引入聯(lián)跳的中國(guó)股市協(xié)方差預(yù)測(cè)
——基于多元HAR模型

瞿 慧，紀(jì) 萍

南京大學(xué) 工程管理學(xué)院，南京 210093

引入聯(lián)跳的中國(guó)股市協(xié)方差預(yù)測(cè)
——基于多元HAR模型

瞿 慧，紀(jì) 萍

南京大學(xué) 工程管理學(xué)院，南京 210093

金融資產(chǎn)的時(shí)變協(xié)方差矩陣是投資組合配置、風(fēng)險(xiǎn)管理等實(shí)務(wù)活動(dòng)的關(guān)鍵參數(shù)。早期的協(xié)方差預(yù)測(cè)模型研究使用日數(shù)據(jù)或者更低頻數(shù)據(jù)，但大多存在參數(shù)估計(jì)困難和維數(shù)災(zāi)難等問題。

運(yùn)用日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)可以構(gòu)建協(xié)方差矩陣的后驗(yàn)非參數(shù)估計(jì)量，使其從隱變量轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢灾苯咏５目捎^測(cè)變量，降低協(xié)方差模型估計(jì)的復(fù)雜性并增強(qiáng)模型的高維適用性。進(jìn)一步的，利用高頻數(shù)據(jù)還可以識(shí)別多個(gè)金融資產(chǎn)的價(jià)格在日內(nèi)同一采樣間隔內(nèi)發(fā)生的跳躍，即多資產(chǎn)聯(lián)跳。針對(duì)聯(lián)跳多由宏觀經(jīng)濟(jì)新聞公告和政策制度等的發(fā)布引起，這些信息終將被吸收并體現(xiàn)在協(xié)方差矩陣中，聯(lián)跳可能蘊(yùn)含著對(duì)協(xié)方差預(yù)測(cè)有益的信息，因此識(shí)別聯(lián)跳并將其引入?yún)f(xié)方差預(yù)測(cè)模型。

將異質(zhì)自回歸模型擴(kuò)展至多元形式，作為協(xié)方差非參數(shù)估計(jì)量的基準(zhǔn)模型，并將取值0/1的聯(lián)跳指示變量與Hawkes模型估計(jì)出的聯(lián)跳強(qiáng)度分別及同時(shí)引入多元形式模型，構(gòu)建3種擴(kuò)展模型。選擇均方誤差和平均絕對(duì)誤差這兩種常用統(tǒng)計(jì)意義損失函數(shù)，采用Diebold Mariano檢驗(yàn)，評(píng)價(jià)各擴(kuò)展模型的樣本外預(yù)測(cè)性能相對(duì)于基準(zhǔn)模型是否有所改進(jìn)，并采用模型置信集檢驗(yàn)并挑選最佳擴(kuò)展模型。此外，比較各種預(yù)測(cè)模型用于全局最小方差投資組合策略的效果。

基于上證50指數(shù)成分股中不同行業(yè)5只高流動(dòng)性個(gè)股分鐘高頻價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證，研究結(jié)果表明，①相對(duì)于聯(lián)跳指示變量，聯(lián)跳強(qiáng)度對(duì)協(xié)方差矩陣的預(yù)測(cè)有更顯著的貢獻(xiàn)；②引入聯(lián)跳強(qiáng)度可以顯著提升對(duì)協(xié)方差的擬合優(yōu)度和樣本外預(yù)測(cè)精度；③同時(shí)引入聯(lián)跳強(qiáng)度和聯(lián)跳指示變量，且采用矩陣對(duì)數(shù)變換，確保正定性的擴(kuò)展多元形式模型在統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)意義上都是最優(yōu)模型。

研究結(jié)論肯定了在協(xié)方差預(yù)測(cè)模型中引入聯(lián)跳的重要價(jià)值，并揭示了宏觀信息對(duì)協(xié)方差預(yù)測(cè)的貢獻(xiàn)，對(duì)于金融管理者和投資者進(jìn)行金融風(fēng)險(xiǎn)管理及進(jìn)行資產(chǎn)配置都具有實(shí)際指導(dǎo)意義。

協(xié)方差預(yù)測(cè)；聯(lián)跳；多元異質(zhì)自回歸模型；Hawkes模型；模型置信集檢驗(yàn)；全局最小方差投資組合

1 引言

隨著股指期貨正式上市交易、融資融券成為常規(guī)業(yè)務(wù)等一系列創(chuàng)新性舉措的實(shí)施，中國(guó)資本市場(chǎng)向著多層次資本市場(chǎng)體系的方向不斷邁進(jìn)，給投資組合配置、風(fēng)險(xiǎn)管理等帶來了更大的機(jī)會(huì)和挑戰(zhàn)，而金融資產(chǎn)的時(shí)變協(xié)方差矩陣則是這些實(shí)務(wù)應(yīng)用的決定性參數(shù)，對(duì)其精準(zhǔn)的建模預(yù)測(cè)具有重要意義。早期研究多使用日數(shù)據(jù)或者更低頻數(shù)據(jù)，主要在多元GARCH類模型或者多元隨機(jī)波動(dòng)率模型框架下研究多資產(chǎn)收益向量的條件協(xié)方差矩陣，但大多存在估計(jì)困難和維數(shù)災(zāi)難等問題。

