淺談在探究規(guī)律性問題教學中培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣

【摘要】隨著高職院校招生規(guī)模的不斷擴大，入學門坎降低，學生數(shù)學基礎(chǔ)普遍較薄弱，加之數(shù)學非專業(yè)課，又較抽象難學，學生怕學厭學現(xiàn)象明顯、突出，如何培養(yǎng)他們學習數(shù)學的興趣，調(diào)動他們主動學習的積極性，已成為數(shù)學教學成敗的關(guān)鍵。本文從探究規(guī)律性問題教學的三個方面，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣。

【關(guān)鍵詞】規(guī)律性教學 培養(yǎng)學生 數(shù)學 學習興趣

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）22-0163-03

美國著名數(shù)學教育家波利亞依據(jù)數(shù)學學習規(guī)律，提出教學的第一條原則就是：讓學生主動學習。如何讓學生主動學習？筆者認為，培養(yǎng)他們學習數(shù)學的興趣是最行之有效的方法之一?？鬃诱f“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”，愛因斯坦說“興趣是最好的老師”。陳景潤為摘取數(shù)學皇冠上的明珠，勇攀“哥德巴赫猜想的高峰”，除了胸懷報效祖國的遠大理想，更主要的還是他在福州英華中學讀書時有幸聆聽了沈元教授的數(shù)學課對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣，特別是研究證明“1+1”：任何一個大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個質(zhì)數(shù)之和這神奇奧秘的規(guī)律，使他如癡如醉。培養(yǎng)學生學習數(shù)學興趣的方式方法多種多樣，如讓學生懂得學習數(shù)學的重要意義，激發(fā)學習動機，了解數(shù)學應(yīng)用的廣泛性，介紹數(shù)學發(fā)展史，講數(shù)學家的故事等，但探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律性問題的教學，更易激發(fā)學生的學習興趣。在探究規(guī)律性問題的教學中，會發(fā)現(xiàn)許多蘊含著的數(shù)學美，許多有一定規(guī)律性的記憶方法和解題方法，會使學生產(chǎn)生比較強烈持久的學習興趣。

1、在探究規(guī)律性問題教學中用數(shù)學美培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣

根據(jù)美國芝加哥大學心理系研究，全世界大約每5個人中就有1個數(shù)學恐懼癥患者。在不少學生看來，數(shù)學就是“一個又一個公式、符號、定理、習題的堆積，它們是如此的抽象、散亂，遙遠，不可琢磨，”毫無美感可言。但數(shù)學本身就是一門系統(tǒng)性和規(guī)律性很強的學科，它的本質(zhì)是美的，“在冰冷的邏輯推理中，有一大堆生動的故事，冰冷美麗的外表下，有著樸素而火熱的思考”。著名數(shù)學家龐加萊說：數(shù)學中的美，“那就是各部分之間的和諧，對稱，恰到好處的平衡···，一句話說就是秩序井然，統(tǒng)一協(xié)調(diào)····”。教學中，教師要挖掘出數(shù)學中蘊含的美，有意識的展現(xiàn)出這些美來，讓學生感受到數(shù)學的美，拉近數(shù)學與學生的距離，引起他們學習數(shù)學的興趣。在探究規(guī)律性問題的教學中，數(shù)學的美不勝枚舉。如，在探究二項展開式中的二項式系數(shù)之間的變化規(guī)律時，用楊輝三角表示： 1

立即給人一種對稱協(xié)調(diào)美的感受。 1 2 1

如，在探索指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)這兩種截然不同函數(shù)

1 3 3 1

之間的聯(lián)系時，大數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了聯(lián)系它們的被稱為

1 4 6 4 1

數(shù)學中的“天橋”：eiθ=cosθ+sinθ，當θ= 時，得公式：eiθ+1=0 ，被偉大近代數(shù)學家F.克萊因稱為“整個數(shù)學中最卓越的公式之一”，它將數(shù)學中最重要的五個數(shù)0、1、 、i、e聯(lián)系起來，讓人看了簡單、統(tǒng)一之美油然而生。如，重要基本初等函數(shù)y=ex的麥克勞林級數(shù)ex= + + + +···+ +···（x∈R，x≠0）【1】每一項的分子分母顯得是那樣的秩序井然，極有規(guī)律性，讓人看了不能說不美。如，在探究斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，··· 的通項公式時，讓學生觀察前幾項后不難發(fā)現(xiàn)從第3項起，后1項總是前兩項之和，即an+2=an+1+an（n∈N+，下同），它是那么有規(guī)律，它的通項公式中含黃金分割值φ= =0.6180339887···，φ的漸近分數(shù)是： ， ， ， ， ， ， ， ， ···【2】 這一串漸近分數(shù)的分子分母依次為1，1，2，3，5，8，13，21，34···，它恰好是一個斐波那契數(shù)列，這個性質(zhì)使得斐波那契數(shù)列在優(yōu)選法中得到了應(yīng)用（0.618法）。在美學中，黃金分割有著不可估量的意義，那些最偉大的美術(shù)作品中每一個細節(jié)的構(gòu)圖都充分展示了黃金分割之美（如達芬奇名畫《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉符合“黃金矩形”）。在人體中黃金分割也無處不在，肘關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、肚臍分別是整只手臂、整條腿和整個人的黃金分割點處。又如，講完教材第5頁例11【3】 后，不妨引導(dǎo)學生探究一下集合交、并、補三種運算之間的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)： = ， = ，（ 分別表示全集U的補集），事實上這兩個等式都具有一般性，就是德.摩根定理，它們把集合的三種重要運算之間的關(guān)系用簡單，諧調(diào)之美的形式呈現(xiàn)在學生面前。再如，很有趣味的外觀數(shù)列雖然教材上沒有涉及，也不妨給學生做簡單介紹：

