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    “直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)實錄與思考

    2016-12-20 00:46:23
    數(shù)理化解題研究 2016年24期
    關(guān)鍵詞:弦長切線交點

    金 潔●

    浙江省杭州第二中學(xué)(310000)

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    “直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)實錄與思考

    金 潔●

    浙江省杭州第二中學(xué)(310000)

    教材是實施教學(xué),實現(xiàn)課程目標(biāo)的重要資源.為了更好地發(fā)揮教材的作用,需要有計劃、有目標(biāo)、有側(cè)重,靈活有效地組織教學(xué),拓展教學(xué)空間,這就需要對教材進行二次開發(fā),變“教教材”為用“教材教”,從而更好地促進學(xué)生主動探究學(xué)習(xí).筆者以“直線與圓的位置關(guān)系”課堂實錄為例,反思教學(xué)中如何重視教材、挖掘教材、創(chuàng)造性地開發(fā)教材.

    直線與圓的位置關(guān)系;教學(xué);實錄;反思

    一、實際問題引入,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力

    一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報:臺風(fēng)中心位于輪船正西60km處,受影響的范圍是半徑長為40km的圓形區(qū)域.已知港口A位于臺風(fēng)中心正北45km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會受到臺風(fēng)的影響?(由課本引例改編)

    師:若不建立直角坐標(biāo)系,你能解決該問題嗎?

    生:利用相似三角形性質(zhì),得到相似比,進而求出臺風(fēng)中心到航線的距離,與臺風(fēng)半徑進行比較,判斷是否受影響.

    師:引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,取10km為單位長度,寫出圓方程及航線所在直線方程,問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系.

    生:方法一,圓心到直線距離與半徑關(guān)系來判斷;

    方法二,聯(lián)立方程組,通過方程根的情況來判斷直線與圓交點個數(shù).

    師:通過建立直角坐標(biāo)系,我們將幾何問題代數(shù)化,通過代數(shù)計算來解釋幾何問題.

    反思:筆者起初也考慮過利用作家巴金《海上日出》的視頻片段作為課堂的引入,可以營造良好的教學(xué)氣氛,體會數(shù)學(xué)的人文內(nèi)涵.新課標(biāo)的理念之一是強調(diào)“數(shù)學(xué)是有用的”,選擇教材中的“臺風(fēng)”問題作為引入,恰好體現(xiàn)了這一理念,同時也能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中的重要價值,

    其次,該問題,課本在旁批處追問“若不建立直角坐標(biāo)系,你能解決該問題嗎?”意在讓學(xué)生體會幾何問題代數(shù)化的過程.在學(xué)習(xí)了直線及圓方程的基礎(chǔ)上,解決“臺風(fēng)”問題可通過建立合理的坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)方法求解,這正是解析幾何的核心思想方法.解析幾何的初始學(xué)習(xí)階段,強化和滲透笛卡爾的坐標(biāo)法應(yīng)該是必要的.意在讓學(xué)生將坐標(biāo)方法與歐氏幾何方法做對比.

    還可以將該引例做變式提問“若不改變航線,受臺風(fēng)影響的時間有多久?”“為避開臺風(fēng),如何設(shè)計航線?”考慮到課堂的教學(xué)時間有限,可以將某些比較開放的問題延伸至課外探究.

    二、學(xué)生主體探究,教師引導(dǎo)總結(jié),形成新知識

    師:通過剛才解決問題的過程,我們可以總結(jié)如何判斷直線和圓的位置關(guān)系.

    生1:利用點到直線距離公式求得弦心距,通過比較弦心距和半徑的關(guān)系確定直線和圓的位置關(guān)系.

    生2:聯(lián)立方程組,通過對方程根的情況的判斷,確定直線和圓的交點個數(shù).

    教師總結(jié),并用圖表的形式強調(diào)知識點.

    師:直線和圓的三種幾何關(guān)系,我們都可以通過不同程度的代數(shù)計算來刻畫.

    三、依據(jù)典型例題,搭建探究實踐的問題階梯

    例1 (課本例題改編)已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓的位置關(guān)系;如果相交,求它們的交點坐標(biāo)及弦長.

    師(追問):你能求出弦|AB|的長嗎?

    師(追問):在不求出交點坐標(biāo)的情況下,能否求出弦|AB|的長呢?

    師:當(dāng)直線和圓相交時,我們在研究交點、弦長的過程中,使用了兩種方法,能否請同學(xué)們談?wù)勥@兩種方法在解決問題時的特點嗎?

    生1:方法一簡單,計算量也小,解決問題時應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì).

    生2:求交點坐標(biāo)的方法可以不依賴圖形.

    師:充分利用圓的幾何性質(zhì),抓住圓心與弦中點構(gòu)成的直角三角形,可以簡化計算過程,通過計算點到直線距離,并與半徑大小作比較,將幾何問題進行了代數(shù)刻畫、定量分析.另一位同學(xué)將直線與圓聯(lián)立方程,通過消元,方程的根即圖形交點的橫坐標(biāo),通過方程的意義來刻畫幾何問題中的交點情況.

    設(shè)計意圖:該例題選取課本例1,通過對例1的解決和探究,使學(xué)生進一步掌握判斷位置關(guān)系的方法,獲得弦長公式.在求交點坐標(biāo)時需要聯(lián)立方程求解,求弦長則可以利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形求解,也可利用方程韋達定理求解.令學(xué)生體會坐標(biāo)法的過程,學(xué)會用代數(shù)計算來解決幾何問題.

