建構(gòu)數(shù)學概念引入的一般過程：聯(lián)結(jié)、理解、內(nèi)化、提升
——基于初中函數(shù)引入比較與反思的視角

☉西北師范大學教育學院 李 凱

建構(gòu)數(shù)學概念引入的一般過程：聯(lián)結(jié)、理解、內(nèi)化、提升
——基于初中函數(shù)引入比較與反思的視角

☉西北師范大學教育學院 李 凱

通過對兩版本教材從文本實例、語言表述和引入方式三個維度進行比較分析得出：人教版教材引入實例豐富，且貼近實際生活，人教版教材語言表述篇幅大且多以陳述句，主張講授式；北師大版篇幅小多以問句，倡導探究式.人教版教材引入思路清晰，注重內(nèi)化過程；北師大版教材引入體系完整，注重提升過程.反思：函數(shù)概念所引入的實例應貼近學生生活；函數(shù)概念的學習應倡導啟發(fā)式；函數(shù)概念引入應嘗試從聯(lián)結(jié)、理解、內(nèi)化和提升四個環(huán)節(jié)進行建構(gòu).

函數(shù)概念；比較；反思；概念引入

一、引言

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確指出：“課程內(nèi)容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗和理解、思考與探索；課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系.”數(shù)學概念是數(shù)學知識的基礎(chǔ)，是數(shù)學思想與方法的載體，是數(shù)學學習的核心.數(shù)學概念教學應培養(yǎng)學生以數(shù)學的意識為指導，重視概念的生成過程，把概念學習變成“學數(shù)學、做數(shù)學、用數(shù)學”的過程.數(shù)學概念是數(shù)學知識的細胞，也是思維的單元，是學生在學習數(shù)學中賴以思維的基礎(chǔ).心理學的研究表明，學生數(shù)學概念的獲得往往是一個概念的心理表征的構(gòu)建過程.

對于初中函數(shù)概念而言，是常量數(shù)學過渡到變量數(shù)學的難點之一，更是一個帶有濃厚抽象色彩的概念，因而在概念引入之前需要做良性的鋪墊，才能使學生從現(xiàn)實生活中感知函數(shù)概念的客觀存在，讓學生親歷函數(shù)概念的形成并能表述的全過程.

函數(shù)概念的引入，筆者認為應該從四個環(huán)節(jié)去建構(gòu)，即聯(lián)結(jié)、理解、內(nèi)化和提升，學校教育可貴之處在于與世界建立一種聯(lián)結(jié)，進而反觀自己，了解自己，與所處的生活實際進行一種良性的聯(lián)結(jié)，即為學生在理解概念之前須是在實際生活中有所感知事物的客觀存在；理解即為需要將這種現(xiàn)實存在進行嫁接、類比，感受到概念的潛在存在；內(nèi)化是概念生成的重要環(huán)節(jié)，需要在現(xiàn)實問題的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化成一種數(shù)學化的過程，即為概念的表述；提升顧名思義就是在概念基礎(chǔ)上解釋其他一些實例，在實例解決中體會數(shù)學的魅力.

二、研究過程與方法

1.研究內(nèi)容

本文選取人教版與北師大版的初中數(shù)學教科書中函數(shù)章節(jié)作為研究對象，人教版教材函數(shù)概念在第十九章第一節(jié)，北師大版教材函數(shù)概念在第四章第一節(jié).鑒于只討論函數(shù)概念的引入，所以本研究的范圍限定比較的文本從章主題頁至函數(shù)概念呈現(xiàn)的地方為止.

2.研究方法

利用文本比較的方法，將從文本實例、語言表述和引入方式三個維度進行比較說明.

三、研究結(jié)果與分析

1.引入實例比較

通過統(tǒng)計兩版本教材在函數(shù)引入之前呈現(xiàn)的實例如表1所示.

表1 兩版本教材函數(shù)引入實例統(tǒng)計表

2.文本語言表述比較

文本語言表述主要是從函數(shù)概念引入之前文本所占用篇幅和所使用語句進行統(tǒng)計分析，統(tǒng)計結(jié)果如表2所示.

