專業(yè)自主增設(shè)內(nèi)容，回看陳題洞察結(jié)構(gòu)
——九年級“探究四點共圓”教學(xué)設(shè)計與解讀

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 王友峰

專業(yè)自主增設(shè)內(nèi)容，回看陳題洞察結(jié)構(gòu)
——九年級“探究四點共圓”教學(xué)設(shè)計與解讀

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 王友峰

在最近一次教學(xué)研討活動中，筆者有機會執(zhí)教九年級“探究四點共圓”，得到教師的好評.本文梳理該課教學(xué)設(shè)計，并解讀設(shè)計意圖，供研討.

一、“探究‘四點共圓’”教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）從三角形外接圓出發(fā)

圖1

圖2

圖3

提問：在⊙O上再取一個點D，觀察、分析四邊形ABCD有什么特殊.（圓的內(nèi)接四邊形對角互補）

預(yù)設(shè)活動：學(xué)生在上述圖形中分別取一個點D，得出如下圖形：

圖4

圖5

圖6

提問：這三個內(nèi)接四邊形中，哪一個可能成為平行四邊形？為什么？

預(yù)設(shè)：圖5中，該平行四邊形此時應(yīng)該為矩形.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）探究“四點共圓”

逆向思考：怎樣的四邊形能找出它的外接圓？

預(yù)設(shè)：比如矩形、等腰梯形、共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點組成的四邊形的共同特征，對角線并不一定相等，但對角互補.獲得猜想：對角互補的四邊形，過它的四個頂點能作一個圓.

預(yù)設(shè)：鼓勵學(xué)生利用反證法證明命題“對角互補的四邊形，過它的四個頂點能作一個圓.”

已知：如圖7，四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°.

求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓（A、B、C、D四點共圓）.

證明：用反證法，過A、B、C作⊙O，假設(shè)D不在⊙O上，則D在圓外或圓內(nèi).

若D在圓外，設(shè)CD交⊙O于D′，連接AD′，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠B+∠CD′A＝180°.又∠B+∠D＝180°，則∠CD′A＝∠D.這與三角形外角性質(zhì)矛盾，故D不可能在圓外.

類似地，可證D不可能在圓內(nèi).

則D在⊙O上，也即A、B、C、D四點共圓.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）例題訓(xùn)練，鞏固新知

例1下列圖形中，你發(fā)現(xiàn)哪四個點共圓？為什么？（1）如圖8，PA、PB與⊙O分別相切于A、B兩點.

圖7

圖8

圖9

圖10

（2）如圖9，⊙O中，點C是弧AB的中點，過點C分別作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E.

（3）如圖10，菱形ABCD的四邊中點分別為E、F、G、H.

設(shè)計意圖：通過四個學(xué)生熟悉的圖形，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)其中的“四點共圓”.

例2圓在腦中：

（1）如圖11，∠DCE是四邊形ABCD的一個外角，如果∠DCE＝∠A，那么同時過點A、B、C、D能否作一個圓？

圖11

圖12

圖13

設(shè)計意圖：考查學(xué)生能否由四邊形的對角互補判定該四邊形的四個頂點共圓.

（2）如圖12，經(jīng)過四邊形ABCD的四個頂點可以作一個圓，若∠A＝120°，則∠C的度數(shù)是？

設(shè)計意圖：考查學(xué)生對圓內(nèi)接四邊形對角互補的掌握情況.

（3）如圖13，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝16°，則∠ABD的度數(shù)是？

設(shè)計意圖：考查學(xué)生對對角互補四邊形四個頂點共圓的應(yīng)用.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）反思“舊題”，看清“結(jié)構(gòu)”

例3如圖14，四邊形ABCD是一個正方形.點E、F在邊AD、CD上，且AE＝DF，連接BE、AF.

圖14

圖15

（1）圖中哪四個點在同一個圓上？為什么？

（2）如圖15，連接CG、BF，求證：∠FBC＝∠FGC.

例4如圖16，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分線CF于F.求證：AE＝EF.

