基于CARR模型與GARCH模型對(duì)VaR的比較研究

鄭 興，王 沁，周炳均，周思娟

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756)

基于CARR模型與GARCH模型對(duì)VaR的比較研究

鄭 興，王 沁，周炳均，周思娟

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756)

研究了在一般情形下和極端風(fēng)險(xiǎn)下的風(fēng)險(xiǎn)度量，分別采用基于極差、收益率為變量建模的CARR模型、GARCH模型應(yīng)用于VaR的計(jì)算，結(jié)合深證成指的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，分別對(duì)比在不同分布下GARCH模型和CARR模型計(jì)算出的VaR，最終得出基于在廣義伽馬分布下CARR模型算出的VaR值，能更加真實(shí)地反映深證股市極端情形下風(fēng)險(xiǎn)程度，而基于T分布下的GARCH模型更加真實(shí)地反映深證股市一般情形下的風(fēng)險(xiǎn)程度.

VaR；CARR模型；GARCH模型

近三十年來(lái)，隨著全球金融的發(fā)展以及中國(guó)金融市場(chǎng)的不斷發(fā)展與完善，以大規(guī)模金融資產(chǎn)為基礎(chǔ)出現(xiàn)的金融衍生品越來(lái)越多，這些新的金融衍生品在推動(dòng)國(guó)際金融創(chuàng)新的同時(shí)也加劇了國(guó)際金融市場(chǎng)的劇烈波動(dòng)，導(dǎo)致的直接后果就是各種全球性的金融危機(jī)頻發(fā).中國(guó)，作為一個(gè)全球第二大經(jīng)濟(jì)體的發(fā)展中國(guó)家，在全球性金融危機(jī)中難免會(huì)遭受沖擊，如何進(jìn)行有效的金融風(fēng)險(xiǎn)度量和管理對(duì)目前中國(guó)經(jīng)濟(jì)的健康持續(xù)發(fā)展尤為重要.

金融風(fēng)險(xiǎn)管理是現(xiàn)代金融機(jī)構(gòu)管理的基礎(chǔ)和核心.而風(fēng)險(xiǎn)管理的核心在于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量和評(píng)估，全球通用指標(biāo)是在險(xiǎn)價(jià)值即風(fēng)險(xiǎn)度量VaR(Value at Risk)[1]，在現(xiàn)有的VaR計(jì)算方法中，運(yùn)用最多的是GARCH類(lèi)模型計(jì)算VaR.

近年來(lái)，GARCH模型族被廣泛應(yīng)用于VaR值的計(jì)算，根據(jù)收益率的計(jì)算方法以及結(jié)合GARCH模型來(lái)求VaR值來(lái)看，其用來(lái)度量正常市場(chǎng)中的一般風(fēng)險(xiǎn).而極端事件才是造成風(fēng)險(xiǎn)的主要因素.近三十年內(nèi)，各種全球性的金融危機(jī)頻發(fā)，1982—1983年，拉美債務(wù)危機(jī)，1990年，日本經(jīng)濟(jì)大衰退，1992—1993年，歐洲貨幣體系危機(jī)，1994—1995年，墨西哥金融危機(jī)，1997年，亞洲金融危機(jī)，2007年，美國(guó)次貸危機(jī)，再到2014年，俄羅斯盧布危機(jī)，在這些金融極端事件頻發(fā)時(shí)，一個(gè)國(guó)家的股市出現(xiàn)巨幅下跌的情況，就會(huì)在全球范圍內(nèi)引起“多米諾骨牌”效應(yīng)，此類(lèi)事件所引發(fā)的全球股市循環(huán)暴跌引起了證券界乃至國(guó)際輿論的廣泛關(guān)注，針對(duì)我國(guó)股票市場(chǎng)出現(xiàn)的這種頻繁巨幅漲跌動(dòng)蕩現(xiàn)象，準(zhǔn)確地度量和管理這些極端風(fēng)險(xiǎn)才是金融風(fēng)險(xiǎn)管理的關(guān)鍵.因此應(yīng)基于最高價(jià)和最低價(jià)的極差來(lái)建立刻畫(huà)極端情形下的風(fēng)險(xiǎn)度量模型.