表2 兩版本教材文本語言表述比較

由表2可知，人教版教材文本所占約3頁，且問句使用10個，陳述句使用23句；北師大版教材文本所占共約2頁，且問句使用5句，陳述句使用4句.

就篇幅而言，人教版教材所占的篇幅多且文字緊密，北師大版所占篇幅少且文字稀疏.人教版使用問句的數(shù)量是北師大版的2倍，而且使用陳述句的數(shù)量又是北師大版的約為6倍，表明人教版教材側(cè)重對于知識的講述教學.

3.概念引入方式比較

函數(shù)概念引入方式主要想從引入的思路進行比較分析，如圖1、2所示概念引入思路概覽.

圖1 人教版教材函數(shù)概念引入流程圖

由圖1可以看出，人教版教材的第一小節(jié)稱之為變量與函數(shù)，函數(shù)概念引入歷經(jīng)思考、歸納、練習、思考、歸納、思考等流程，通過大量的實例先給出變量及變量之間的關(guān)系，再通過實例引入變量之間存在的相互聯(lián)系的關(guān)系，最后再進行概念的總結(jié).

圖2 北師大版教材函數(shù)概念引入流程圖

由圖2可以看出，北師大版教材的第一小節(jié)的節(jié)名稱為函數(shù)，函數(shù)概念引入歷經(jīng)實例、做一做、指出兩個變量之間的相互聯(lián)系，最后呈現(xiàn)函數(shù)概念.

四、函數(shù)概念引入建構(gòu)的嘗試

函數(shù)概念的概括性、抽象性、精確性等特征，使得引入顯得至關(guān)重要，湯炳興提出在概念教學中“學數(shù)學、做數(shù)學、用數(shù)學”的想法，教學應充分調(diào)動學生頭腦中的相關(guān)知識經(jīng)驗，促使學生主動參與對常識材料進行細致入微的探究性活動，并且他認為教學中應注意：將學生帶回現(xiàn)實中；將學生帶入問題中；引導學生學習數(shù)學化；在概念的實例中體會數(shù)學.在此基礎(chǔ)上筆者認為函數(shù)概念引入應充分體現(xiàn)聯(lián)結(jié)、理解、內(nèi)化、提升這4個環(huán)節(jié)，如圖3所示.

圖3 函數(shù)概念引入環(huán)節(jié)

聯(lián)結(jié)：學者黃武雄在《學校在窗外》一書中認為學校教育是為了與世界聯(lián)結(jié)，進而反觀自己，了解自己.這是家庭教育所不能完全替代的地方，所以這種聯(lián)結(jié)使得與世界形成一種良性的聯(lián)結(jié).函數(shù)概念的生成是將抽象概念具體化的過程，因而這種聯(lián)結(jié)更多是學生與生活實際的聯(lián)系，需要學生認真審視身處環(huán)境的種種事物，比如人教版教材一開始所引入的汽車行駛時間與路程之間的變化問題，這種在生活中普遍可見的案例學生是否對于該類問題在平時生活中有所注意和思考，雖然起初不了解函數(shù)概念的存在，但是否能考慮到這兩個量都是一個變了另一個也會發(fā)生變化，這就是學生在概念學習之前與生活實際的密切聯(lián)結(jié)，不可或缺.

理解：理解就是因每個人的大腦對事物分析決定的一種對事物本質(zhì)的認識，就是通常我們所說的“知其然，又知其所以然”，一般也稱為了解或領(lǐng)會.理解與概念和問題都有密切關(guān)系，有時是互相重疊的.數(shù)學概念理解是對數(shù)學概念內(nèi)涵和外延的全面性把握.在函數(shù)概念理解上應重視對兩個變量的理解，找出哪個變量因為哪個變量發(fā)生了變化才是關(guān)鍵，理解更是將實際的問題進行有方向性的思考，正如王秀明等在《寓“理解”于數(shù)學概念》中提出的數(shù)學概念內(nèi)涵理解的多樣性、數(shù)學概念外延理解的豐富性、數(shù)學概念表述理解的抽象性、數(shù)學概念符號理解的系統(tǒng)性、數(shù)學概念應用理解的多變性、數(shù)學概念定義理解的邏輯性.以上能說明充分體現(xiàn)對于概念理解的重要性與復雜性.