近10年來，日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)的可得性為多資產(chǎn)協(xié)方差矩陣的估計(jì)、建模和預(yù)測(cè)提供了新的手段。利用高頻數(shù)據(jù)可以構(gòu)建協(xié)方差矩陣的后驗(yàn)非參數(shù)估計(jì)量，使其從隱變量轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢灾苯咏５目捎^測(cè)變量，一定程度上降低了模型參數(shù)估計(jì)的復(fù)雜性，并使預(yù)測(cè)高維協(xié)方差矩陣成為可能。進(jìn)一步的，利用高頻數(shù)據(jù)還可以識(shí)別多個(gè)金融資產(chǎn)的價(jià)格在日內(nèi)同一采樣間隔內(nèi)發(fā)生的跳躍，即多資產(chǎn)聯(lián)跳?？缧袠I(yè)的多資產(chǎn)聯(lián)跳通常由宏觀經(jīng)濟(jì)新聞公告和政策制度等的發(fā)布引起，這些信息終將被整個(gè)市場(chǎng)消化并體現(xiàn)在協(xié)方差矩陣中。因此，本研究認(rèn)為聯(lián)跳可能蘊(yùn)含著對(duì)預(yù)測(cè)協(xié)方差有益的信息，識(shí)別聯(lián)跳并探索將其引入?yún)f(xié)方差模型的合理形式具有重要指導(dǎo)意義。

2 相關(guān)研究評(píng)述

ANDERSEN et al.[1]實(shí)證得出日內(nèi)對(duì)數(shù)收益率平方和計(jì)算的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率是對(duì)日波動(dòng)的精確測(cè)度；BARNDORFF-NIELSEN et al.[2]對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行多元拓展，提出已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差(realized covariance,RCov)。鑒于RCov包含連續(xù)擴(kuò)散性分量(即積分協(xié)方差)以及各資產(chǎn)跳躍和多資產(chǎn)聯(lián)跳的共同影響，他們還構(gòu)建了跳躍(聯(lián)跳)穩(wěn)健的已實(shí)現(xiàn)雙冪次協(xié)變差(realized bipower covariation, RBPCov)[3]，對(duì)積分協(xié)方差進(jìn)行估計(jì)。RCov和RBPCov都屬于協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量，實(shí)際運(yùn)用中，協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量的構(gòu)建還需考慮市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響和非同步交易在采樣頻率較高時(shí)引起的估計(jì)量零偏(Epps效應(yīng))，除了合理降低采樣頻率外[2-3]，學(xué)者們還提出雙尺度已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差[4]、多元已實(shí)現(xiàn)核[5]、流動(dòng)性分塊雙尺度已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差[6]等改進(jìn)的協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量[7]。已實(shí)現(xiàn)協(xié)方差及其各種改進(jìn)估計(jì)量的建模除了需要刻畫波動(dòng)和相關(guān)結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)記憶性外，還需要確保預(yù)測(cè)矩陣的正定性。BAUER et al.[8]提出的矩陣對(duì)數(shù)變換方法和CHIRIAC et al.[9]提出的Cholesky分解法，都可以使重構(gòu)出的預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣確保正定。而在預(yù)測(cè)模型的選擇方面，鑒于異質(zhì)自回歸模型(heterogeneous autoregressive,HAR)[10]具有較優(yōu)的數(shù)據(jù)刻畫和預(yù)測(cè)能力，而且可以采用簡(jiǎn)便的OLS估計(jì)，不少學(xué)者將其拓展至多元應(yīng)用[9,11-12]。在針對(duì)中國(guó)市場(chǎng)的研究中，韓立巖等[13]和WANG et al.[14]為滬深300指數(shù)和股指期貨的協(xié)方差建模時(shí)、唐勇等[15]為上證綜指和深證成指協(xié)方差建模時(shí)都以多元HAR模型作為基礎(chǔ)模型。中國(guó)針對(duì)多(>2)資產(chǎn)協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量的建模研究還比較少，劉麗萍[16]對(duì)滬深300指數(shù)不同行業(yè)6只大盤股的實(shí)證研究表明，采用矩陣對(duì)數(shù)變換方法結(jié)合多元HAR模型在7種損失函數(shù)下都可以獲得最優(yōu)的預(yù)測(cè)能力，且顯著超越使用日數(shù)據(jù)的DCC和BEKK模型；劉麗萍等[17]采用不同行業(yè)12只股票的實(shí)證研究也發(fā)現(xiàn)，該模型在統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)意義下都較優(yōu)。

