到此前積累的一些解題模型或經(jīng)驗(yàn)中，則可以達(dá)到對一類問題的深刻理解，從而追求“做一題，會一類，通一片”的解題效果.

4.跟進(jìn)變式再練，反饋綜合題講評效果

近兩年，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）發(fā)表了很多解題教學(xué)的文章，其中不少文章都倡導(dǎo)開展聽課檢測的教學(xué)環(huán)節(jié)，筆者也深受教益，并在教學(xué)工作中積極開展變式再練活動，取得較好的效果.作為文末，我們也對上文中“考題1”給出一道變式再練題，提供研討.

變式再練：（上海寶山區(qū)初三一模考題，改編）題干不變，這里略，見上文.

（1）求證：PM∥BC.

（2）用含x的式子表示△PQC的面積.

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形ABQP的面積取得最大值？

（4）當(dāng)x為何值時(shí)，△PQC與△PMN相似？

（5）△PQM可能為直角三角形嗎？如果可能求出x的值，如果不能，說明理由.

1.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3.孟慧.幾何綜合題研究：從思路貫通到教學(xué)微設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

4.楊衛(wèi)東.客從何處來：一道幾何把關(guān)題的命制歷程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.

5.孫莉.思路生成貴在自然，一題一課追求簡約——一道考題的思路突破與習(xí)題課設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

6.吳忠妙.一道考題的思路、難點(diǎn)與教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.H