條件自回歸極差模型(CARR)，它是由臺(tái)灣學(xué)者周雨田[2]將極差和GARCH模型思想結(jié)合提出來(lái)的. CARR模型是對(duì)極差建立條件異方差模型，包含了每一時(shí)間段的最高價(jià)和最低價(jià)，更充分的提取極端情形下的波動(dòng)信息.張書(shū)林(2011)[3]將參數(shù)CARR模型運(yùn)用到我國(guó)黃金現(xiàn)貨市場(chǎng)中，通過(guò)MZ回歸方程和Diebold-Mariano檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)參數(shù)CARR模型的預(yù)測(cè)能力比GARCH模型優(yōu)越.李振(2013)[4]基于CARR模型研究了我國(guó)股市波動(dòng)及其交易量的關(guān)系，實(shí)證結(jié)果表明GCARR-X模型對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)非對(duì)稱(chēng)性的解釋能力較強(qiáng).可見(jiàn)CARR模型是利用極差刻畫(huà)波動(dòng)的優(yōu)越模型，極差也是一個(gè)研究熱點(diǎn)，本文也將基于CARR模型來(lái)研究極端風(fēng)險(xiǎn)的度量.

1 CARR模型與VaR的計(jì)算

1.1 CARR模型的結(jié)構(gòu)

CARR模型是對(duì)極差所建立的模型，其結(jié)構(gòu)為:

所以，CARR模型的均值和方差隨時(shí)間波動(dòng)而波動(dòng)，這是與GARCH模型完全不同的特點(diǎn)，而且方差的波動(dòng)具有持續(xù)性和聚集性，保持了GARCH模型的特點(diǎn)，而優(yōu)于GARCH模型，所以利用CARR模型刻畫(huà)金融市場(chǎng)在極端風(fēng)險(xiǎn)情形下的風(fēng)險(xiǎn)度量更有效.

1.2 CARR模型的參數(shù)估計(jì)

常用的GARCH模型通常GARCH項(xiàng)[5]和ARCH項(xiàng)都是一階的，所以常用滯后階數(shù)(p，q)為(1，1)的CARR模型，隨機(jī)擾動(dòng)εt常用的分布是指數(shù)分布、威布爾分布[6]和廣義伽馬分布，其相應(yīng)的似然函數(shù)分別為:

且通過(guò)對(duì)數(shù)似然函數(shù)就可以估計(jì)出不同分布的CARR模型的參數(shù)的極大似然估計(jì).

1.3 基于CARR模型計(jì)算VaR

所謂VaR，即“Value at Risk”的縮寫(xiě)，含義為“風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值”，代表在一定置信水平下(confidence Level，通常是95%或99%)，一定持有期內(nèi)某一資產(chǎn)或投資組合預(yù)期可能發(fā)生的最大損失值.

確切的說(shuō)，VaR[7]可表示為:

通常直接利用P(r(t)＜VaR)＝1ˉα來(lái)計(jì)算VaR.

所以用R(t)來(lái)代替r(t)，又因?yàn)橛辛俗畲笾岛妥钚≈担涂梢钥坍?huà)極端情形下的風(fēng)險(xiǎn)，基于CARR模型的結(jié)構(gòu)以及極大似然估計(jì)的算法可以推倒出極端情況下的:

根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)出CARR(1，1)模型中參數(shù)ω，α1，η1具體值，就可以計(jì)算出λt的值.

算出極差序列Rt均值和方差，再根據(jù)VaR計(jì)算式得一定1ˉα置信水平的資產(chǎn)VaR值.

1.4 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的方法有很多，這里主要介紹赤池信息量準(zhǔn)則(AIC準(zhǔn)則)[8]，具體如下:

AIC值＝一2?對(duì)數(shù)極大似然值十2?獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)，通過(guò)計(jì)算AIC統(tǒng)計(jì)量評(píng)價(jià)模型的擬合優(yōu)度.進(jìn)行模型選擇時(shí)，希望AIC值越小越好.