高頻數(shù)據(jù)的可得使對(duì)多個(gè)金融資產(chǎn)價(jià)格同步跳躍的識(shí)別成為可能。針對(duì)多(>2)資產(chǎn)的聯(lián)跳識(shí)別主要有兩類方法。一類是BOLLERSLEV et al.[18]基于投資組合理論構(gòu)建平均外積(mean cross product, MCP)統(tǒng)計(jì)量，簡(jiǎn)稱BLT方法；另一類是LAHAYE et al.[19]和GILDER et al.[20]在單資產(chǎn)日內(nèi)跳躍識(shí)別基礎(chǔ)上提出的同步發(fā)生準(zhǔn)則。學(xué)者們運(yùn)用上述聯(lián)跳識(shí)別方法分析聯(lián)跳與多種宏觀經(jīng)濟(jì)新聞公告之間的聯(lián)系[19-21]。鑒于聯(lián)跳蘊(yùn)含的這些信息將被市場(chǎng)吸收并體現(xiàn)在協(xié)方差矩陣中，部分學(xué)者開始探索將其引入?yún)f(xié)方差預(yù)測(cè)模型。WANG et al.[14]在滬深300指數(shù)和股指期貨的二元HAR模型中引入基于同步發(fā)生準(zhǔn)則計(jì)算的跳躍協(xié)變差(文中作為聯(lián)跳的度量)，明顯提高了協(xié)方差模型的調(diào)整R2。CLEMENTS et al.[22]在用BLT方法識(shí)別道瓊斯指數(shù)成分股聯(lián)跳后，利用Hawkes模型[23]估計(jì)出聯(lián)跳強(qiáng)度，并實(shí)證指出將其引入指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的HAR模型可以顯著改善其預(yù)測(cè)精度。

到目前為止，尚未有研究考慮在多(>2)資產(chǎn)的協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量預(yù)測(cè)模型中引入聯(lián)跳。由于選擇不同行業(yè)的多只股票并配以合理的權(quán)重以分散風(fēng)險(xiǎn)已成為投資者們廣泛使用的股市操作，研究如何引入聯(lián)跳以尋求此類中、高維度協(xié)方差矩陣預(yù)測(cè)性能的改進(jìn)具有重要的實(shí)踐指導(dǎo)意義。鑒于此，本研究以上證50指數(shù)成分股中不同行業(yè)5只個(gè)股的日內(nèi)高頻價(jià)格為實(shí)證數(shù)據(jù)，以多元HAR模型作為協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量的基準(zhǔn)模型，并分別及同時(shí)引入取值為0/1的聯(lián)跳指示變量和Hawkes模型估計(jì)的聯(lián)跳強(qiáng)度，以構(gòu)建擴(kuò)展模型。一方面與已有引入聯(lián)跳的研究[14,22]一樣，使用統(tǒng)計(jì)意義指標(biāo)直接計(jì)算協(xié)方差預(yù)測(cè)精度，采用Diebold Mariano(DM)檢驗(yàn)[24]，評(píng)價(jià)各擴(kuò)展模型相對(duì)于基準(zhǔn)模型的樣本外預(yù)測(cè)性能是否有所改進(jìn)，并采用模型置信集(model confidence set, MCS)檢驗(yàn)[25]挑選最佳模型。另一方面，提出從應(yīng)用的角度間接評(píng)價(jià)，比較基于各種模型預(yù)測(cè)構(gòu)建全局最小方差投資組合的績(jī)效。最后，對(duì)在協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量預(yù)測(cè)模型中引入聯(lián)跳的意義和引入聯(lián)跳的合理方式作出結(jié)論，以期為投資者的實(shí)務(wù)運(yùn)用提供有效基礎(chǔ)性工具。

3 模型和方法

3.1 已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量的構(gòu)建

3.2 聯(lián)跳識(shí)別

運(yùn)用BLT方法[18]識(shí)別多資產(chǎn)聯(lián)跳，并在構(gòu)建MCP統(tǒng)計(jì)量時(shí)運(yùn)用BOUDT et al.[27]的賦權(quán)標(biāo)準(zhǔn)偏差(weighted standard deviation,WSD)因子，對(duì)日內(nèi)收益模式進(jìn)行調(diào)整。

(1)

采用日內(nèi)收益模式調(diào)整的BLT方法構(gòu)造MCP統(tǒng)計(jì)量，即

i=1,2,…,M

(2)

(3)

由于實(shí)證結(jié)果顯示Zmcp,t,i統(tǒng)計(jì)量不近似服從于任何標(biāo)準(zhǔn)分布，因此采用bootstrap的方法估計(jì)其經(jīng)驗(yàn)分布。令Fα為Zmcp,t,i統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)在置信度為α?xí)r的臨界值，則聯(lián)跳存在性識(shí)別為CJt，CJt=I(Zmcp,t,i>Fα)，這里的I(·)為取值0或1的指示函數(shù)。

3.3 聯(lián)跳強(qiáng)度的Hawkes模型

(4)

其中，μ為常數(shù)，μ>0；ω(·)為非負(fù)權(quán)重函數(shù)，常用指數(shù)函數(shù)表示，ω(t)=αe-βt，此時(shí)有

