關(guān)于左三角范疇定義的一個等價條件

劉 洋，胡貝貝

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關(guān)于左三角范疇定義的一個等價條件

劉 洋，胡貝貝

本文給出了左三角范疇定義的一個等價條件，得出可以替代八面體公理的一個交換圖。

左三角范疇；自函子；八面體公理

1 引言

Abel范疇是同調(diào)代數(shù)中的非常重要概念。在研究Abel范疇中可以通過“正合分析”產(chǎn)生許多代數(shù)和幾何不變量。但是數(shù)學中有許多研究對象本身并不構(gòu)成Abel范疇，那么就不能夠用“正合分析”的方法來研究這樣的范疇。上世紀60-70年代，Alexander Grothendieck和Jean Louis Verdier發(fā)明了三角范疇，三角范疇中的好三角剛好是Abel范疇中短正合列的替代物，從而“正合分析”在三角范疇中又可以發(fā)揮作用了。三角范疇的定義比較復雜，其中的八面體定理更是不好理解，文[1-3]研究了三角范疇的八面體定理相關(guān)等價條件。由Beligiannis和Marmaridis引入的單邊三角范疇(即左或右三角范疇)是三角范疇的自然推廣，本文給出了左三角范疇定義的一個等價條件。相關(guān)三角范疇的最新研究進展可以參見專著[4]。

并且Δ取左三角同構(gòu)封閉。

(Lt3)如果下圖是行為左三角的交換圖(即行屬于Δ的交換圖)

則存在態(tài)射α:a1→b1，使得上圖繼續(xù)為交換圖。

稱如上的三元組(C,Ω,Δ)為左三角范疇，有時稱為左三角范疇。

2 主要結(jié)論

注1 (Lt4)等價于下圖的三角交換性：

即中間兩行和右邊兩列均為左三角，并且各方塊為交換圖。

(Lt4)等價于下圖的三角交換性：

中間兩列和底邊兩行均為左三角，并且各方塊均為交換圖。

定理1 如果(C,Ω,Δ)是左三角范疇，其中Ω是忠實且滿的自函子，則對任意C中交換圖

可以擴充成下面的行列均為左三角的交換圖：

證明 對C中交換圖

由八面體公理，得如下三個交換圖，其中底面兩行和中間兩列均為左三角：

將它們合起來，得如下圖：

行列均為左三角，因此只須證明每個方塊為交換圖即可。

(1)是已知的交換圖。

(2)圖的交換性：由于g2k2=g2mγ=k1βγ=κ1g3，其中g(shù)3=βγ:c2→c1。

(4)圖的交換性：由于f2l2=f2mα=l1δα=l1f3，其中f3=δα:a3→b3。

(5)圖的交換性。由于k2l2=lmγl3=mαk3=l2k3。

最后，(3)(6)(9)(7)(8)由左三角的性質(zhì)即得交換性。顯然行列均為左三角的如下交換圖可以替代八面體公理。

因為當g1=1，f2=f1g2時，l1=0，從而即為八面體公理。

[1] 王濟榮.三角范疇中八面體公理的幾個等價命題[J].四川大學學報(自然科學版). 2006(3).

[2] 胡彩霞,陳娟.三角范疇定義中八面體公理的等價命題及其應用[J].廈門大學學報(自然科學版). 2008(2).

[3] 許慶兵,王正萍,張孔生.關(guān)于三角范疇的八面體公理[J].數(shù)學研究.2013,46(1)：99.

[4] 章璞.三角范疇與導出范疇.科學出版社.

[5]BeligiannisA,MarmaridisN.LeftTriangulatedCategoriesArisingFromContravariantlyFiniteSubcategories[J].Comm.inAlgebra, 1994, 22(5):5021-5036.

[6] 許慶兵，張孔生.左三角范疇的商范疇與局部化[J] . 數(shù)學雜志,2013,33(6):1093-1100.

[7]BeligiannisA.HomologicalandHomotopicalaspectsofTorsionTheories[J].MemoirsoftheAmericanMathematicalSociety,2007(188):1-270.

[8]GelfandSI,ManinYuI.HomologicalAlgebra[M].NewYork:Springer,1994：86-102.

[9]NeemanA.TriangulatedCategories[M].PrincetonUniv.Press:Princeton, 2001:73-99.

[10] 許慶兵.關(guān)于范疇局部化的若干研究[D].福州：福建師范大學,2008.

責任編輯：劉海濤

One Equivalent Condition for The Definition of Left Triangulated Category

Liu Yang， Hu Beibei

In this paper, An equivalent condition for the definition of left triangulated category is given, then a commutative diagram is obtained which can be replaced the octahedral axiom.

left triangulated category; endofunctor; octahedral axiom

O154.1

A

1673-1794(2016)05-0028-03

劉洋，滁州學院數(shù)學與金融學院講師，碩士，研究方向：代數(shù)表示論；胡貝貝，滁州學院數(shù)學與金融學院(安徽 滁州 239000)。基金項目：安徽省高校省級自然科學基金資助(KJ2016A545)；安徽省高校自然科學研究一般項目(KJ2015B12)；(KJ2015B02)

2016-06-14