1，11，21，1211，111221，312211，13112221，1113213211···它從數(shù)字1開始，第n+1項是對第n項的描述（比如，第2項是11，描述是2個1，第3項就是21，第5項是111221，描述是3個1，2個2，1個1，第6項就是312211） ，讓學生通過描述寫出前幾項。它有許多有趣的性質(zhì)：數(shù)列中除1、2、3其它數(shù)字永遠不會出現(xiàn)；第n項L（n）隨著n的增大越來越長，而

=λ=1.303577···（λ叫康威常數(shù)，是一個重要的無理數(shù)），λ是一個71次方程的唯一實數(shù)解，學生了解后會倍感數(shù)學的神奇美妙。

2、在探究規(guī)律性記憶方法的教學中培養(yǎng)學生的學習興趣

記憶是人類積累知識增加智慧的基本條件。我國古代著名學者張載說“不記則思不起”。數(shù)學中的定義、定理、公式和性質(zhì)等是反映數(shù)學本質(zhì)屬性和屬性之間關(guān)系的，它們的應(yīng)用非常廣泛，能否牢固記憶并靈活應(yīng)用是學好數(shù)學的重要前提。不少學生對定理、公式和一些必須牢固記住的重要知識，只會死記硬背，效果很不好，嚴重影響著他們學習成績的提高。教學中，要注重引導(dǎo)學生探究一些常用定理、公式、重要性質(zhì)和知識的變化規(guī)律、特點和聯(lián)系，在幫助他們提高記憶效果的同時，也培養(yǎng)了他們的學習興趣。如，對幾個特殊銳角00，300，450，600，900的三角函數(shù)值，在三角函數(shù)、平面向量、解析幾何及微積分學等的學習中常常用到，但不少學生總是不能熟練記住。其實，只要先記住正弦的值，并且分子都改成用根式表示，分母都用2表示，即為： ， ， ， ， ，變化很有規(guī)律性，只要將上述五個值顛倒一下順序即得余弦的值，據(jù)商數(shù)關(guān)系得正切的值，又據(jù)倒數(shù)關(guān)系就得余切的值。如，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式共54個，在求值、化簡、證明中隨時用到，死記硬背是很難記住的。教學中，可引導(dǎo)學生觀察，這些公式左右兩邊的三角函數(shù)名稱為何有的相同有的不相同，右邊符號有的有“-”號，有的沒有“-”號，通過觀察不難發(fā)現(xiàn)：將 （*）的三角函數(shù)化為 的三角函數(shù)時名稱都要改變，正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切，正割變余割，余割變正割；而將2k + 、 ± ，2 - ，- （**）（k∈Z，下同）的三角函數(shù)化為 的三角函數(shù)時名稱都保持不變，因為 中n取奇數(shù)1和3得（*）組角，n取偶數(shù)4k、2、4、0得（**）組角，因此可將上述變化規(guī)律總結(jié)為一句話“奇變偶不變”；當把 看成銳角時，2k + 與 ， 與 - ， ， 及- 分別可看成一、二、三、四象限的角，據(jù)左邊三角函數(shù)值符號，為正時右邊無“-”號，為負時右邊有“-”號，可總結(jié)為一句話“符號看象限”。這樣，在理解的基礎(chǔ)上，記住上述兩句話54個誘導(dǎo)公式就永遠記住了。又如，用高斯倒序相加法推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項和公式后，可以提示學生，若把首項a1、第n項an和求和項數(shù)n分別看成梯形的上底、下底和高，那么此公式就可以用他們很熟悉的梯形面積公式記憶。再如，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)是微積分學的核心知識，用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈式法則）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個教學難點，學生常常犯“遺漏”的錯誤。如果將幾個重要初等函數(shù)的求導(dǎo)公式稍加變形，在后面多乘一個xˊ，（xˊ=1）即如原來的（xα）ˊ=αxα-1，（lnx）ˊ= ，（sinx）ˊ=cosx···分別變成