(5)

其中，α為聯(lián)跳發(fā)生對(duì)強(qiáng)度的瞬時(shí)影響的參數(shù)，β為控制指數(shù)權(quán)重函數(shù)衰減速率的參數(shù)，有約束α>0，β>0。

相應(yīng)的，可以計(jì)算對(duì)數(shù)似然函數(shù)并進(jìn)行極大似然估計(jì)，即

(6)

3.4 多元HAR模型及其擴(kuò)展

為了確保預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣的正定性，先對(duì)協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量Σt進(jìn)行矩陣對(duì)數(shù)變換[8]或者Cholesky分解[9]，為變換后的序列構(gòu)建(擴(kuò)展的)多元HAR模型進(jìn)行預(yù)測(cè)后，再重構(gòu)協(xié)方差矩陣。

以多元HAR(即MHAR)模型作為基準(zhǔn)模型，具體形式為

(7)

將取值0或1的聯(lián)跳指示變量CJt作為解釋變量加入到MHAR模型中，將其擴(kuò)展為MHAR-CJ模型(LOG-MHAR-CJ模型或CF-MHAR-CJ模型)，用參數(shù)γ度量聯(lián)跳對(duì)未來估計(jì)量的貢獻(xiàn)，即

(8)

將估計(jì)出的聯(lián)跳強(qiáng)度λt作為解釋變量加入到MHAR模型中，將其擴(kuò)展為MHAR-CI模型(LOG-MHAR-CI模型或CF-MHAR-CI模型)，用參數(shù)η度量聯(lián)跳強(qiáng)度對(duì)未來估計(jì)量的貢獻(xiàn)，即

(9)

這里的聯(lián)跳強(qiáng)度解釋變量下標(biāo)為(t+1)，因?yàn)棣藅包含的僅是截止到(t-1)日的歷史聯(lián)跳信息。

此外，也考慮在MHAR模型中同時(shí)引入聯(lián)跳指示變量和聯(lián)跳強(qiáng)度的情況，將其擴(kuò)展為MHAR-CJI模型(LOG-MHAR-CJI模型或CF-MHAR-CJI模型)，即

(10)

3.5 協(xié)方差預(yù)測(cè)模型性能比較

4 實(shí)證分析

4.1 數(shù)據(jù)描述

將已實(shí)現(xiàn)雙冪次協(xié)變差作為協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量Σt，為確保預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣的正定性，先分別對(duì)Σt進(jìn)行矩陣對(duì)數(shù)變換和Cholesky分解。表1給出總樣本區(qū)間內(nèi)對(duì)數(shù)矩陣At上三角各元素的描述性統(tǒng)計(jì)，表2給出總樣本區(qū)間內(nèi)Cholesky分解上三角陣Γt各元素的描述性統(tǒng)計(jì)，JB為Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量的p值，大于0.100的已標(biāo)為黑體，表示無法拒絕正態(tài)分布原假設(shè)；LB(10)為滯后10階的Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量的p值，大于0.100的已標(biāo)為黑體，表示無法拒絕10階不相關(guān)原假設(shè)；ADF為Augmented Dickey-Fuller單位根檢驗(yàn)的p值。

表2 已實(shí)現(xiàn)雙冪次協(xié)變差矩陣的Cholesky分解上三角陣Γt各元素的描述性統(tǒng)計(jì)Table 2 Descriptive Statistics for the Elements of the Cholesky Factorization Upper Triangle Matrix Γt of the Realized Bipower Covariation Matrix

由表1和表2可知，無論進(jìn)行何種變換，所得上三角陣各元素都表現(xiàn)出平穩(wěn)性，ADF檢驗(yàn)全部顯著拒絕，并基本都表現(xiàn)出長(zhǎng)期自相關(guān)性，Ljung-Box檢驗(yàn)半數(shù)以上顯著拒絕，因此適合用MHAR模型進(jìn)行刻畫。表1中各元素的峰度大多與3較為接近，表2中各元素的峰度大多顯著偏離3，而且表1中部分元素的Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量無法拒絕正態(tài)分布的原假設(shè)。因此進(jìn)行矩陣對(duì)數(shù)變換比進(jìn)行Cholesky分解可以得到各元素更為接近正態(tài)分布的列向量Xt，也更適合MHAR模型的OLS估計(jì)。另外，表1和表2中上三角陣15個(gè)元素的均值和中位數(shù)有較大差異，因此MHAR模型設(shè)定常數(shù)項(xiàng)參數(shù)c是15維列向量(變截距)較為合理。

在99%的置信度水平下，在2011年2月1日至2014年10月31日的850個(gè)交易日中，BLT聯(lián)跳檢驗(yàn)共檢測(cè)出504天發(fā)生聯(lián)跳，占總樣本的59.294%。因此多資產(chǎn)價(jià)格的聯(lián)跳在中國(guó)股票市場(chǎng)并不是偶然現(xiàn)象，而是在宏觀經(jīng)濟(jì)新聞公告和政策制度等發(fā)布的沖擊下經(jīng)常發(fā)生，因此有必要考慮引入聯(lián)跳信息對(duì)協(xié)方差預(yù)測(cè)的影響。