    例2 (課本例題改編)已知點M(-3,-3)和圓C:x2+y2+4y-21=0.

    (1)若過點M的直線被圓C所截得的弦長為8,求直線l的方程.

    (2)當(dāng)弦被M平分時,求直線l的方程.

    師:請同學(xué)點評.

    生2:第一問設(shè)直線方程時沒有考慮斜率不存在的情況,實際上,當(dāng)x=3時也符合題意.

    師:我們要注意思維的嚴謹,直線點斜式方程有其局限性,解決問題時不要遺漏斜率不存在的情況.

    師(追問):過M作直線與圓相交,弦長為8的弦有幾條?所得弦長AB的取值范圍是多少呢?何時最短?何時最長?

    師:過點M最長弦及最短弦具有唯一性,除此之外,過點M弦長為定值的弦均有兩條.

    設(shè)計意圖:例2仍選自課本,但做了改編,令符合條件的其中一條直線斜率不存在,此處設(shè)計的目的,是為了警示學(xué)生在設(shè)直線點斜式方程時常常出現(xiàn)遺漏的錯誤,同時從幾何角度解釋,過圓內(nèi)一定點的弦,其中以定點為中點的弦最短,過定點及圓心的弦(即直徑)最長,除此之外等長的弦有兩條.進一步令學(xué)生體會幾何直觀給我們的研究明確了方向,代數(shù)定量計算常常同幾何定性分析互為補充,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想方法,形成嚴謹治學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度.

    師:同學(xué)們考慮若點M為圓上一點,如何求圓的切線方程?若點M為圓外一點,又如何求圓的切線方程?

    例2 (變式) 已知圓C:x2+y2+4y-21=0.(1)求過點M(4,1)的圓的切線方程;(2)求過點N(5,4)的圓的切線方程.

    生2:由平面幾何知識可知,過圓外一點應(yīng)有兩條圓的切線,點N(5,4)在圓外,怎么會只有一條切線呢?

    生3:在代數(shù)求解的過程中,設(shè)切線的點斜式方程有局限性,遺漏了直線斜率不存在的情況,所以過點N(5,4)的切線應(yīng)為11x-60y+185=0和x=5.

    師:代數(shù)計算和幾何直觀互為補充能令問題更為清晰明朗.在運用直線方程時要謹記各方程的局限性,避免漏解.

    師:另外,可否得到一般結(jié)論?請同學(xué)們探討過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程.

    生1:已知圓心坐標(biāo)為C(a,b),切點P(x0,y0),設(shè)切線上任一點Q(x,y),由平面幾何性質(zhì)可知,PQ⊥PC,①當(dāng)x0=a時,y=y0.

    綜上所述過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)處的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

    師:第一位同學(xué)利用切線的幾何性質(zhì),用坐標(biāo)表達垂直關(guān)系,得到切線方程.第二位同學(xué)結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義,通過向量的坐標(biāo)運算得到動點軌跡.我們體會到了從幾何到代數(shù)的過程,將幾何問題代數(shù)化,用代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系,進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

    接下來請同學(xué)們思考:若點P(x0,y0)為圓外一點,過點P的圓的切線有兩條,則方程(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2的幾何意義是什么?

    師:該問題令我們思考代數(shù)方程背后的幾何意義.解析法,即通過數(shù)形結(jié)合,完成代數(shù)和幾何之間的相互轉(zhuǎn)化.

    設(shè)計意圖:對課本例2的變式設(shè)計,令問題層層遞進深入.進一步探究圓的切線問題,在此過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想,體會一個幾何對象用代數(shù)方式完全刻畫,幾何概念可以表示為代數(shù)的形式,幾何目標(biāo)可以通過代數(shù)方法來達到;反之,代數(shù)語言得到了幾何解釋,從而代數(shù)語言有了直觀意義,從中得到啟發(fā)而提出新的結(jié)論.

    四、教學(xué)反思

    本課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生能夠根據(jù)直線與圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系,充分體會解析幾何的核心思想——坐標(biāo)法,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想,令學(xué)生感悟幾何和代數(shù)的密不可分.“只要代數(shù)與幾何分道揚鑣,它們的進展就緩慢,它們的應(yīng)用就狹窄.但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時,它們就互相吸取新鮮的活力,就以快速的步伐走向完善.”

    教學(xué)設(shè)計充分利用教材資源,深層挖掘,由淺入深地推進課堂.著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象地指出:“好問題同某種蘑菇有些相像,它們都成堆地生長,找到一個以后,你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找,很可能附近就有好幾個.”由教材的基本問題出發(fā),設(shè)計問題串,引導(dǎo)學(xué)生更多地參與投入到探究中,有效地理解和掌握學(xué)科知識,激發(fā)學(xué)習(xí)的好奇心及挑戰(zhàn)欲.讓學(xué)生在探究解決問題的過程中獲取新知識,潛移默化地形成思想方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)化的思維方式.

    在教學(xué)過程中,尊重學(xué)生的主體作用,體現(xiàn)教師的引導(dǎo)功能,激發(fā)學(xué)生自主探究,教師適時總結(jié)提升.給學(xué)生充足的思維空間,通過對話和交流引導(dǎo)學(xué)生獨立探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和建構(gòu)知識,力求讓學(xué)生達成探究性理解.總之,守本和創(chuàng)新是相輔相成的,教師扎根于教材的同時,發(fā)揮創(chuàng)造力的課堂設(shè)計才是我們追求的方向.

    G632

    B

    1008-0333(2016)24-0004-02

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