2 GARCH模型與VaR的驗(yàn)證方法

2.1 模型的結(jié)構(gòu)

GARCH(p，q)[9]模型的表達(dá)式為:

本文基于正態(tài)分布，T分布，GED分布[10]下研究基于GARCH模型的VaR的計(jì)算問(wèn)題[11]，已知GARCH模型參數(shù)的極大似然估計(jì)在MATLAB中可以通過(guò)命令garchset指定GARCH模型的結(jié)構(gòu)、命令garchfit對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)以及似然比檢驗(yàn).

2.2 VaR的驗(yàn)證方法-似然比(LR)檢驗(yàn)

通過(guò)GARCH模型和CARR模型都能得出VaR的值，為了檢驗(yàn)VaR值的準(zhǔn)確性和有效性，利用似然比方法來(lái)檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果，

似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中只有P這個(gè)估計(jì)量需要估計(jì)，所以它是服從自由度為1的χ2分布.當(dāng)β(1)，接受原假設(shè)，當(dāng)，拒絕原假設(shè).接受原假設(shè)就說(shuō)明VaR計(jì)算是合理的，而且失敗天數(shù)的計(jì)算就進(jìn)一步說(shuō)明VaR計(jì)算是有效的.

3 實(shí)證研究-CARR模型與GARCH模型對(duì)VaR的比較

3.1 數(shù)據(jù)選取

本文選取了深證成指從2010年1月4日到2014年12月8日共計(jì)1194個(gè)交易日的數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)是1193個(gè).其中包括了每日收盤(pán)價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)、收盤(pán)價(jià)，數(shù)據(jù)來(lái)源于大智慧軟件.首先定義極差和收益率，極差為:其中為t日最高價(jià)、為t日最低價(jià)；收益率為，其中為t日的收盤(pán)價(jià).首先用Eviews對(duì)極差和收益率序列做相應(yīng)的直觀分析，結(jié)果如下:

圖1 深證成指極差和收益率的序列圖Fig.1 Sequence chart of range and rate on return of shenzhen component index

3.2 深圳成指的時(shí)間序列特征、平穩(wěn)性分析

表1 深證成指的基本統(tǒng)計(jì)特征Table 1 Basic statistical characteristics of shenzhen component index

由表1可得:從深證成指的極差和對(duì)數(shù)收益的偏度、峰度以及相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量的值可以看出，深證成指的極差的峰度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于3，具有“尖峰”的特性，偏度是大于0的，保證了右偏的特征；收益率序列的峰度比3大一點(diǎn)，不符合正態(tài)分布的特征，偏度小于0，是左偏的特征.

表2 深證成指的極差和收益率序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)Table 2 Stationarity test of range and rate on return sequence of shenzhen component index

表2的結(jié)論是用單位根方法檢驗(yàn)的結(jié)果，從P值和5%標(biāo)準(zhǔn)下可以看出序列具有平穩(wěn)性.

3.3 深證成指極差和收益率序列相關(guān)性、異方差性檢驗(yàn)

圖2 深證成指極差和收益率自相關(guān)圖Fig.2 Auto-correction chart of range and rate on return of shenzhen component index

極差和收益率的10階之后計(jì)算自相關(guān)函數(shù)值和偏相關(guān)函數(shù)值，如圖2所示，可以看出極差序列之間相關(guān)性顯著，但是收益率之間相關(guān)性并不顯著.

3.4 CARR模型、GARCH模型的參數(shù)估計(jì)

考慮到兩種模型的特殊性，于是基于指數(shù)分布，韋布分布，廣義伽馬分下研究CARR模型，基于正態(tài)分布，T分布，GED分布下研究GARCH模型[13].因?yàn)榉植疾煌?，很難把他們放在一起進(jìn)行比較研究，所以我們要做的是初步選擇每種模型的最佳分布，然后再兩者比較，得出最能夠擬合原始數(shù)據(jù)的模型，驗(yàn)證VaR值.用MATLAB做參數(shù)估計(jì)時(shí)建立CARR(1，1)類(lèi)模型.如下:

以下是通過(guò)MATLAB計(jì)算出來(lái)的深證成指CARR模型結(jié)果:

表3 不同分布下CARR模型的估計(jì)結(jié)果Table 3 Estimation results of cARR model in different distributions

由表3我們得到極大似然估計(jì)值，且通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的AIC值判斷三個(gè)模型中GCARR(1，1)模型擬合優(yōu)度最好，故選擇GCARR(1，1)模型.

