梁彎曲正應(yīng)力公式適用條件探討

韓芳，磨季云，李明方

（1. 武漢科技大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430081；2. 冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430081）

梁彎曲正應(yīng)力公式適用條件探討

韓芳1，2，磨季云1，李明方1

（1. 武漢科技大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430081；2. 冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430081）

材料力學(xué)和彈性力學(xué)作為工科類專業(yè)的一門基礎(chǔ)課，公式較為復(fù)雜.針對(duì)材料力學(xué)和彈性力學(xué)中對(duì)梁彎曲正應(yīng)力推導(dǎo)方式的不同，基于彈性力學(xué)有限元理論，采用有限元數(shù)值仿真軟件模擬不同跨高比條件下梁彎曲正應(yīng)力的數(shù)值解，并與材料力學(xué)近似解進(jìn)行對(duì)比和誤差分析，得到深梁和淺梁彎曲正應(yīng)力公式的適用條件，為學(xué)生更形象直觀地理解知識(shí)點(diǎn)提供新的視角.

彈性力學(xué)；材料力學(xué)；彎曲正應(yīng)力；力學(xué)課程

力學(xué)是理工科學(xué)生的基礎(chǔ)課，目前在力學(xué)課程教學(xué)中，材料力學(xué)在求解橫力彎曲梁構(gòu)件的彎曲正應(yīng)力時(shí)沿用了純彎曲時(shí)的計(jì)算公式，即采用了平面假定和各縱向纖維無擠壓的假定，得出的解是近似的［1］；彈性力學(xué)采用半逆解法對(duì)均布荷載作用下的梁構(gòu)件進(jìn)行了受力分析，結(jié)果形式復(fù)雜但精度較高［2-3］.一些研究人員對(duì)深梁和淺梁的應(yīng)力分析也展開了討論［4-6］，授課過程中學(xué)生也會(huì)對(duì)2門課的同一個(gè)問題的不同解法產(chǎn)生疑慮.為了更直觀地表現(xiàn)應(yīng)力解隨跨高比的變化規(guī)律，本文基于彈性力學(xué)有限元理論，采用有限元分析軟件ANSYS對(duì)不同跨高比條件下的梁進(jìn)行受力分析［7-8］，得到其彎曲正應(yīng)力隨跨高比變化的分布規(guī)律，為學(xué)生更形象直觀地理解知識(shí)點(diǎn)提供新的視角.

1 材料力學(xué)解

材料力學(xué)在求解橫力彎曲梁構(gòu)件的彎曲正應(yīng)力時(shí)沿用了純彎曲時(shí)的計(jì)算公式，即采用了平面假定和各縱向纖維無擠壓的假定，通過應(yīng)力應(yīng)變之間的物理關(guān)系，找出正應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律，再利用靜力平衡條件得到彎曲正應(yīng)力與橫截面上彎矩間的關(guān)系，得到近似解［9-10］

其中：M為橫截面上的彎矩；Iz為截面的形心主慣性矩；y為橫截面上正應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)處到中性軸的距離.

2 彈性力學(xué)解

取單位寬帶的矩形截面簡(jiǎn)支梁（高度為h，長(zhǎng)度為2l，不計(jì)體力）分析在均布荷載q作用下簡(jiǎn)支梁的彎曲正應(yīng)力，經(jīng)過假設(shè)應(yīng)力分量函數(shù)形式，推求應(yīng)力函數(shù)，由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)，由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量，代入邊界條件等步驟后，得到彎曲正應(yīng)力解析表達(dá)式

3 有限元建模與分析

圖1 跨高比為2時(shí)的模型（深梁）

圖2 跨高比為10時(shí)的模型（淺梁）

取跨中節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力和位移為考察點(diǎn)，得到不同跨高比條件下的應(yīng)力解和位移解見表1、表2，應(yīng)力誤差和位移誤差見圖3、圖4.

表1 不同跨高比條件下材料力學(xué)解與有限元解應(yīng)力對(duì)比分析

表2 不同跨高比條件下材料力學(xué)解與有限元解位移對(duì)比分析

圖3 不同跨高比條件下的應(yīng)力誤差

圖4 不同跨高比條件下的位移誤差

從圖3可以看出，隨著跨高比的增大，材料力學(xué)公式解和彈性力學(xué)有限元解之間的誤差逐步在減小.當(dāng)跨高比在1～2.5之間，曲線變化陡降，誤差較大；當(dāng)跨高比大于2.5時(shí)，其應(yīng)力誤差已小于工程上所允許的最大誤差值5%，在可接受的范圍內(nèi)，此后誤差保持在一個(gè)相當(dāng)?shù)偷乃?，這表明跨高比對(duì)節(jié)點(diǎn)應(yīng)力的影響較小，可以忽略不計(jì).換言之，采用材料力學(xué)應(yīng)力公式求解梁的彎曲正應(yīng)力是符合工程精度要求的.