圖16

圖17

設(shè)計意圖：學(xué)生如果基于全等的證法解決問題，則給出追問：有人發(fā)現(xiàn)基于構(gòu)造圓的思考，點A、E、C、F四點在同一個圓上，也能解決這個問題，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖17這樣的結(jié)構(gòu).

布置作業(yè)（略），下課.

二、教學(xué)立意的進一步解讀

1.關(guān)注教材活動，專業(yè)自主組織“學(xué)材”

當(dāng)前不少版本的數(shù)學(xué)教材在九年級圓這一章，都沒有安排“四點共圓”作為一個課時來研究，然而我們在很多考題中見到“四點共圓”的結(jié)構(gòu).是在以后中考二次復(fù)習(xí)時再安排一節(jié)所謂的專題課復(fù)習(xí)四點共圓，還是在新授課結(jié)束之后的單元復(fù)習(xí)時就增設(shè)這一節(jié)習(xí)題課呢？我們選擇了后者.因為九年級學(xué)生解題能力已經(jīng)達到一定的高度，這里在單元復(fù)習(xí)時可以選擇由三角形外接圓出發(fā)，自然而然地探究四點共圓，也是數(shù)學(xué)從特殊走向一般、成果擴大化的一種探究取向，是值得教學(xué)嘗試的，更是我們一線教師專業(yè)自主的體現(xiàn).想起著名特級教師李庾南老師近年來倡導(dǎo)的“學(xué)材再建構(gòu)”，我們基于數(shù)學(xué)知識的前后理解，自主研發(fā)、組織教學(xué)內(nèi)容，也應(yīng)該屬于一種積極的“學(xué)材再建構(gòu)”吧.

2.預(yù)設(shè)開放問題，促進對話互動生成

在上述課例多個活動中，我們設(shè)計了多處開放式問題，比如，開課階段安排學(xué)生作出不同三角形的外接圓，接著自主添加一個點D，研究四邊形與外接圓問題；在探究新知環(huán)節(jié)，對于如何證明對角互補的四邊形的四個頂點共圓，引導(dǎo)學(xué)生從反證法的角度思考問題，通過追問、對話，促進難點突破.在后續(xù)例題（例1、例2）題組的研究中，鼓勵學(xué)生先猜想解答，再追問他們解答的依據(jù)，暴露思維過程.這樣既使問題的呈現(xiàn)簡約，又在對話、追問過程中追求了“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”（鄭毓信教授語）.

3.回看經(jīng)典習(xí)題，引導(dǎo)回顧反思結(jié)構(gòu)

在例題教學(xué)的后半段，例3、例4分別選自八年級教材上的兩道經(jīng)典習(xí)題，在八年級，學(xué)生已經(jīng)能利用四邊形、全等三角形等實現(xiàn)證明，但證明的思路、步驟都較繁雜，而基于“四點共圓”的思路，則可以看清問題結(jié)構(gòu)，獲得更直接、深刻的證明與解答.這事實上也就是所謂的基于“高觀點”下的解題追求.當(dāng)我們站在區(qū)域性制高點俯看一些更初等問題時，往往能看得更全面和清晰.圓這一章作為平面幾何圖形最后的內(nèi)容，自然有著很多統(tǒng)領(lǐng)性的功能和價值，這節(jié)課的學(xué)習(xí)，也是想讓學(xué)生感受這種學(xué)習(xí)的深度與高度.

三、結(jié)束語

有了本次自主研發(fā)教學(xué)內(nèi)容的嘗試，我們更加感受到作為教師的專業(yè)自主的重要性，事實上就四點共圓的類似課例來說，僅在幾何中就可研發(fā)很多類似的課例，比如八年級平行四邊形一章中可以關(guān)注“中點四邊形”“探究重心定理”，相似形中可探究“射影定理”等經(jīng)典圖形及性質(zhì).當(dāng)然，我們的思考還是初步的，期待更多實踐課例的分享與展示.

1.朱金祥.依賴“基本套路”，走向“用教材教”——李庾南老師“反比例函數(shù)”課例賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

2.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.陳愛軍.預(yù)設(shè)互動促進對話，課件簡約漸次展現(xiàn)——李庾南老師“函數(shù)的圖像”課例賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

4.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.Z