用Cesàro方法計(jì)算等時(shí)擺及擺繩等分點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

劉欽記，彭建華

(1.深圳大學(xué)光電工程學(xué)院，廣東深圳518060； 2.深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東深圳518060)

?

用Cesàro方法計(jì)算等時(shí)擺及擺繩等分點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

劉欽記1，彭建華2

(1.深圳大學(xué)光電工程學(xué)院，廣東深圳518060； 2.深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東深圳518060)

基于等時(shí)性和利用微分幾何中的Cesàro方法，解析地確定等時(shí)擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡以及限制擺繩運(yùn)動(dòng)的曲線，同時(shí)還獲得擺繩上不同等分點(diǎn)運(yùn)動(dòng)曲線的一般解析式. 所得結(jié)果將有助于全面認(rèn)識(shí)此等時(shí)擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律.

等時(shí)性； 旋輪線； 微分幾何； Cesàro方法

1 引 言

1656年，惠更斯將單擺運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性原理引入時(shí)鐘設(shè)計(jì)發(fā)明了著名的擺鐘.實(shí)際上，他在研究擺鐘的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：伽利略發(fā)現(xiàn)的單擺等時(shí)性現(xiàn)象，即擺的運(yùn)動(dòng)周期與擺動(dòng)的幅度無(wú)關(guān)，只有在擺角較小的范圍內(nèi)存在；而當(dāng)擺角范圍大了，擺動(dòng)則不嚴(yán)格等時(shí).惠更斯進(jìn)一步研究得到結(jié)論：若能使擺的軌跡呈旋輪線，在可擺動(dòng)的范圍內(nèi)，無(wú)論擺角多大，擺的運(yùn)動(dòng)都具有等時(shí)性.惠更斯的擺線理論不僅為當(dāng)時(shí)設(shè)計(jì)和制作擺鐘提供了重要的依據(jù)，也為后來(lái)在科學(xué)和技術(shù)發(fā)展和應(yīng)用方面都產(chǎn)生了積極的作用[1，2].在已報(bào)道的有關(guān)等時(shí)性的研究中，許多作者利用不同的方法,主要集中研究了等時(shí)條件下擺球的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和擺繩被約束的曲線方程[3,4].實(shí)際上，除了這兩條曲線方程外，擺繩上其他動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：如擺動(dòng)過(guò)程中，受到限制的擺繩中點(diǎn)；或中點(diǎn)至擺球間的系列點(diǎn)，所有這些點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解析表達(dá)式為何？目前尚未見(jiàn)報(bào)道.若能確定出這些點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，對(duì)于全面研究此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是有意義的.與其他作者研究方法不同的是，本文從物理上物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理?xiàng)l件出發(fā)，利用微分幾何中的Cesàro方法[6]，解析研究在等時(shí)條件下，擺繩各等分動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線方程，進(jìn)而也可求出擺球運(yùn)動(dòng)曲線和約束擺繩的曲線.

2 等時(shí)性運(yùn)動(dòng)的重要條件

單擺在大幅度擺動(dòng)的過(guò)程中周期不是常量而只能用橢圓積分表示[5]，但可采用某種補(bǔ)償?shù)姆绞?，以?shí)現(xiàn)等時(shí)的目標(biāo).具體的設(shè)計(jì)方案如圖1所示，在擺繩的兩側(cè)對(duì)稱加裝具有某類曲線狀的限制片，限制片的作用是：擺球在擺動(dòng)過(guò)程中，擺繩貼到限制片上相當(dāng)于繩的“懸掛點(diǎn)”遷移，原長(zhǎng)為l0的繩擺動(dòng)部分的長(zhǎng)度逐漸變短，直至達(dá)最短；而繩脫離限制片后，擺動(dòng)部分的繩又逐漸變長(zhǎng)，在平衡點(diǎn)處恢復(fù)至原長(zhǎng)l0.加裝的簡(jiǎn)單限制器唯一限制的參量是擺繩的長(zhǎng)度.一個(gè)自然的問(wèn)題是，限制片應(yīng)采用何種形狀才能獲得等時(shí)的效果.

我們將圖1簡(jiǎn)化為圖2，曲線C1為限制片的形狀，曲線C為擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡.通過(guò)可擺動(dòng)部分的繩長(zhǎng)即C上各點(diǎn)的曲率半徑，一一建立曲線C1和C上點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)聯(lián).在自然坐標(biāo)系下，根據(jù)牛頓第二定律建立擺球沿軌線切向的動(dòng)力學(xué)方程，具體為

(1)

圖1 圖2

s=Ksinφ,

(2)

其中K為待定常數(shù)，(1)可轉(zhuǎn)化為

(3)

(4)

當(dāng)φ=0時(shí), 對(duì)應(yīng)擺線處于豎直位置，恢復(fù)為原長(zhǎng)的情況, 有

ρ(0)=K=l0，

也就是

運(yùn)動(dòng)為等時(shí).不難看出(2)或(4)式是等時(shí)性成立的重要條件.進(jìn)一步可利用常規(guī)方法導(dǎo)出擺球運(yùn)動(dòng)方程和限制器的曲線方程.在切點(diǎn)附近

