“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”重難點(diǎn)突破

徐仙

“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”重難點(diǎn)突破

徐仙

本章是“平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）”的延續(xù)和提高.下面為同學(xué)們解讀本章學(xué)習(xí)中的幾個(gè)難點(diǎn).

難點(diǎn)一：“三線(xiàn)八角”中的識(shí)角

兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，圖形中共有八個(gè)小于180°的角，我們把這個(gè)圖形稱(chēng)為“三線(xiàn)八角”圖，其中沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角可以分為三類(lèi)：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角，它們是進(jìn)一步學(xué)習(xí)平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)的基礎(chǔ).同位角：分別在兩條直線(xiàn)的同一側(cè)，并且都在第三條直線(xiàn)的同一旁；內(nèi)錯(cuò)角：在兩條直線(xiàn)之間，并且分別在第三條直線(xiàn)的兩旁；同旁?xún)?nèi)角：在兩條直線(xiàn)之間，并且都在第三條直線(xiàn)的同一旁.

識(shí)別的關(guān)鍵：是在各種圖形中準(zhǔn)確地辨別出沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩角是由哪兩條直線(xiàn)被哪一條直線(xiàn)所截構(gòu)成的，即通過(guò)兩角如何找準(zhǔn)“三線(xiàn)”，找“三線(xiàn)”的難點(diǎn)是找準(zhǔn)“截線(xiàn)”.

例1如圖1，按圖中角的位置，判斷正確的是（）.

圖1

A.∠1與∠2是同位角

B.∠1與∠4是內(nèi)錯(cuò)角

C.∠5與∠7是同旁?xún)?nèi)角

D.∠4與∠8是同位角

【分析】首先要辨別出沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩角是由哪兩條直線(xiàn)被哪一條直線(xiàn)所截構(gòu)成的，再對(duì)照定義進(jìn)行判別.

【答案】C.

【點(diǎn)評(píng)】在“三線(xiàn)八角”識(shí)角中，關(guān)鍵要找到截線(xiàn)與被截直線(xiàn)，再對(duì)照同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角定義進(jìn)行判別.技巧：將已知的沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩角的兩邊用鉛筆重描一下，顯現(xiàn)出形成兩角的直線(xiàn)，既可以看出這兩角是否屬于“三線(xiàn)八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角，也可以看出是由哪兩條直線(xiàn)被哪一條直線(xiàn)所截.

難點(diǎn)二：平行線(xiàn)判定與性質(zhì)的運(yùn)用

平行線(xiàn)的判定：同位角相等兩直線(xiàn)平行；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線(xiàn)平行；同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線(xiàn)平行.平行線(xiàn)的性質(zhì)：兩直線(xiàn)平行，同位角相等；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).平行線(xiàn)的“判定”和“性質(zhì)”既緊密聯(lián)系又有根本區(qū)別，往往容易混淆，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn).1.分清因果關(guān)系.平行線(xiàn)的“判定”是由角的相等或互補(bǔ)推出兩直線(xiàn)平行，角相等或互補(bǔ)是前提，是因，兩直線(xiàn)平行是結(jié)論，是果；平行線(xiàn)的“性質(zhì)”是由兩直線(xiàn)的平行推出角相等或互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行是前提，是因，角相等或互補(bǔ)是結(jié)論，是果.

例2已知如圖2，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求證：BC平分∠DBE.

圖2

【分析】只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，從而推出AE∥FC，從而推出∠C=∠EBC，而∠A=∠C，從而可得AD∥BC，最后再運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)和已知條件便可推出∠EBC=∠DBC.

證明：∵∠BDC+∠2=180°（平角定義）

又∵∠1+∠2=180°（已知）

∴∠1=∠BDC（同角的補(bǔ)角相等）

∴AE∥FC（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）

∴∠C=∠EBC（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

又∵∠A=∠C（已知）

∴∠A=∠EBC（等量代換）

∴AD∥BC（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）

∴∠ADB=∠CBD（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠ADF=∠C（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）

又∵AD平分∠BDF（已知）

∴∠ADB=∠ADF（角平分線(xiàn)的定義）

∴∠EBC=∠DBC（等量代換）

∴BC平分∠DBE（角平分線(xiàn)的定義）

【點(diǎn)評(píng)】本題反復(fù)應(yīng)用平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，見(jiàn)到“平行”應(yīng)想到有關(guān)的角相等，見(jiàn)到有關(guān)的角相等，就應(yīng)想到能否判斷直線(xiàn)間的平行關(guān)系.把平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)緊密結(jié)合在一起也就是將直線(xiàn)平行與角相等聯(lián)系在一起.這樣解題得心應(yīng)手，靈活自如.

難點(diǎn)三：鈍角三角形高的作法

三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線(xiàn)作垂線(xiàn)，頂點(diǎn)與垂足之間的線(xiàn)段叫作三角形的高.

例3△ABC中，∠A＞90°，圖3為某同學(xué)作的AC邊上的高AD，是否正確？為什么？若不正確，請(qǐng)你作出符合條件的高.

圖3

【分析】AC邊上的高應(yīng)由AC所對(duì)的頂點(diǎn)B向AC邊所在的直線(xiàn)作垂線(xiàn)，而不是只保證垂直AC就可以.

解：此作圖不正確，因?yàn)锳C邊上的高應(yīng)由AC所對(duì)的頂點(diǎn)B向AC邊所在的直線(xiàn)作垂線(xiàn)，而不是過(guò)點(diǎn)A作，符合條件的高應(yīng)為下圖中線(xiàn)段BE.

【點(diǎn)評(píng)】正確理解三角形高的定義是作三角形高的關(guān)鍵.

圖4

難點(diǎn)四：三角形確定第三邊的取值范圍

“三角形兩邊的和大于第三邊”是這章中的重要定理，從這個(gè)定理出發(fā)還可以得出一些有用的結(jié)論，這些結(jié)論在實(shí)際生活中可以起到很大的作用.

例4已知△ABC的兩邊AC=5，BC=8，求第三邊AB的取值范圍.

【分析】我們可以從動(dòng)態(tài)的角度來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題，讓BC不動(dòng)，而AC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn).我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)AC與BC在同一條直線(xiàn)上時(shí)AB有最大值，但由于AB是△ABC的一邊，故AB＜AC+BC；當(dāng)AC與BC重合時(shí)，AB有最小值，故AB＞BC-AC.

解：∵BC+AC=13，BC-AC=3，

∴3＜AB＜13.

【點(diǎn)評(píng)】“三角形兩邊的和大于第三邊”和由此得出的“三角形兩邊的差小于第三邊”，都是由“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”這個(gè)定理得出的.在已知三角形兩邊長(zhǎng)求第三邊范圍時(shí)，不僅要考慮“兩邊的和大于第三邊”，同時(shí)也要確?！皟蛇叺牟钚∮诘谌叀?

（作者單位：江蘇省丹陽(yáng)市華南實(shí)驗(yàn)學(xué)校）