內(nèi)化：內(nèi)化是在思想觀點上與他人的思想觀點相一致，自己所認同的新的思想和自己原有的觀點、信念，結(jié)合在一起，構(gòu)成一個統(tǒng)一的態(tài)度體系.這種態(tài)度是持久的，并且成為自己人格的一部分.最成熟的內(nèi)化水平稱為“自我同一性”，它反映了將內(nèi)射和認同共同塑造到自我和他人的一致性形象中.正如湯炳興所提出的引導學生學習數(shù)學化，即數(shù)學概念的形成是數(shù)學化的過程，通過對實例進行細致的觀察、思考，借助分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動，從中舍棄材料的現(xiàn)實意義，僅保留其數(shù)量上或是空間上的形式結(jié)構(gòu)方面的信息.比如在函數(shù)概念，需要大量的生活實際中的材料讓學生體驗概念的數(shù)學化過程，更好地把握函數(shù)概念的本質(zhì)，所以舉例生活中的時間與路程變化關(guān)系，余額與通話時間之間變化關(guān)系問題對于學生數(shù)學化的形成都是極有利的.

提升：從內(nèi)化之后，對于概念本身有了一定的認識，在此基礎(chǔ)上可以引導學生用內(nèi)化成的數(shù)學化的意識去認知其他事物特征，進而能用類似的方式解決其他問題，潛移默化中形成一種用數(shù)學的眼光看待世界事物的習慣，在問題解決中靈活運用概念，在問題中形成數(shù)學化，積極鼓勵學生自行設(shè)計能說明概念的例子，使得學生對概念的本質(zhì)屬性有更為深刻的理解，同時有助于增強學生的數(shù)學意識，培養(yǎng)其科學探索精神.

五、結(jié)論及建議

（一）結(jié)論

1.人教版教材引入實例豐富，且貼近實際生活；北師大版教材引入實例精簡，強調(diào)與學科間的聯(lián)系

實例作為數(shù)學知識與實際生活強有力的聯(lián)結(jié)，是學生形象理解概念的出發(fā)點，也是關(guān)鍵的線索，所以實例的選取是智慧的藝術(shù)呈現(xiàn)，人教版所選取的實例耳熟能詳，可貴的是基本貼近學生的生活實際，符合學生的認知規(guī)律，這對于學生快速將生活與概念之間進行聯(lián)結(jié)有極大的促進作用，有利于學生體驗與理解.北師大版中出現(xiàn)的摩天輪例子，文本開頭以一句“你坐過摩天輪嗎？”開始引入，顯然對于偏遠山區(qū)的學生而言，大多數(shù)孩子只是在電視上見過而已，不便于學生更好地熟悉及后續(xù)的體驗與理解，但是北師大版教材緊密的且與時俱進的理念值得贊賞，比如第三實例引入物理學知識溫度與攝氏度之間的數(shù)量關(guān)系，這對于學科之間的嫁接無疑是積極的，而且對于學生理解物理學中公式之間變量關(guān)系的實質(zhì)起到輔助性作用，有利于推動不同學科之間緊密聯(lián)系，提升學生全面發(fā)展.

2.人教版教材語言表述篇幅大且多以陳述句，主張講授式；北師大版篇幅小多以問句，倡導探究式

人教版教材與北師大版在語言表述上最大的特點是：人教版采取了傳統(tǒng)的講述型語言形式，文本語言所占篇幅較多，使得文本愈加程序化，尤其是學生在自主預習過程中被動接受知識很不利于學生思維能力的培養(yǎng)與激發(fā)，然而問句使用的句式豐富，知識呈現(xiàn)的思路清晰明了具有很強的說服力.北師大版教材文本語言呈現(xiàn)多問句少陳述句，目的在于過多地讓學生體會學習的思考過程，過多的講述反而不利于學生興趣的培養(yǎng)，比如，在函數(shù)概念引入的文本篇幅文字較少，多以圖像、表格等呈現(xiàn)，倡導培養(yǎng)學生的自主性、探究性、合作性等能力.