為了構(gòu)建聯(lián)跳強(qiáng)度序列，首先將2011年2月1日至2013年8月22日的566個(gè)交易日(即總樣本剔除樣本外預(yù)測(cè)區(qū)間)用作估計(jì)區(qū)間，估計(jì)Hawkes模型的參數(shù)，得到樣本內(nèi)參數(shù)估計(jì)值為μ=0.548,α=0.108,β=0.794。將參數(shù)代入Hawkes模型，即可構(gòu)建總樣本內(nèi)的聯(lián)跳強(qiáng)度時(shí)間序列。

4.2 MHAR模型及其擴(kuò)展模型的樣本內(nèi)擬合

對(duì)表1中At上三角陣或者表2中上三角陣Γt進(jìn)行拉直操作，拉直向量Xt是一個(gè)15×1的列向量。為Xt構(gòu)建基準(zhǔn)MHAR模型以及引入聯(lián)跳的擴(kuò)展模型，并根據(jù)采用的矩陣變換形式，分別命名為L(zhǎng)OG-MHAR類模型或者CF-MHAR類模型。表3給出各模型在全樣本的參數(shù)估計(jì)結(jié)果和擬合性能比較，其中省略了15維常數(shù)列向量c在各模型中的估計(jì)值。由于各種擴(kuò)展MHAR模型與其基準(zhǔn)MHAR模型之間均存在嵌套關(guān)系，因此表3中還給出對(duì)數(shù)似然比(LR)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并標(biāo)注出顯著性。

表3中參數(shù)β(d)、β(w)、β(m)的估計(jì)結(jié)果表明，無論是LOG-MHAR類模型還是CF-MHAR類模型，滯后一日、一月、一周的已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量對(duì)預(yù)測(cè)都有顯著的正向影響，日變量的系數(shù)小于0.100，周和月變量的系數(shù)則在0.300左右，表明中、低頻投資者對(duì)未來協(xié)方差的貢獻(xiàn)更大。參數(shù)γ和η的估計(jì)結(jié)果表明，單獨(dú)引入聯(lián)跳指示變量時(shí)對(duì)預(yù)測(cè)有顯著的正向影響，但是其影響較小，系數(shù)值僅為0.030左右；單獨(dú)引入聯(lián)跳強(qiáng)度時(shí)對(duì)預(yù)測(cè)有顯著的正向影響，且貢獻(xiàn)較大，系數(shù)值達(dá)到0.625(LOG-MHAR-CI模型)或者0.816(CF-MHAR-CI模型)；而同時(shí)引入聯(lián)跳指示變量和聯(lián)跳強(qiáng)度時(shí)，聯(lián)跳指示變量對(duì)預(yù)測(cè)不再具有顯著影響，聯(lián)跳強(qiáng)度的貢獻(xiàn)則仍然顯著為正，且系數(shù)值稍有提升。這表明，通過Hawkes模型提煉的聯(lián)跳強(qiáng)度中蘊(yùn)含有對(duì)于協(xié)方差預(yù)測(cè)更為豐富的信息。

由調(diào)整R2及其改進(jìn)度計(jì)算值可知，各個(gè)擴(kuò)展MHAR模型相對(duì)于其基準(zhǔn)MHAR模型都獲得了樣本內(nèi)擬合優(yōu)度的改進(jìn)。具體的，CF-MHAR類模型的擬合優(yōu)度總體高于相應(yīng)的LOG-MHAR類模型。而LOG-MHAR模型擴(kuò)展后擬合優(yōu)度的改進(jìn)度則高于CF-MHAR模型進(jìn)行同樣擴(kuò)展后獲得的改進(jìn)度。無論是LOG-MHAR類模型還是CF-MHAR類模型，引入聯(lián)跳強(qiáng)度都可以帶來最大程度的擬合優(yōu)度提升(0.186%或者0.135%)。各個(gè)擴(kuò)展模型的LR檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量都在1%的水平顯著，表明即使在對(duì)新引入的參數(shù)施加懲罰后，引入聯(lián)跳信息的擴(kuò)展模型仍然比相應(yīng)的基準(zhǔn)模型有顯著更優(yōu)的樣本內(nèi)擬合性能。

表3 MHAR模型及其擴(kuò)展模型的全樣本參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 3 Parameter Estimation Results of the MHAR Model and Its Extensions(Total Period)