對(duì)收益率序列建立GARCH(1，1)模型，參數(shù)估計(jì)如下表示:

表4 不同分布下GARCH模型的估計(jì)結(jié)果Table 4 Estimation results of GARCH model in different distributions

由表4我們得到了參數(shù)的極大似然估計(jì)值，且通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的AIC值判斷三個(gè)模型中GARCH-T (1，1)模型的擬合優(yōu)度最佳，故選擇基于T分布下的GARCH(1，1)模型.

T分布下GARCH(1，1)模型的表達(dá)式為:

接下來(lái)，根據(jù)建立的兩個(gè)最佳模型來(lái)計(jì)算相應(yīng)的VaR值.

表5 CARR-G(1，1)和GARCH-T(1，1)[14]的VaR值Table 5 VaR value of CARR-G(1，1)and GARCH-T(1，1)[14]

由表5我們可以看出，根據(jù)深證成指數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的CARR-G模型的VaR均值高于GARCH-T模型，估計(jì)的失敗天數(shù)也相差很明顯.無(wú)論是在95%還是99%置信水平下，GCARR計(jì)算的VaR的失敗率都大于5%，這說(shuō)明模型在95%、99%置信水平下估計(jì)的VaR是雖然不精確的，但驗(yàn)證了CARR模型刻畫(huà)的是極端情況下的風(fēng)險(xiǎn).而GARCH-T模型計(jì)算出來(lái)的VaR的失敗率都小于5%，并且在95%的置性水平下，GARCH-T模型下VaR的失敗接近于5%，由此可以看出對(duì)于深證成指數(shù)據(jù)而言，說(shuō)明GARCH-T模型估計(jì)的VaR比較保守，高估了風(fēng)險(xiǎn)，正驗(yàn)證了GARCH模型刻畫(huà)的一般狀態(tài)下的風(fēng)險(xiǎn).

3.6 VaR的驗(yàn)證

表5根據(jù)深證成指數(shù)據(jù)計(jì)算得出的VaR值，需要檢驗(yàn)它的準(zhǔn)確性和有效性.這里為了評(píng)價(jià)WCARR (1，1)模型和GARCH-T(1，1)模型的擬合度，即兩模型是否能夠有效地對(duì)資產(chǎn)收益作出解釋?zhuān)枰獙?duì)估計(jì)的VaR進(jìn)行驗(yàn)證，引入上述似然比檢驗(yàn)方法.如下是通過(guò)計(jì)算得到的似然比率檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，(已知

表6 似然比率統(tǒng)計(jì)量Table 6 Likelihood ratio statistics

通過(guò)表5我們初步驗(yàn)證GARCH模型計(jì)算出來(lái)的VaR值較CARR模型合理，這里做進(jìn)一步驗(yàn)證，如表6，用Kupeic(1995)提出的LR統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)，我們可以得出結(jié)論:對(duì)于深證成指數(shù)據(jù)而言，不同置信度水平下，T分布下GARCH(1，1)模型下的VaR估計(jì)結(jié)果是合理的，說(shuō)明被檢驗(yàn)的模型能夠很好的擬合深圳成指的實(shí)際數(shù)據(jù).

綜合表5和表6，我們可以得出結(jié)論:在廣義伽馬分布下，利用CARR模型估計(jì)深證成指數(shù)據(jù)的VaR值雖然比較大，這正因?yàn)樗坍?huà)了極端情形下的風(fēng)險(xiǎn).而在T分布下，雖然通過(guò)變換不同的置信度水平，但GARCH模型下估計(jì)的VaR仍都比較合理，而且可以發(fā)現(xiàn)99%置信度水平下采用T分布下GARCH(1，1)來(lái)估計(jì)深圳成指VaR是更合理的.

