明辨錯(cuò)因預(yù)設(shè)講評(píng)，對(duì)話引導(dǎo)自主究錯(cuò)
——由兩個(gè)究錯(cuò)案例說起

☉江蘇省江陰市第二中學(xué) 郭芝萍

明辨錯(cuò)因預(yù)設(shè)講評(píng)，對(duì)話引導(dǎo)自主究錯(cuò)
——由兩個(gè)究錯(cuò)案例說起

☉江蘇省江陰市第二中學(xué) 郭芝萍

最近在江蘇南通召開的首屆國家基礎(chǔ)教育成果獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)成果“初中數(shù)學(xué)自學(xué)議論引導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐與探索”全國推廣會(huì)議上，古稀之年的李庾南老師親自執(zhí)教公開課“等式的性質(zhì)”，課堂上面對(duì)學(xué)生列方程、解方程中的錯(cuò)誤，李老師耐心細(xì)致的點(diǎn)評(píng)、追問與互動(dòng)，體現(xiàn)了專家教師重視學(xué)生錯(cuò)誤，并成功化錯(cuò)誤為教學(xué)資源，提升教學(xué)效益.課后的專家報(bào)告中，中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)理事長章建躍博士充分肯定了李老師在教學(xué)過程中重視學(xué)生錯(cuò)誤資源的做法，并基于教育心理學(xué)的角度指出學(xué)習(xí)過程中出錯(cuò)的價(jià)值：做錯(cuò)事情是人的一種自然傾向，是自然而然的，不出錯(cuò)是不自然的.出錯(cuò)是學(xué)生成長的契機(jī)，出錯(cuò)后努力嘗試，深入思考，克服困難，逐漸糾錯(cuò)，達(dá)到正確，這才是真實(shí)的學(xué)習(xí)過程，這樣才能讓學(xué)生理解知識(shí)的真諦，才能增長學(xué)生的才干和智慧，才能使學(xué)生成為一個(gè)善于認(rèn)識(shí)問題和解決問題的人才.

受此啟發(fā)，筆者結(jié)合最近一段時(shí)間的教學(xué)實(shí)踐，整理出兩則究錯(cuò)案例，并跟進(jìn)思考，供研討，希望更多同行關(guān)注和研究“究錯(cuò)”教學(xué).

一、究錯(cuò)案例展示

究錯(cuò)案例1：七年級(jí)數(shù)軸考題.

說明：這是七年級(jí)上學(xué)期期中測(cè)試中一個(gè)優(yōu)秀學(xué)生的錯(cuò)例，該學(xué)生考試結(jié)束之后糾結(jié)于他的解答為什么錯(cuò)誤，或者他找不到出錯(cuò)的原因，筆者深入淺出的講解，使他終于理解了錯(cuò)誤的原因.

考題1：如圖1，數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、M分別表示a、b、m.當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時(shí)，用含a、b的式子表示m.

圖1

學(xué)生的錯(cuò)解：|b-a|÷2＝m.

輔導(dǎo)記錄：我們先引導(dǎo)學(xué)生從簡單出發(fā)，即分別賦于a、b一些特殊數(shù)值，求出m的值，通過觀察發(fā)現(xiàn)了性質(zhì)m＝（a+b）.學(xué)生也表示理解了這個(gè)問題，但對(duì)于他的解答到底錯(cuò)在哪兒還是表示不解.為了把這個(gè)問題說清楚，筆者預(yù)設(shè)了如下的PPT漸次呈現(xiàn)問題的引導(dǎo)追問，截圖如下（如圖2）：

提醒：這里三個(gè)小寫字母都是“數(shù)”！數(shù)是有正負(fù)的！

例如圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、M分別表示a、b、m.當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時(shí)，用含a、b的式子表示m.

由“中點(diǎn)公式”：a+b=2m，直接變形得出m=（a+b）/2.