注：***為在1%的水平顯著，**為在5%的水平顯著。

4.3 MHAR模型及其擴(kuò)展模型的樣本外預(yù)測(cè)

模型的樣本外預(yù)測(cè)性能是投資者選擇協(xié)方差預(yù)測(cè)模型的重要考量，因此本研究將2013年8月23日至2014年10月31日的284個(gè)交易日用于協(xié)方差模型的樣本外預(yù)測(cè)性能比較。具體的，以566個(gè)交易日為估計(jì)窗長(zhǎng)，采用一步向前滾動(dòng)預(yù)測(cè)方法，即先以2011年2月1日至2013年8月22日的566個(gè)交易日為估計(jì)窗，預(yù)測(cè)2013年8月23日的協(xié)方差，接著以2011年2月2日至2013年8月23日的566個(gè)交易日為估計(jì)窗，預(yù)測(cè)2013年8月26日的協(xié)方差，以此類推。表4給出各種MHAR模型及其擴(kuò)展模型的多變量均方誤差(MSE)和平均絕對(duì)誤差(MAE)函數(shù)在預(yù)測(cè)區(qū)間的日均值，也給出了擴(kuò)展模型相對(duì)于其基準(zhǔn)模型的損失函數(shù)值減小量(ΔMSE和ΔMAE)。黑體數(shù)據(jù)為同一組4個(gè)MHAR類模型的最小MSE值或MAE值。

表4表明，無論是LOG-MHAR類模型還是CF-MHAR類模型，引入聯(lián)跳信息都可以帶來預(yù)測(cè)損失函數(shù)值的減小，即樣本外預(yù)測(cè)性能的改善。無論是以MSE指標(biāo)還是以MAE指標(biāo)衡量，同時(shí)引入聯(lián)跳指示變量和聯(lián)跳強(qiáng)度的MHAR-CJI模型都在同組的4個(gè)模型中具有最小的損失函數(shù)值，即最佳的樣本外預(yù)測(cè)精度。

進(jìn)一步運(yùn)用單邊DM檢驗(yàn)判斷引入聯(lián)跳信息的擴(kuò)展模型對(duì)基準(zhǔn)模型樣本外預(yù)測(cè)能力改善的顯著性。單邊DM檢驗(yàn)的零假設(shè)是“基準(zhǔn)模型和擴(kuò)展模型的預(yù)測(cè)能力相同”，備擇假設(shè)是“擴(kuò)展模型的預(yù)測(cè)能力優(yōu)于基準(zhǔn)模型”，預(yù)測(cè)能力的衡量同樣分別考察MSE和MAE兩個(gè)指標(biāo)，表5給出各個(gè)檢驗(yàn)的p值，小于0.100的已標(biāo)為黑體，表示顯著拒絕零假設(shè)，即相應(yīng)擴(kuò)展模型有顯著更優(yōu)的預(yù)測(cè)精度。

由表5結(jié)果可知，無論是LOG-MHAR類模型還是CF-MHAR類模型，單獨(dú)引入聯(lián)跳強(qiáng)度(MHAR-CI模型)以及同時(shí)引入聯(lián)跳指示變量和聯(lián)跳強(qiáng)度(MHAR-CJI模型)，都可以顯著改善基準(zhǔn)MHAR模型的MSE和MAE損失函數(shù)值，提升協(xié)方差樣本外預(yù)測(cè)能力。而如果單獨(dú)引入聯(lián)跳指示變量(MHAR-CJ模型)，則僅在MSE指標(biāo)下有顯著的預(yù)測(cè)性能改進(jìn)，在MAE指標(biāo)下預(yù)測(cè)性能與基準(zhǔn)模型并無顯著差別。這再次表明Hawkes模型提煉出的聯(lián)跳強(qiáng)度蘊(yùn)含著更豐富的協(xié)方差預(yù)測(cè)有益信息。

表4 MHAR模型及其擴(kuò)展模型樣本外預(yù)測(cè)的損失函數(shù)Table 4 Out-of-sample Forecasting Losses of the MHAR Model and Its Extensions

表5 MHAR模型及其擴(kuò)展模型的預(yù)測(cè)能力DM檢驗(yàn)p值Table 5 DM Test p-values for the Forecasting Performance of the MHAR Model and Its Extensions

表6 協(xié)方差模型預(yù)測(cè)能力MCS檢驗(yàn)p值Table 6 MCS Test p-values for the Forecasting Performance of the Covariance Models

5 結(jié)論

本研究對(duì)已有基于高頻數(shù)據(jù)的多(>2)資產(chǎn)協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量建模研究進(jìn)行拓展，考察在預(yù)測(cè)模型中對(duì)聯(lián)跳信息的引入。以上證50指數(shù)成分股中流動(dòng)性較好且跨不同行業(yè)的5只股票5分鐘價(jià)格為實(shí)證數(shù)據(jù)，通過BLT方法[18]識(shí)別多資產(chǎn)價(jià)格聯(lián)跳，發(fā)現(xiàn)聯(lián)跳天數(shù)占總樣本的59.294%，因此聯(lián)跳在中國(guó)股票市場(chǎng)并非偶然現(xiàn)象，而是在宏觀經(jīng)濟(jì)新聞公告和政策制度發(fā)布的沖擊下經(jīng)常發(fā)生，本研究選題具有實(shí)際意義。以多元異質(zhì)自回歸(MHAR)模型為基礎(chǔ)，分別及同時(shí)引入取值0/1的聯(lián)跳指示變量和Hawkes模型[23]估計(jì)的聯(lián)跳強(qiáng)度，擴(kuò)展出MHAR-CJ模型、MHAR-CI模型和MHAR-CJI模型。為了確保預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣的正定性，先對(duì)協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量進(jìn)行矩陣對(duì)數(shù)變換[8]或者Cholesky分解[9]，為變換后的序列構(gòu)建(擴(kuò)展的)MHAR模型進(jìn)行預(yù)測(cè)后，再重構(gòu)出協(xié)方差矩陣，并將相應(yīng)模型分別命名為L(zhǎng)OG-MHAR類模型和CF-MHAR類模型。

