半序概率度量空間中增算子的不動(dòng)點(diǎn)定理

朱奮秀

(湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院法商學(xué)院，湖北 武漢 430205)

半序概率度量空間中增算子的不動(dòng)點(diǎn)定理

朱奮秀

(湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院法商學(xué)院，湖北 武漢 430205)

不動(dòng)點(diǎn)理論是非線性泛函分析的重要組成部分，對(duì)非線性微分積分方程的研究有重要意義.半序方法是研究非線性算子方程問(wèn)題的主要方法之一，在概率度量空間中通過(guò)泛函引入半序，并利用此半序研究概率度量空間中增算子的不動(dòng)點(diǎn)的存在性問(wèn)題，得到一些不動(dòng)點(diǎn)存在性定理.

半序概率度量空間；不動(dòng)點(diǎn)；增算子

1 預(yù)備知識(shí)

眾所周知，非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題是非線性泛函分析研究的主要內(nèi)容之一，而且不動(dòng)點(diǎn)理論在非線性積分方程和微分方程中有廣泛的應(yīng)用.1976年，Caristi.J.利用泛函在度量空間中引入了一個(gè)半序并得到幾個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理.本文將在概率度量空間中引入半序關(guān)系，證明了幾個(gè)增算子的不動(dòng)點(diǎn)定理.

設(shè)R表示所有實(shí)數(shù)的集合，R＋表示所有非負(fù)實(shí)數(shù)的集合，映像稱為分布函數(shù)，如果它是非減的，左連續(xù)的，又滿足下列條件用D表示一切分布函數(shù)的集合，H(t)表示一特殊分布函數(shù)，其定義如下

Menger概率度量空間(簡(jiǎn)稱為Menger PM-空間)是一三元組，其中E是一抽象集，Δ為 tˉ范數(shù)，F(xiàn)是E×E到D的映像(記分布函數(shù)F(x， y)為Fx，y，而表示的值)，并且假定滿足下面的條件:

Fx，y(ε)＞1ˉλ，可以驗(yàn)證″≤″為(E，F(xiàn)，Δ)上的半序關(guān)系，稱此關(guān)系為由φ導(dǎo)出的半序.

定義2 設(shè)(E，F(xiàn)，Δ)是Menger概率度量空間，″≤″是由φ導(dǎo)出的半序，算子稱為序連續(xù)的，如果對(duì)任意單調(diào)列，其中x∈

定義3 稱A:E→E為一個(gè)增(減)算子，若?x， y∈E且x≤y有

引理1 設(shè)″≤″是概率度量空間(E，F(xiàn)，Δ)上由φ導(dǎo)出的半序，若x≤y，則

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)(E，F(xiàn)，Δ)是Menger概率度量空間，且tˉ范數(shù)連續(xù)且滿足為一有下界的連續(xù)泛函，″≤″是由φ導(dǎo)出的半序，又設(shè)A:E→E是關(guān)于″≤″的增算子，且存在x0∈E，使得x0≤Ax0.則A在E中存在不動(dòng)點(diǎn).

從而有xμ≤x?，?μ∈J.顯然，所以有對(duì)都有

從而有x?≤Ax?，x?∈E1，即x?是E1的一個(gè)上界，應(yīng)用zorn引理，有極大元，由≤A及A的單調(diào)性，，所以，由是E1的極大元，必有，即是A的不動(dòng)點(diǎn).

定理2 設(shè)(E，F(xiàn)，Δ)是Menger概率度量空間，且tˉ范數(shù)連續(xù)且滿足為一有上界的連續(xù)泛函，″≤″是由φ導(dǎo)出的半序，又設(shè)A:E→E是關(guān)于″≤″的增算子，且存在x0∈E，使得x0≥Ax0.則A在E中存在不動(dòng)點(diǎn).

證明:仿定理1的證明方法

注:上述定理與文[12]定理相比，弱化了對(duì)算子連續(xù)性的要求.