圖2

在講評(píng)時(shí)，首先肯定了該生對(duì)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式的理解，并能與絕對(duì)值符號(hào)做好對(duì)應(yīng)，但他的問題在于沒有辨析距離與數(shù)之間的關(guān)系，數(shù)有正負(fù)，而線段的長則是正的.此外，還順便指出了錯(cuò)解在書寫表達(dá)上一些不足，比如用“÷”而沒有用分?jǐn)?shù)線替代，用含a、b的式子表示m時(shí)，把m寫在等式的右邊，這些書寫慣習(xí)都是小學(xué)階段形成的，這里在七年級(jí)起始階段強(qiáng)調(diào)初中代數(shù)式書寫的規(guī)范也是為了后續(xù)學(xué)習(xí)解方程、函數(shù)表達(dá)式的規(guī)范保持一致性.

跟進(jìn)練習(xí)：在數(shù)軸上有三點(diǎn)A、B、N，對(duì)應(yīng)著數(shù)a、b、n.

（1）當(dāng)a-8＝-15，b-13＝-6時(shí)，求點(diǎn)A、B之間的距離；

（2）設(shè)N為AB的中點(diǎn)，用含a、b的式子表示n；

（3）若a＜b＜n，且AN=2NB，用含a、b的式子表示n.

設(shè)計(jì)意圖：為了有效檢測(cè)學(xué)生是否真正理解和辨析錯(cuò)誤，我們?cè)O(shè)計(jì)了一組跟進(jìn)練習(xí)，變式再練，前兩問主要是原題類型的再次練習(xí)，而第三問則將問題變換成點(diǎn)B是AN的中點(diǎn)，增加理解的難度，學(xué)生如果能成功解出，則說明對(duì)該類問題達(dá)到深刻理解的程度.

究錯(cuò)案例2：九年級(jí)二次函數(shù)考題.

考題2：平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2+ bx+c經(jīng)過（-1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）兩點(diǎn)，其中m為常數(shù).設(shè)（a，y1）、（a+2，y2）是拋物線y=x2+bx+c上的兩點(diǎn)，試比較y2-y1與0的大小.

學(xué)生錯(cuò)解：如圖3.

圖3

究錯(cuò)預(yù)設(shè)：為了追求較好的輔導(dǎo)效果，筆者先預(yù)設(shè)了如下的PPT，漸次呈現(xiàn)相關(guān)提示語后再講評(píng)，截圖如下（如圖4）.

圖4

講評(píng)手記：先引導(dǎo)學(xué)生觀察該生的計(jì)算出發(fā)點(diǎn)，他算成了y1-y2，而題目要求比較的是y2-y1與0的大小，這就使得運(yùn)算進(jìn)入較繁雜的境界，更糟的是他在運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)了完全平方式的展開出錯(cuò)，導(dǎo)致“滿盤皆輸”.要想實(shí)現(xiàn)問題成功解決，有幾關(guān)需要突破，第一，分別把兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式；第二，運(yùn)算展開時(shí)，特別是完全平方式展開時(shí)、打開括號(hào)時(shí)不能出錯(cuò)；第三，得出關(guān)于a的式子后需要分類討論說明理由.

跟進(jìn)練習(xí)：如圖5，平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+ n和拋物線y=x2+bx+c相交于點(diǎn)A（1，0）、B（3，k）.

（1）求拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

圖5

（2）若M（m，y1）、N（m+1，y2）兩點(diǎn)都在拋物線y=x2+bx+c上，試比較y1與y2的大小.

練習(xí)意圖：主要是利用第（2）問的訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用求差法比較y1與y2的大小.

二、關(guān)于究錯(cuò)教學(xué)的進(jìn)一步思考

我們知道，學(xué)生作業(yè)（或考試）出錯(cuò)后最低層次是糾錯(cuò)，即修改答案式的訂正，這種訂正基本上沒有什么作用，需要從糾錯(cuò)走向究錯(cuò)（探究的“究”），也就是通過對(duì)錯(cuò)誤的分析，解讀出錯(cuò)的原因，辨析錯(cuò)誤解答與正確解答之間的關(guān)系，從而正確解答.以下主要圍繞究錯(cuò)教學(xué)提出三點(diǎn)思考.