首先，根據(jù)全樣本參數(shù)估計(jì)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，無論是LOG-MHAR類模型還是CF-MHAR類模型，聯(lián)跳強(qiáng)度的貢獻(xiàn)始終較大而且顯著為正，引入聯(lián)跳強(qiáng)度后的擴(kuò)展模型比基準(zhǔn)模型都有最大程度的擬合優(yōu)度提升，表明通過Hawkes模型提煉的聯(lián)跳強(qiáng)度蘊(yùn)含著更豐富的協(xié)方差預(yù)測(cè)有益信息，這一信息的引入能顯著提升模型的樣本內(nèi)擬合性能。其次，在樣本外預(yù)測(cè)性能方面，通過對(duì)MSE和MAE損失函數(shù)值的比較以及在MSE和MAE指標(biāo)下的DM檢驗(yàn)可知，無論是LOG-MHAR類模型還是CF-MHAR類模型，引入聯(lián)跳強(qiáng)度后的模型相對(duì)于基準(zhǔn)模型都有統(tǒng)計(jì)意義上顯著更高的預(yù)測(cè)精度；而在經(jīng)濟(jì)意義層面，通過將各MHAR類模型的樣本外預(yù)測(cè)應(yīng)用于GMVP策略可以發(fā)現(xiàn)，引入聯(lián)跳強(qiáng)度變量能夠降低投資組合方差。因此，樣本外的檢驗(yàn)結(jié)果與樣本內(nèi)一致，同樣揭示了聯(lián)跳強(qiáng)度所蘊(yùn)含的協(xié)方差預(yù)測(cè)有益信息。此外，在MSE、MAE和組合方差指標(biāo)下進(jìn)行MCS檢驗(yàn)的結(jié)果表明，在MSE指標(biāo)下CF-MHAR類模型相對(duì)優(yōu)于LOG-MHAR類模型，但優(yōu)勢(shì)并不顯著；而在MAE和組合方差指標(biāo)下LOG-MHAR類模型都顯著勝出CF-MHAR類模型，其中LOG-MHAR-CJI模型則是引入聯(lián)跳信息的最優(yōu)形式。

表7 協(xié)方差模型用于GMVP策略的組合方差Table 7 GMVP Strategy′s Portfolio Variance of the Covariance Models

本研究的實(shí)證結(jié)果具有明確的經(jīng)濟(jì)含義，跨行業(yè)多資產(chǎn)價(jià)格的聯(lián)跳往往是由能影響整個(gè)資本市場(chǎng)的宏觀信息導(dǎo)致的，基準(zhǔn)MHAR模型的回歸量中僅包含單資產(chǎn)方差及兩兩資產(chǎn)之間協(xié)方差的信息，而未考慮到宏觀信息的影響；在多資產(chǎn)協(xié)方差模型中引入聯(lián)跳信息，也就相當(dāng)于將歷史信息中反映市場(chǎng)宏觀信息的部分包含在解釋變量中。引入聯(lián)跳后模型擬合及預(yù)測(cè)能力的顯著改善以及將協(xié)方差預(yù)測(cè)應(yīng)用到GMVP資產(chǎn)配置策略后組合風(fēng)險(xiǎn)的降低，都證明了這些宏觀信息對(duì)多資產(chǎn)協(xié)方差預(yù)測(cè)有較顯著的貢獻(xiàn)，肯定了在協(xié)方差預(yù)測(cè)模型中引入聯(lián)跳的重要價(jià)值。本研究的結(jié)論對(duì)于金融管理者和投資者進(jìn)行金融風(fēng)險(xiǎn)管理及資產(chǎn)配置都具有實(shí)際指導(dǎo)意義。

本研究?jī)H是在多(>2)資產(chǎn)協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量預(yù)測(cè)模型中引入聯(lián)跳的初步探索，以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步拓展的方向包括：①?gòu)亩噘Y產(chǎn)協(xié)方差預(yù)測(cè)拓展到包含數(shù)十乃至上百資產(chǎn)的超高維協(xié)方差預(yù)測(cè)，以更好地滿足實(shí)務(wù)需求，其中對(duì)超高維矩陣的處理可以借鑒HAUTSCH et al.[32]的分塊正則化(blocking and regularization,BnR)方法，并基于隨機(jī)矩陣?yán)碚?random matrix theory,RMT)對(duì)超高維矩陣合理去噪[33]。②全面比較采用各種協(xié)方差已實(shí)現(xiàn)估計(jì)量以及常用協(xié)方差模型[11]時(shí)引入聯(lián)跳的合理方式和效果，進(jìn)一步探索預(yù)測(cè)結(jié)合技術(shù)應(yīng)用帶來的預(yù)測(cè)性能改善，為實(shí)務(wù)應(yīng)用提供更準(zhǔn)確的協(xié)方差預(yù)測(cè)模型。