又由(E，F(xiàn)，Δ)中的半序的定義可得:

取N(ε，λ)＝max{N1(ε，λ)，N2(ε，λ)}，由xn＋1＝Axn和Menger概率度量空間中廣義三角不等式得，

又算子A單調(diào)增，因此有Axn≤Ayn，且，即對(duì)上述ε，λ，存在N?(ε，λ)，使得，因此有

因此有x?≤x，同理可證x≤y?.

[1]CARISI J.Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness condition[J].Transactions of the American Mathematical Society，1976，215(1):241-251.

[2]ZHANG S S，YEOL J C，SHIN M K.Probabilistic Metric Space and Nonlinear Operator Theory[M].Chendu:Si-chuan University Press，1994.

[3]SUN Y.A fixed point theorems for mixed monotone operators with applications[J].Journal of Mathematical Analysis andApplications，1991，156:240-246.

[4]SUSHIL SHARMA.Common Fixed point Theorems in Fuzzy Metric spaces[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，127(3)345-352.

[5]ZHU C X.Some new fixed point theorems in probabilistic metric spaces [J].Applied Mathematics and Mechanics，1995，16(2):179-186.

[6]ZHU C X.Several nonlinear operator problems in the Menger PN spaces [J].Nonlinear Analysis，2006，65(7):1281-1284.

[7]張憲.半序度量空間中單調(diào)映射不動(dòng)點(diǎn)定理及混合單調(diào)映射的耦合不動(dòng)點(diǎn)定理[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001，44(4):641-646.

[8]張憲.序壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，48(5):973-978.

[9]尹建東.Fixed Point Theorems in Cone Metric Space[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010，23(1):171-178.

[10]尹建東，尹國(guó)昌.錐度量空間中增算子的不動(dòng)點(diǎn)定理[J].江西師范大學(xué)學(xué)，2010，34(2):208-210.

[11]朱傳喜，李菲菲.半序概率度量空間壓縮算子的不動(dòng)點(diǎn)理論[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011，24(3):562-566.

[12]葉梅燕，朱傳喜，陳曉莉，吳照奇.概率度量空間中的一類非線性算子方程的可解性[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào)(理科版)，2006，30(3):211-124.

[13]HU XINQI，ZHU FENXIU，HU X，et al.Common coupled fixed point theorems of mixed monotone mapping pairs in partially ordered metric spaces[C]//Computational Intelligence and Software Engineering，2009.CiSE 2009.International Conference on.IEEE，2009:1-4.

[14]朱奮秀.錐度量空間中二元序壓縮算子的不動(dòng)點(diǎn)定理[J].云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，24(增)35-38.

[15]郭大均.非線性分析中的半序方法[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2000.

(責(zé)任編輯:付強(qiáng)，張陽(yáng)，李建忠，羅敏；英文編輯:周序林)

Fixed point theorems of increasing operators in partially ordered probabilistic metric spaces

ZHU Fen-Xiu
(School of Law＆Business，Hubei University of Economics，Wuhan 430205，P.R.C.)

Fixed point theory is an indispensable part of nonlinear functional analysis and is of great significance in the research of differential and integral equations.Partially ordered method is one of the main methods in studying nonlinear problems.In this paper，a partial order is introduced by a function in Probabilistic Metric Spaces.Some existence problems of increasing operators are researched and some fixed point theorenms of increasing operators are gained in partially Ordered Probabilistic Metric Spaces by the partial order.

partially ordered probabilistic metric space；fixed point；increasing operator

O177.91

A

2095-4271(2016)05-0563-04

10.11920/xnmdzk.2016.05.016

2016-03-25

朱奮秀(1983—)，男，漢族，甘肅白銀人，講師，研究方向:非線性泛函分析.E-mail:zhufenxiu＠163.com

湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院法商學(xué)院科研資助項(xiàng)目(2016K12)