（xα）ˊ=（αxα-1）xˊ，（lnx）ˊ= xˊ，（sinx）ˊ=（cosx） xˊ···，學生只要理解了左邊的x變成什么樣右邊的x跟著變成什么樣，那么求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是上述變形后公式的反復(fù)運用。如求復(fù)合函數(shù)y=ln 的導(dǎo)數(shù)：yˊ= （ ）ˊ= [（sin2x） ]ˊ= （sin2x） -1（sin2x）ˊ= （cos2x）（2x）ˊ= =cot2x。

3、在探究規(guī)律性解題方法教學中培養(yǎng)學生的學習興趣

波利亞說過，掌握數(shù)學就意味著要善于解題。1976年國際數(shù)學管理者協(xié)會把解題能力列于十項基本技能之首。為幫助學生提高解題能力，教師不能局限于教材，對一些帶有一定規(guī)律性的解題方法應(yīng)該引導(dǎo)學生從簡單到一般逐步深入地進行探究，一旦被學生掌握，不僅幫助學生提高了解題能力，也會增強他們學習的興趣。如，求下列數(shù)列的通項公式：（1）0，1，0，1，···，（2）3，-7，3，-7···，【4】（3）0.7，0.77，0.777，0.7777···，（4）設(shè)數(shù)列{an}中a1=2，an+1= an+n（2008年高考四川卷文科數(shù)學試題16題）。（1）題學生經(jīng)過思考可以“湊出” an= ，（2）題就很難“湊出”了，它至少有三種解法，（1）、（2）題其實是都是周期數(shù)列；（3）題可以用不完全歸納法求出，但技巧性較強；（4）題就基本沒有學生能夠解出來了。求上述這些數(shù)列的通項公式是否有一種統(tǒng)一的又較容易掌握的解題方法呢？答案是肯定的，就是“逐差與迭加法”。先做差a2-a1=f（1）， a3-a2=f（2）， a4-a3=f（3），···an-an-1=f（n-1），然后將這些等式左右兩邊相加得an-a1= f（1）+ f（2）+ f（3）+···+f（n-1），而f（1），f（2），f（3），···，f（n-1）是一個等差數(shù)列或等比數(shù)列，據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和公式可求出它們的和，從而就可求出an?！爸鸩钆c迭加法”還有其它一些應(yīng)用，如求重要數(shù)列12，22，32，···n2與 13，23，33，···n3等的前n項的和。又如，多數(shù)學生都會用圖像法解一元二次不等式，但對一元三次以上的不等式一般都不會解，如解下列不等式：（1）x3-2x2-15x<0，（2）（x+1）（x-1）（x+2）（x-2）>0，教師可以教會學生用圖像法解：設(shè)不等式左邊=f（x），解方程f（x）=0得實數(shù)根x1 x2， x3···，將它們在x軸上標出來，然后從最大一個根的x軸上方從右至左畫一條曲線穿過所有的根（見圖1、圖2），據(jù)圖即可得到所求（1）的解和（2）的解分別為{x∣x<-3或02}。可以引導(dǎo)學生進一步思考此種解題方法（俗稱“穿根法”），能否解更難的無理分式不等式嗎？答案是肯定的，如解不等式： >0（2010年高考全國卷二理科數(shù)學試題一、5），只要將使分子分母分別為0的兩個方程的所有實數(shù)根都在x軸上標出來，用“穿根法”立即就可得正確的解，比教材上介紹的化為不等式組或列表法求解，要迅速簡捷的多。一般而言，一元高次不等式和無理分式不等式都可以用“穿根法”求解。學生對學習這些具有一定規(guī)律性能解決較多難題又容易掌握的解題方法是很感興趣的。

諾貝爾獎獲得者楊振寧博士說：“成功真正的秘密就是興趣”。學生若被動學習，久必生厭，要讓學生主動學習，首先就得讓學生對所學的課程感興趣。因此，作為一線教師應(yīng)依據(jù)數(shù)學的教學規(guī)律，結(jié)合學生實際，不斷改進教學方法，有所創(chuàng)新，在日常教學中要想方設(shè)法激發(fā)和培養(yǎng)學生的學習興趣才能取得事半功倍的教學效果。

參考文獻：

[1]盛祥耀《高等數(shù)學》[M]，高等教育出版社·北京，2008年2月第4版，第276頁。

[2]陳通鑫 劉嘉琨 王占元 方金秋《數(shù)學小詞典》[M]，測繪出版社，1982年5月，第242頁。

[3]張愛芹《數(shù)學》[M]，人民衛(wèi)生出版社·北京，2004年1月，第5頁。

[4]唐雨生 謝廷津 李才等《高中數(shù)學復(fù)習105講》[M]，云南大學出版社，1993年5月，第133頁。

作者簡介：

楊星光，云南德宏職業(yè)學院教授，男，漢族，云南騰沖縣人1958年9月生。1982年1月云南大學數(shù)學系數(shù)學專業(yè)本科畢業(yè)，學士。2010年12月西南大學教育與心理管理方向在職研究生班畢業(yè)。從事高中、中專和大學數(shù)學教學35年?，F(xiàn)研究方向：微積分教學及應(yīng)用。