從圖4可以看出，隨著跨高比的增大，位移誤差逐步在減小.當(dāng)跨高比在1～5之間，曲線變化陡降，誤差較大；當(dāng)跨高比大于5時(shí)，其位移誤差已在工程上所允許的范圍內(nèi).

通過對(duì)比材料力學(xué)解析解和彈性力學(xué)數(shù)值解的區(qū)別，可以為學(xué)生這樣解釋：深梁在均布荷載作用下，除受彎矩作用產(chǎn)生變形和應(yīng)力以外，還因剪力作用梁上任意兩個(gè)相鄰截面之間發(fā)生了相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，產(chǎn)生附加撓度，同時(shí)剪應(yīng)力沿橫截面高度的非均勻分布使得截面不再保持為平面而引起翹曲，從而影響彎曲正應(yīng)力的分布，區(qū)別于材料力學(xué)中的淺梁解.數(shù)值計(jì)算表明，當(dāng)跨高比不小于5時(shí)，梁中各節(jié)點(diǎn)的正應(yīng)力公式解和有限元解之間相差不大，已在可允許的范圍之內(nèi)，在工程實(shí)際計(jì)算中采用材料力學(xué)公式解是可行的，但當(dāng)跨高比小于5時(shí)，公式解的誤差太大，必須按照彈性力學(xué)求解.

4 結(jié)論

針對(duì)材料力學(xué)和彈性力學(xué)中對(duì)于梁彎曲正應(yīng)力的公式推導(dǎo)過程的不同，采用數(shù)值仿真技術(shù)直觀顯示梁彎曲正應(yīng)力隨梁跨高比的變化，定量得到公式的適用條件，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶.

［1］ 李卓球.工程力學(xué)［M］.武漢：武漢理工大學(xué)出版社，2009

［2］ 徐芝綸.彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程［M］.北京：高等教育出版社，2002

［3］ 王潤(rùn)富.彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)［M］.北京：高等教育出版社，2004

［4］ 孫曄青.對(duì)橫力彎曲梁的正應(yīng)力和撓度計(jì)算精度的研究［J］.南昌航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，14（4）：56-60

［5］ 梅甫良，曾德順.深梁的精確解［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2002，24（1）：58-60

［6］ 徐禮華，池寅，李榮渝，等.鋼纖維混凝土深梁非線性有限元分析ANSYS中的實(shí)現(xiàn)［J］.巖土力學(xué)，2008，29（9）：2577-2582

［7］ 董冠文，李宗義，王澤萌，等.工程力學(xué)的教學(xué)改革研究［J］.高師理科學(xué)刊，2015，35（4）：93-97

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［9］ 夏桂云，曾慶元.深梁理論的研究現(xiàn)狀與工程應(yīng)用［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2015，37（3）：302-316

［10］ 周道祥.用材料力學(xué)解的切應(yīng)力求解彈性力學(xué)問題［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2010，32（2）：116-118

Discussion on application conditions of bending normal stress in mechanics

HAN Fang1，2，MO Ji-yun1，LI Ming-fang1
（1. School of Science，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China；
2. Hubei Province Key Laboratory of Systems Science in Metallurgical Process，Wuhan 430081，China）

Mechanics of materials and elasticity is an important course for engineering major students as its abstract theory and various formulas. For the different derivation process of the bending normal stress for deep beam and shallow beam in elastic mechanics and material mechanics，does research on the numerical solution for the bending normal stress of beams with different span-depth ratio based on the software and elastic finite element method theory. The simulation results are compared with the analytical solution and the application conditions of bending normal stress of deep beam and shallow beam are obtained applying a new viewpoint for understanding.

elastic mechanics；material mechanics；bending normal stress；mechanics

O34∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.06.027

1007-9831（2016）06-0092-03

2016-05-15

冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目（Y201519）

韓芳（1980-），女，湖北丹江口人，副教授，博士，主要從事工程力學(xué)研究.E-mail：hanfang522@163.com