(5)

聯(lián)立式(4)和式(5)，并積分得

(6)

若取r=K/4和Φ=2φ, 式(6)正是旋輪線的參數(shù)方程.注意到本模型中伴隨曲線C1上的點(diǎn)(x1,y1)與原曲線C上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y)有如下關(guān)系

(7)

聯(lián)立式(6)和式(7),可得C1的參數(shù)方程

(8)

這就是在等時(shí)條件下對(duì)限制片形狀的要求.式(6)和式(8)的結(jié)果是我們熟知的旋輪線.但是僅利用上述常規(guī)方法是難以求出擺繩不同等分點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的，而利用微分幾何中的Cesàro方法則是一個(gè)很好的方法，它僅需利用等時(shí)性的重要條件——(4)式，即可求出擺球運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程、約束擺繩的參數(shù)方程，擺繩不同等分點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

2 用Cesàro方法計(jì)算擺繩不同等分點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 等分曲率半徑的圖示

(9)

其中

(10)

曲率半徑為

(11)

設(shè)伴隨曲線相對(duì)于絕對(duì)坐標(biāo)系的切角為β，其變化率為[6]

(12)

由此得β與φ的關(guān)系為

(13)

(14)

和

(15)

故

(16)

和

(17)

在與C曲線對(duì)應(yīng)的伴隨曲線的切點(diǎn)附近，有

(18)

聯(lián)立式(11)，(13)，(16)，(17), 并分別積分得伴隨曲線的參數(shù)方程為

(19)

(20)

整理式(19)和(20)，得

(21)

當(dāng)n=1時(shí)，由(21)得

(22)

這顯然是限制器的曲線形狀，與式(8)是吻合的.

當(dāng)n→∞時(shí)，由(21)得

圖4 對(duì)應(yīng)曲線C的伴隨曲線族部分成員

(23)

這是擺球的運(yùn)動(dòng)軌線，與式(6)也是吻合的.

另外在n∈[1,∞)內(nèi)取不同的數(shù)時(shí)可以得到不同等分點(diǎn)的軌跡，如取n=2，可由式(21)得

(24)

擺繩l(t)中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌線；

取n=3，由(21)得

(25)

利用Matlab軟件繪制n=1,2,3,6,10,100情況下的幾條伴隨曲線[7].如圖4所示.

上述所討論的結(jié)果也可做進(jìn)一步推廣,如可應(yīng)用到小滑塊沿對(duì)稱的凹型滑道往復(fù)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題中，欲使滑塊的運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，類似上述操作過(guò)程,可分別確定小滑塊運(yùn)動(dòng)軌道等規(guī)律，本文不再做討論.

3 結(jié) 論

利用等時(shí)性條件(2)或(4)，我們通過(guò)Cesàro方法不僅給出等時(shí)擺軌線和限制器曲線形狀的又一種解法，同時(shí)還解析求出擺繩等分點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.我們的這一工作是將微分幾何中Cesàro方法應(yīng)用于物理學(xué)中的范例.所獲得的結(jié)果也豐富了關(guān)于等時(shí)問(wèn)題的研究.

[1] 劉延柱.趣味振動(dòng)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社, 2012.

[2] 武際可.力學(xué)引領(lǐng)下改變?nèi)祟惿畹娜?xiàng)發(fā)明[J]. 科技導(dǎo)報(bào)，2015，33：109.

[3] 舒幼生.趣味滾輪線[J]. 科學(xué),2000,05:58-60.

[4] 陳鋼. 惠更斯擺及嚴(yán)格等時(shí)性[J].大學(xué)物理,2003,22(11):15-17.

[5] 胡紹宗. 橢圓積分的計(jì)算及其應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2013,29(1):111- 115.

[6] 佐佐木重夫, 微分幾何學(xué)[M]. 蘇步青譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 1963.

[7] 段俊生,安建業(yè),徐立. Matlab 曲面繪制中的挖補(bǔ)方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2006,22(4):36-39.

Calculate the Trajectory of Moving Points in the Isochronal Pendulum Using Cesàro’s Method

LIUQin-ji1,PENGJian-hua2

(1.College of Optoelectronic Engineering , Shenzhen University , Shenzhen Guangdong 518060, China;2. College of Physics and Technology , Shenzhen University , Shenzhen Guangdong 518060, China)

Using Cesàro’s method in differential geometry, the trajectory of an isochronous pendulum ball and the shape of the limiter are determined analytically. General analytical expressions of the trajectories of the swinging rope at equal division points are further derived.

isochronous ; cycloid ; differential geometry ; Cesàro’s method

2016-03-10； [修改日期]2016-04-04

國(guó)家自然科學(xué)基金(11205104；70571053)

劉欽記(1994-),男, 2013級(jí)本科生,光電信息科學(xué)與工程專業(yè).Email:2013800345@email.szu.edu.cn

O29

A

1672-1454(2016)05-0025-05