4 結(jié)論

本文為了更加有效地度量金融資產(chǎn)的VaR，考慮到股市的一般風(fēng)險(xiǎn)和極端風(fēng)險(xiǎn)，分別采用能夠刻畫(huà)一般風(fēng)險(xiǎn)的GARCH模型和刻畫(huà)極端風(fēng)險(xiǎn)的CARR模型，建立基于指數(shù)分布，韋布分布，廣義伽馬分布下建立CARR模型[14]，同樣為了對(duì)比，又分別建立正態(tài)分布，T分布，GED分布下建立GARCH模型，根據(jù)不同殘差分布的假定下分別對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)，通過(guò)模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，選取了基于兩種模型的最佳分布: CARR-G模型和GARCH-T模型，然后分別對(duì)估計(jì)的模型在95%、99%置信水平下計(jì)算其對(duì)應(yīng)的VaR值，最后對(duì)VaR值進(jìn)行了失敗率檢驗(yàn).本文采用了深證成指這四年的歷史最高價(jià)，最低價(jià)和收盤(pán)價(jià)計(jì)算VaR，通過(guò)對(duì)以上數(shù)據(jù)的分析，我們可以看出:在95%、99%的置信水平下，就VaR值而言，CARR-G模型下VaR值的均值較GARCH-T模型要大，這正符合了用CARR模型來(lái)刻畫(huà)極端情形下的風(fēng)險(xiǎn)來(lái)估計(jì)VaR值的特征.從失敗率的角度看，T分布下GARCH模型下計(jì)算的VaR值在95%、99%的置信水平下所得的VaR的失敗率均小于5%，結(jié)合VaR的似然比檢驗(yàn)結(jié)果，我們可以看出GARCH-T(1，1)模型在95%、 99%置信水平下都比較適合.雖然GARCH-T(1，1)模型下VaR的失敗率比較小，但是考慮到該模型刻畫(huà)的僅是一般情況下的風(fēng)險(xiǎn)，所以就解釋了結(jié)果過(guò)于保守這一說(shuō)法.

綜合可以說(shuō)明在T分布的GARCH模型下度量的深證股市一般情況下的金融風(fēng)險(xiǎn)合理，而廣義伽馬分布的CARR模型[15]下度量的極端情況下的金融風(fēng)險(xiǎn)合理，兩者都能有效地管理深證股市的資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn).

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(責(zé)任編輯:付強(qiáng)，張陽(yáng)，李建忠，羅敏；英文編輯:周序林)

Comparative study of VaR based on CARR and GARCH model

ZHENG Xing，WANG Qin，ZHOU Bing-jun，ZHOU Si-juan
(School of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 611756，P.R.C.)

The paper studies the risk measurement in general and extreme cases，calculates the VaRs under the CARR Model and GARCH Model which are respectively based on the variables of range and rate on return，conducts the empirical analysis on the actual data of SZSE Component Index，compares the VaRs calculated by GARCH Model and CARR Model in different distributions，and finally obtains VaR value calculated by CARR Model in Generalized Gama Distribution，and the value can more truly reflect the risk degree of the Shenzhen component stock market in extreme cases，and the VaR value calculated by GARCH Model in the T-distribution can more truly reflect the risk degree of the Shenzhen component stock market in general cases.

VaR；CARR model；GARCH model

F272.5

A

2095-4271(2016)05-0567-06

10.11920/xnmdzk.2016.05.017

2016-03-03

鄭興(1991—)，女，漢族，安徽人，碩士研究生，研究方向:金融統(tǒng)計(jì).E-mail:swjtumaster＠163.com

王沁(1973—)，女，漢族，四川人，副教授，研究方向:金融統(tǒng)計(jì)、管理科學(xué)與工程、時(shí)間序列分析.E-mail:wangqin＠home.swjtu.edu.cn

2012年國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(71201131)；重慶市群與國(guó)的理論及重要實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題基金資助(KFJJ1404)