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TheRoleofCojumpsinForecastingCovarianceMatricesinChineseStockMarkets:AStudyBasedontheMultivariateHARModel

QU Hui，JI Ping

School of Management and Engineering, Nanjing University, Nanjing 210093, China

The time-varying covariance matrix of the financial assets is the key for financial applications such as portfolio allocation and risk management. Previous studies on covariance matrix forecasting use daily or even lower frequency data, causing the problems of parameter estimation difficulty and curse of dimensionality.

With intraday high-frequency data, non-parametric estimators of the covariance matrix can be constructed. This turns the covariance matrix from hidden to an observable variable that can be directly modeled, thus reducing the complexity of covariance model estimation and increasing the applicability of covariance models in high-dimension applications. Furthermore, with high-frequency data, cojumps can be identified, which refers to jumps of multiple asset prices in the same intraday sampling interval. Cojumps are often triggered by macroeconomic news announcements and policy releases, and such macro-information will eventually be absorbed and reflected in the covariance matrix. Thus, we argue that cojumps may contain information beneficial for covariance forecasting and propose to identify cojumps and use them in the covariance forecasting models.

The multivariate heterogeneous autoregressive(MHAR) model is used as the benchmark model for the nonparametric covariance matrix estimator. The cojump indicators and the cojump intensities estimated by the Hawkes model are included as additional predictors, first separately and then simultaneously. Based on the mean squared error and the mean absolute error criteria, the three extended MHAR models are each compared with the benchmark using the Diebold Mariano test in terms of their out-of-sample forecast performance. The model confidence set test is then used to identify the best models. Besides, the out-of-sample forecasts are used in the global minimum variance portfolio strategy to justify the economic value of the extended models.

We consider five high liquidity stocks from different sectors of the SSE 50 index and employ their five-minute prices. Empirical results show that: ①compared with the cojump indicators, the cojump intensities have more significant contribution to covariance matrix forecasting; ②incorporating the cojump intensities can significantly improve the fit and forecast performance of the MHAR model; ③the extended MHAR model that uses matrix log transformation to ensure positive definiteness and incorporates both the cojump intensities and the cojump indicators is superior, both statistically and economically.

The above results confirm the role of cojumps in forecasting covariance matrices in Chinese stock markets, as well as reveal the contribution of macro-information to covariance forecasting. This study provides practical guidance for financial managers and investors in their financial risk management and asset allocation practices.

covariance forecasting；cojump；multivariate heterogeneous autoregressive model；Hawkes model；model confidence set(MCS) test；global minimum variance portfolio

Date:June 14th, 2016

DateOctober 9th, 2016

FundedProject:Supported by the National Natural Science Foundation of China(71671084,71201075) and the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Ministry of Education of People′s Republic of China(20120091120003)

Biography:QU Hui, doctor in philosophy, is an associate professor in the School of Management and Engineering at Nanjing University. Her research interests include financial risk management and investment decisions. Her representative paper titled “Forecasting realized volatility in electricity markets using logistic smooth transition heterogeneous autoregressive models” was published in theEnergyEconomics(Vol 54, 2016). E-mail： linda59qu@nju.edu.cn

JI Ping is a master degree in the School of Management and Engineering at Nanjing University. Her research interest focuses on financial engineering. Her representative paper titled “Modeling realized volatility dynamics with a genetic algorithm” was published in theJournalofForecasting(Issue 5, 2016). E-mail：belinda_nju@163.com

F830.91

A

10.3969/j.issn.1672-0334.2016.06.003

1672-0334(2016)06-0028-11

2016-06-14修返日期2016-10-09

國(guó)家自然科學(xué)基金(71671084,71201075)；教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20120091120003)

瞿慧，哲學(xué)博士，南京大學(xué)工程管理學(xué)院副教授，研究方向?yàn)榻鹑陲L(fēng)險(xiǎn)管理與投資決策等，代表性學(xué)術(shù)成果為“Forecasting realized volatility in electricity markets using logistic smooth transition heterogeneous autoregressive models”，發(fā)表在2016年第54卷《Energy Economics》，E-mail：linda59qu@nju.edu.cn

紀(jì)萍，南京大學(xué)工程管理學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)榻鹑诠こ痰?，代表性學(xué)術(shù)成果為“Modeling realized volatility dynamics with a genetic algorithm”，發(fā)表在2016年第5期《Journal of Forecasting》，E-mail：belinda_nju@163.com

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