3.人教版教材引入思路清晰，注重內(nèi)化過程；北師大版教材引入體系完整，注重提升過程

人教版教材引入函數(shù)概念層次清晰，通過多實例讓學生首先體驗感受到變量與常量的不同，緊接著又是通過實例練習讓學生試著自己確認找出變量與常量具體所指，再通過大量實例歸納出兩個變量之間的相互聯(lián)系，進而總結(jié)概括函數(shù)概念，整體而言，在讓學生歷經(jīng)概念與實際生活聯(lián)結(jié)環(huán)節(jié)上下足了功夫，對于函數(shù)概念的引入可謂是水到渠成，更注重內(nèi)化的過程，讓學生在實例中把實際與概念兩者之間、概念與表述之間內(nèi)化后形成學習數(shù)學化的結(jié)果，而教材所做的引入恰到好處地做到了引導學生學習的數(shù)學化，將生活實際通過內(nèi)化環(huán)節(jié)形成數(shù)學的語言表述，將知識變得美麗不再冰冷.北師大版教材函數(shù)概念引入思路與人教版類似，簡單概括，不同之處是側(cè)重提升環(huán)節(jié)，對于思考類問題并沒有像人教版教材那樣豐富，但與物理知識的嫁接也是一大智慧的設(shè)計.

（二）建議

1.函數(shù)概念所引入的實例應貼近學生生活

課程內(nèi)容的選擇要貼近學生的生活實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索，教學中教師要智慧選取實例，刪去教材中一些偏離學生生活的例子，最好是符合學生認知且能理解的事物，不一定要依照教材文本所選的實例教學，尊重每個學生群體的認知水平、學情狀況，最大程度上做到以學為根，以生以本.

2.函數(shù)概念的學習應倡導啟發(fā)式

課程內(nèi)容組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系；要重視直接經(jīng)驗，處理好直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關(guān)系.課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應注意層次性和多樣性.初中函數(shù)概念的學習是一個從常量數(shù)學過渡到變量數(shù)學的難點，需要與生活聯(lián)系，需要與學生認知緊密關(guān)聯(lián)，對于文本的學習在注重知識系統(tǒng)性的前提下，應更多倡導啟發(fā)式，而不是在問題之后立即呈現(xiàn)結(jié)果性答案，啟發(fā)式教學應激發(fā)學生思考的熱情，留給學生更多思考的自由空間.

3.函數(shù)概念引入應嘗試從聯(lián)結(jié)、理解、內(nèi)化和提升4個環(huán)節(jié)進行建構(gòu)

函數(shù)概念對于初中生的認知水平而言本身具有極大的挑戰(zhàn)性，抽象感十足，這就需要我們構(gòu)建一種有利于學生對于抽象概念認知的一般過程.因而借助前人的研究，概念的形成可以嘗試從這4個環(huán)節(jié)進行教學，環(huán)環(huán)緊扣，層層遞進，對于概念認識的高度把握富有強化作用，更重要的是學生能養(yǎng)成良好的科學探究精神，培養(yǎng)學生學習數(shù)學化的意識，增強數(shù)學意識，不單單是對于函數(shù)概念如此，更進一步講，可以在日后的問題解決中運用概念，用概念分析問題，這樣才使得學生搞懂概念的來龍去脈，有利于其他概念生成的自然性與科學性.

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*本文系市教育科學研究所“十二五”規(guī)劃課題（2013年度）“初中數(shù)學教材中閱讀材料文化價值的研究”（課題編號：C/2013/ 197）的階段性研究成果之一.