P-laplacian算子型奇異邊值條件的上下解方法

李洪梅，李 靜

(泰山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山東 泰安 271000)

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P-laplacian算子型奇異邊值條件的上下解方法

李洪梅，李 靜

(泰山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山東 泰安 271000)

本文利用上下解方法，討論一類具p-laplacian算子型奇異邊值問題解的存在性.

奇異邊值問題；正解；上下解方法

1 預(yù)備知識

考慮p-laplacian算子型奇異邊值問題

(1)

對于邊值問題

(2)

其中在u=0，t=0，1處可以有奇性，文獻[1]利用上下解方法，給出邊值問題(2)正確的存在性.本文的不同主要是將邊值條件復(fù)雜化，然后在此條件下給出正解的存在性證明.

2 問題(1)的正解存在性

考慮問題

(3)

在本節(jié)討論中，我們假設(shè)如下條件成立[2-4]：

(H1)q∈c(0，1)，且在(0,1)上q>0，且

(H2)f∶[0，1]×(0，+∞)→R是連續(xù)的，θ∶R→R是連續(xù)的不減函數(shù)，且θ(0)=0，

(H5)存在一個函數(shù)α∈c[0，1]∩c1(0,1)，φp(α′)∈c1[0，1]，

在[0，1)上α>0，對n=3，4，…，

在[0，1]上βn(t)≥ρn；

引理 對

(4)

假定下列條件滿足

(h1)g∶(0，1)×R→R是連續(xù)的

(h2)?q∈c(0,1)，q>0，在(0，1)上有

則(4)有解u∈c[0，1]∩c′(0，1)，φp(u′)∈c1(0，1).

定理1 設(shè)(H1)-(H8)成立，則問題(1)有一個解u∈c[0，1]∩c′(0，1)，φp(u′)∈c1(0，1)，且在[0，1]上u(t)≥α(t).

證明：取定n=3，4，…，

考慮邊值問題：

(5)

其中

我們先證

un(t)≥ρn，t∈[0，1]

(6)

若(6)不成立，那么un(t)-ρn在t0∈[0，1]有一個負(fù)的最小值，

當(dāng)t0=0時，un(t0)-ρn<0，因此存在δ>0，當(dāng)0

1.1.1 供試土壤 所有土樣均采自0～20 cm土層，自然風(fēng)干后，經(jīng)研磨然后過0.9 mm篩(20目篩)備用。采樣點分布在貴州省9個地區(qū)，每個地區(qū)所采土樣均具代表性，有一定特異性，可用來探討不同地區(qū)農(nóng)業(yè)土壤中鎘的吸附解析規(guī)律。土樣采集地及其理化性質(zhì)見表1。

下證

un(t)≤βn(t)，t∈[0，1]

(7)

若(7)不成立，那么un(t)-βn(t)在t0∈[0，1]有一個正的最大值.

當(dāng)t0∈(0，1)時，φp((un-βn)′(t0))=0，且(φp((un-βn)′(t0)))′=0，

(φp((un-βn)′(t0)))′

=-q(t0)f*(t0，(un-βn)(t0))

=-q(t0)f*(t0,un(t0))+q(t0)f*(t0，βn(t0))

=-q(t0)(f(t0，un(t0))+r(βn(t0)-un(t0)))+q(t0)f(t0，βn(t0))

=-q(t0)r(βn(t0)-un(t0))>0，

矛盾.

(φp((un-βn)′(t0)))′

=-q(t0)f*(t0，(un-βn)(t0))

=-q(t0)f*(t0,un(t0))+q(t0)f*(t0，βn(t0))

=-q(t0)r(βn(t0)-un(t0))>0，

矛盾.

矛盾.

因此(7)式成立.

再證

un(t)≥α(t)，t∈[0，1]

(8)

若(8)不成立，那么un(t)-α(t)在t0∈[0，1]有一個負(fù)的最小值，

當(dāng)t0∈(0，1)時，φp((un-α)′(t0))=0，且(φp((un-α)′(t0)))′=0.

(φp((un-α)′(t0)))′

=-q(t0)f*(t0，(un-α)(t0))

=-q(t0)f(t0,un(t0))-(φp(α)′)′

=-[q(t0)f(t0，un(t0))+(φp(α)′)′]<0，

矛盾.

矛盾.

因此(8)式成立.

我們最后證明{un}n∈Z+在[0，1]上是一致有界和等度連續(xù)的.

由H8知{un}n∈Z+是等度連續(xù)的.由Arzela-Ascoli定理[4]存在{un}n∈Z+的子序列，不失一般性，仍記為{un}n∈Z+，在[0，1]上，一致收斂于u∈c[0，1].

un(t)滿足

定義算子Nλ∶c[0，1]→c[0，1]如下：

由文獻[2]知，Nλ是全連續(xù)的.

由于f(s,u)在[0，1]×(0，α0]在任一緊子集上一致連續(xù)，故當(dāng)n→∞時

(9)

所以u(t)是(1)的解，且滿足u∈c[0，1]∩c1(0，1)，φp(u′)∈c1(0，1).

[1]Ravi P.Agarwal,Haishen Lü,Donal O'Regan.Existence theorems for the one-dimensional singular p-laplacian equation with sign changing nonlinearities[J].Appled Mathematics and Computation,2003，143(1)：15-38

[2]李翠哲，葛渭高.P-laplacian奇異半正單調(diào)問題的非負(fù)解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2003，26(3)：434-442.

[3]郭彥平，葛渭高.二階奇異非線性邊值條件的上下解方法[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2003，46(5)：1007-1016.

[4]Da jun Guo,V.Lakshmikantham.Nonlinear Integral Equations in Abstrat Spaces[M].London：Kluwer Academic Publishers，1996.

An Upper and Lower Solution Approach to P-laplacian with Singular Boundary Conditions

LI Hong-mei, LI Jing

(School of Mathematics and Statistics, Taishan University, Tai'an, 271000, China)

Using an upper and lower approach, this paper discussed the existence of positive solutions for singular boundary value problems of form (φp(u′))′+q(t)f(t,u)=0，0

singular boundary value problem; positive solutions; upper and lower solution approach

2016-08-26

泰山學(xué)院引進人才科技計劃項目(Y-01-2013014)

李洪梅(1982-)，女，山東泰安人，泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師.

O175.8

A

1672-2590(2016)06-0042-05