一類不確定非完整系統(tǒng)的控制器設(shè)計

馬 新

(淮南師范學(xué)院 金融學(xué)院,安徽 淮南 232001)

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一類不確定非完整系統(tǒng)的控制器設(shè)計

馬 新

(淮南師范學(xué)院 金融學(xué)院,安徽 淮南 232001)

考慮一類具有非線性漂移控制方向未知的非完整系統(tǒng)的魯棒控制問題.在控制器設(shè)計中,為使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)換有效和防止有限時間逃逸現(xiàn)象的產(chǎn)生,應(yīng)用積分反推技術(shù)和引用牛子伯曼增益函數(shù),對系統(tǒng)的第一個子系統(tǒng)施行狀態(tài)測量的切換控制方案,避免在小的鄰域有過大的控制率的發(fā)生,并得到了系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.最后,通過一個數(shù)值仿真驗證了所提算法的正確有效性.

非線性漂移;魯棒控制;積分反推;牛子伯曼增益;全局漸進(jìn)穩(wěn)定

近年來, 非完整動態(tài)系統(tǒng)已成為非線性控制研究的熱點(diǎn)之一.但已有結(jié)論大多是通過時變或非光滑狀態(tài)反饋控制律來完成系統(tǒng)的漸近(指數(shù))鎮(zhèn)定的.有許多非完整約束的機(jī)械系統(tǒng)通過適當(dāng)?shù)淖儞Q都能夠局部或者全局轉(zhuǎn)換成擴(kuò)張的鏈?zhǔn)綐?biāo)準(zhǔn)型, 如：移動機(jī)器人, 垂直滾動的輪子,欠驅(qū)動的空間飛行器等.為了使非完整控制系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定,已經(jīng)有許多的非線性控制技術(shù)對其加以應(yīng)用,如:魯棒狀態(tài)反饋控制律[1],將input-state scaling變換方式與back stepping反推法相結(jié)合,應(yīng)用于非完整控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定[1-3]、非光滑反饋技術(shù)等[4-6],文獻(xiàn)[6]中分別用變結(jié)構(gòu)控制的方法和時變控制的方法得到了一般的Brockett系統(tǒng)模型指數(shù)穩(wěn)定的條件.對這類非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)在非調(diào)節(jié)反饋線性化下得到穩(wěn)定反饋控制率[7].文獻(xiàn)[8]給出了當(dāng)非完整系統(tǒng)被強(qiáng)不確定漂移擾動時系統(tǒng)的漸進(jìn)和指數(shù)穩(wěn)定性的分析.文獻(xiàn)[9]中考慮帶有不確定非線性項和擾動的鏈?zhǔn)椒峭暾到y(tǒng)的魯棒漸進(jìn)全局穩(wěn)定問題,取得了很好的效果.文獻(xiàn)[10]在存在參數(shù)不確定性與外界干擾的情況下,提出一種自適應(yīng)模糊滑?？刂破?使系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)與廣義速度收斂到預(yù)先給定的界內(nèi).

本文將在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上研究一類不確定非完整系統(tǒng)的控制問題,將狀態(tài)測量技術(shù)和回歸反推技術(shù)結(jié)合設(shè)計控制器,該控制器能使系統(tǒng)的狀態(tài)收斂到原點(diǎn).為了使?fàn)顟B(tài)測量有效和阻止有限逃逸現(xiàn)象的發(fā)生,對第一個子系統(tǒng)應(yīng)用基于狀態(tài)測量的切換控制方案使其漸進(jìn)穩(wěn)定.

1 系統(tǒng)描述

考慮有不確定項的非完整系統(tǒng)

(1)

其中，u0,u是控制輸入；x0∈R1、x=(x1,x2)T∈R2是狀態(tài)；d是虛擬擾動控制方向.

這個系統(tǒng)滿足文獻(xiàn)[9]中的假設(shè)1的要求,假設(shè)1的要求使得不確定非線性項滿足三角條件,從而明確原點(diǎn)是系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定點(diǎn).控制器設(shè)計分為兩步,來處理系統(tǒng)(1)固有的三角結(jié)構(gòu). 第一步,為了使x0-子系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定,設(shè)計控制u0,第二步,為了保證不確定非完整系統(tǒng)(1)剩余的狀態(tài)都收斂到零,設(shè)計控制u.

首先,取控制u0為

u0=-λ0x0

(2)

λ0是正的設(shè)計參數(shù).

對系統(tǒng)(1),引入下面定義的狀態(tài)比例非連續(xù)轉(zhuǎn)換

(3)

在新的z-坐標(biāo)變換下,x-子系統(tǒng)被轉(zhuǎn)化成

(4)

對如(2)式給出的u0, 被轉(zhuǎn)化的系統(tǒng)(4)是定義在x0≠0上. 將(4)寫成一個緊湊的形式

(5)

2 反推設(shè)計

這部分設(shè)計當(dāng)x0(0)≠0時的控制u.對變換系統(tǒng)(5)基于反推的方法設(shè)計控制輸入u, 一旦真正的控制輸入u出現(xiàn)，這個遞推過程就停止.