1.深刻理解問題的考查意圖，明辨難點(diǎn)與問題結(jié)構(gòu)是開展究錯(cuò)的前提

面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，教者首先要認(rèn)真解題，貫通思路之后，思考該題的考查意圖、試題立意，明辨問題的難點(diǎn)與問題深層結(jié)構(gòu)，并思考該題有哪些主要障礙點(diǎn)，解題的出發(fā)點(diǎn)是什么，目標(biāo)方向是什么，貫通思路的路徑有哪些，哪些路徑是最優(yōu)的、最簡的、最自然的，這樣再評(píng)估學(xué)生的錯(cuò)誤就會(huì)心中有底，也是進(jìn)一步深入究錯(cuò)的前提.

2.讀懂學(xué)生的錯(cuò)誤，精準(zhǔn)剖析錯(cuò)因，診斷錯(cuò)誤類型是究錯(cuò)的關(guān)鍵所在

由于當(dāng)前班額普遍較大（特別是城區(qū)的大學(xué)校，往往多達(dá)55名學(xué)生及以上），當(dāng)學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤、試題中的錯(cuò)誤被批改出來后，往往只是簡單的答案正誤的“√”或“×”，教師也難有時(shí)間深入具體的“×”背后去剖析錯(cuò)誤，講評(píng)前的備課需要有選擇性地認(rèn)真研究學(xué)生的錯(cuò)誤，并對(duì)典型的錯(cuò)誤進(jìn)行充分的備課預(yù)設(shè)，而診斷錯(cuò)誤類型是究錯(cuò)的關(guān)鍵所在.如從文中的兩個(gè)案例來看，案例1中，因?yàn)樵\斷出學(xué)生的錯(cuò)因是混淆了兩點(diǎn)間距離與“中點(diǎn)坐標(biāo)”（在平面直角坐標(biāo)系中的特例），所以出現(xiàn)了錯(cuò)誤；而案例2中，學(xué)生因讀題不細(xì)致，沒有看清y2-y1就匆忙下手，又在相對(duì)繁雜運(yùn)算中出現(xiàn)完全平方式的展開錯(cuò)誤.這些錯(cuò)誤類型的識(shí)別，是后續(xù)開展相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，值得大家關(guān)注.

3.精心預(yù)設(shè)教學(xué)設(shè)計(jì)，通過漸次呈現(xiàn)的追問、啟發(fā)語讓學(xué)生自我究錯(cuò)

在讀懂學(xué)生錯(cuò)誤類型和原因之后，為了追求較好的輔導(dǎo)效果，需要認(rèn)真預(yù)設(shè)教學(xué)設(shè)計(jì)，精心設(shè)計(jì)錯(cuò)例呈現(xiàn)的方式、時(shí)機(jī)，并通過PPT漸次呈現(xiàn)的動(dòng)畫功能展示恰當(dāng)?shù)淖穯?、啟發(fā)句、提示語等，通過藝術(shù)化的方式使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤原因，主動(dòng)修正錯(cuò)漏，達(dá)到潤物無聲的教學(xué)效果.比如，案例1中，雖然學(xué)生將數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律混淆，但我們先呈現(xiàn)的是：該學(xué)生對(duì)兩點(diǎn)間距離公式的理解是準(zhǔn)確的，先站在學(xué)生合理的立場(chǎng)為之辯護(hù)，保護(hù)學(xué)生解題的積極性、合理念頭的產(chǎn)生，但又要引導(dǎo)他們善于明辨方向和路徑，這就有了后續(xù)系列追問的設(shè)計(jì).也就是這些教學(xué)追問的設(shè)計(jì)，不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)了一道題的正確解答，而且在這一究錯(cuò)教學(xué)過程中，滲透了學(xué)習(xí)方法、究錯(cuò)套路，達(dá)到了更高層次的教學(xué)效益.

三、結(jié)束語

究錯(cuò)教學(xué)是一個(gè)經(jīng)典的教學(xué)話題，也應(yīng)該屬于教學(xué)基本問題，我們結(jié)合兩則新近的案例開展的究錯(cuò)教學(xué)實(shí)踐上才剛起步，也可看成是踐行《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》上重視生成性資源的教學(xué)嘗試，認(rèn)識(shí)還很初步，期待批評(píng)與指正.

1. 宋秀云.讓“簡單內(nèi)容”教得深刻［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（4）.

2. 中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.章建躍.創(chuàng)新推動(dòng)改革，全面提高教育質(zhì)量——暨“第九屆初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)”總結(jié)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中），2016（4）.Z