超幾何分布的幾個(gè)思考

朱繼友

山東省臨沂第一中學(xué)

超幾何分布的幾個(gè)思考

朱繼友

山東省臨沂第一中學(xué)

超幾何分布是概率分布列中很重要的一個(gè)題型，其實(shí)質(zhì)是古典概率模型的推廣，題型特點(diǎn)比較鮮明，解題步驟也很直接。但要細(xì)究起來(lái)，卻有頗多“道道”。

例1：袋中有紅球6個(gè)，白球4個(gè)，從中摸出2個(gè)小球，求摸到紅球的個(gè)數(shù)ξ的分布列及期望。

解：由題意知，ξ=0，1，2

法一（超幾何分布的古典思維模式求解）

思路一（無(wú)序操作求解）：

小結(jié)：（1）在做超幾何分布題時(shí)，由于超幾何分布只是古典概率模型的一個(gè)推廣，所以我們?cè)谇蠼鈺r(shí)都是用的“個(gè)數(shù)比個(gè)數(shù)”的操作方法，此法簡(jiǎn)單易行，更好理解。（2）超幾何分布本質(zhì)是一種不放回的連續(xù)抽取，所以可以使用“無(wú)需操作”如思路一的解答過(guò)程，也可以使用“有序操作”如思路二的解答過(guò)程。此兩種解法說(shuō)明很好的解決了學(xué)生做題時(shí)“不放回”題目中對(duì)“有序與無(wú)序”操作的困擾，即“有序與無(wú)序”操作只是學(xué)社鞥自我做題的思維反應(yīng)途徑而已，但對(duì)于“有放回抽取”最好使用“有序操作”最為穩(wěn)妥。

法二（用概率思維模式求解）

有很多學(xué)生想使用概率求解，但一般做錯(cuò)，究其原因是概率使用的條件沒(méi)弄明白，而在平時(shí)授課時(shí)可能我們老師也不想拓展超幾何分布的解法，因?yàn)橛脽o(wú)序的操作求解是最方便的。

分析：那是不是說(shuō)超幾何分布不能用概率求解呢？當(dāng)然不是，只要注意使用條件概率求解才對(duì)。因?yàn)槌瑤缀畏植际恰安环呕氐某槿　?，若使用分母都?0，說(shuō)明學(xué)生在做題時(shí)把它理解成了“有放回抽取”，題意都改了，故導(dǎo)致概率求解出錯(cuò)了。

正解：設(shè)：事件A：取1個(gè)紅球，第i次取出紅球?yàn)锳i(i=1,2),事件B：取1個(gè)白球，第i次取出白球?yàn)锽i(i=1,2)

練習(xí)1：一袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是

(1)求白球的個(gè)數(shù)；

(2)從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列。

例2：一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，如圖。

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的平均值；

（Ⅲ）從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量在（5，15]內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望。

解：（Ⅰ）由題意得，(0.02+0.032+a+0.018)×10=1.解得a=0.03；

（Ⅱ）由最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為20，可估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)約為20，

而50個(gè)樣本小球重量的平均值為：

0.2 ×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克)，故估計(jì)盒子中小球重量的平均值約為24.6克。

（Ⅲ）利用樣本估計(jì)總體，該盒子中小球的重量在[5，15]內(nèi)的頻率為0.2；

則ξ=0,1,2,3且ξ～B(3,0.2).

小結(jié)：當(dāng)超幾何分布中，個(gè)體個(gè)數(shù)不是有限個(gè)（題中經(jīng)常用的數(shù)據(jù)如5個(gè)或10個(gè)球）而是“大量”，說(shuō)明個(gè)體數(shù)量很龐大。超幾何分布中的首要條件是抽取后不放回，但當(dāng)個(gè)體總量很龐大時(shí)，抽取有限個(gè)再放回去對(duì)解題的影響與不放回抽取的影響基本相同，故這是我們應(yīng)該把超幾何分布理解成獨(dú)立二項(xiàng)分布進(jìn)行解題。