系統(tǒng)(5)中的z1-子系統(tǒng)

(6)

選擇一個虛擬控制函數(shù)α1和一個新的變量ξ2為

α1(x0,z1)=λ1z1-(1-λ0)z1

(7)

ξ2=z2-α1(x0,z1)

(8)

(9)

最后, 選擇控制率u=α2(x0,z1,z2)為

u=λ0ξ1+(ξ2+α1)-λ0ξ2

(10)

由文獻(xiàn)[9]知ξ1,ξ2有界.通過式子(7)對α1的定義,z1,z2和α1都是有界的.再次由式子(7)中的α1的ξ1指數(shù)穩(wěn)定和zi的有界保證α1和zi都是指數(shù)收斂的. 再由轉(zhuǎn)換(3)可以得到x1=z1x0. 這說明只要選擇合適的λ0,λ1,就可以保證閉環(huán)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)x是指數(shù)收斂的，當(dāng)在初始條件x0(0)非零的條件下.

定理1[9]在假設(shè)1的條件下對系統(tǒng)(1)應(yīng)用控制方案(10)和(2), 并選擇合適的設(shè)計參數(shù)λ0,λ1,則閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，并且只要初始條件x0(0)是非零的,系統(tǒng)的狀態(tài)x是指數(shù)調(diào)節(jié)到零的.

3 仿真研究

對于給定的系統(tǒng)(1),參數(shù)取值為d1,λ0=1,λ1=1.初始值為x0(0)=-4，x1(0)=0.2，x2(0)=15.仿真圖像如圖1和圖2所示.其中圖1是控制律u0(t),u(t)隨時間的變化曲線,圖2是狀態(tài)x0(t),x1(t),x2(t)隨時間的變化曲線.

圖1 控制律隨時間的變化曲線

由圖1可知，控制律u0(t)在10秒內(nèi)非常接近于零, 而控制律u(t)在1秒內(nèi)迅速接近于零, 在5秒時達(dá)到零并永遠(yuǎn)保持為零.

圖2 狀態(tài)隨時間的變化曲線

由圖2可以看出，狀態(tài)x0(t)在10秒內(nèi)接近零, 而狀態(tài)x1(t)則在0.3秒時達(dá)到零并一直保持為零,狀態(tài)x2(t)在大約0.6秒時收斂到零,并一直保持為零.由此可知該控制方案避免了在小的鄰域有過大的控制率的發(fā)生, 防止有限逃逸現(xiàn)象的發(fā)生, 保證了x系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性.

4 結(jié)論

本文研究了一類不確定非完整系統(tǒng)的魯棒控制問題,對該系統(tǒng)將狀態(tài)測量技術(shù)和回歸反推技術(shù)相結(jié)合設(shè)計控制器,它能夠使得系統(tǒng)的狀態(tài)收斂到原點(diǎn),同時避免了在小的鄰域有過大的控制率的發(fā)生.為了使?fàn)顟B(tài)測量有效和阻止有限逃逸現(xiàn)象的發(fā)生,對于第一個子系統(tǒng)應(yīng)用基于狀態(tài)測量的切換控制方案得到漸進(jìn)穩(wěn)定.在設(shè)計魯棒控制器的過程中應(yīng)用了積分反推的技術(shù)和引用了牛子伯曼增益函數(shù),保證了x系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性.仿真結(jié)果充分顯示了該控制策略的有效性.

[1]袁占平,王祝萍,陳啟軍.一類不確定非完整系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報,2009,37(2):277-280.

[2]李飛翔.不確定非完整系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時間鎮(zhèn)定[J].常熟理工學(xué)院學(xué)報,2011,25(10):48-52.

[3]高芳征,楊俊,袁付順.一類不確定非完整系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)衰減問題[J].西南大學(xué)學(xué)報,2010,32(5):15-19.

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[7]Z D Sun,S S Ge,W Huo.Stabilization of nonholonomic chained systems via nonregular feedback linearization[J].Systems & Control Letters,2001,44(3):279-289.

[8]M K Bennani,P Rouchon. Robust stabilization of flat and chained systems[J].European Control Conference,1995:2642-2646.

[9]馬新.控制方向未知的不確定非完整系統(tǒng)的控制器設(shè)計[J].淮南師范學(xué)院學(xué)報,2010,12(3):9-13.

[10]王聲遠(yuǎn),霍偉.不確定非完整動力系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊滑?？刂破鱗J].控制理論與應(yīng)用,2003,20(3):427-431.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

2016-05-15

國家自然科學(xué)基金青年基金項目“幾類Plateaued函數(shù)的構(gòu)造及其在線性碼構(gòu)造中的應(yīng)用”(11601177);安徽省教育廳科研項目(SK2015A158)；安徽省高校自然科學(xué)研究項目(KJ2015A256);淮南師范學(xué)院校級自然科學(xué)研究項目“一類不確定非完整系統(tǒng)的控制器設(shè)計”(2014xj47)

馬新,女,山東高密人,講師．

O231.2

A

1008-7974(2016)05-0030-03

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.10.010