高中物理習題教學中的圖象轉(zhuǎn)換策略

金毅 袁海泉

1 剖析“圖象轉(zhuǎn)換策略”

在中學的物理學習過程中，學生會接觸到大量函數(shù)圖象，例如v-t圖象和x-t圖象，它們是對客觀物理量的一種表示.這些函數(shù)圖象不僅描述了因變量隨自變量變化而變化的關(guān)系，而且由于物理量之間的邏輯關(guān)聯(lián)，圖象之間還存在著因果關(guān)系.在解決某些特定物理問題時，我們將物理量的函數(shù)圖象作為條件，根據(jù)已知的公理、定理等經(jīng)過演算和邏輯推理得到目標物理量的函數(shù)圖象，在這一過程我們利用的思想方法將其稱為“圖象轉(zhuǎn)換法”.那么“圖象轉(zhuǎn)換法”的本質(zhì)是什么呢？實際上，圖象轉(zhuǎn)換法就是函數(shù)圖象思想與轉(zhuǎn)化思想的有機結(jié)合.這一思維方法不僅以物理規(guī)律和定律為基礎(chǔ)，利用函數(shù)概念和性質(zhì)去分析和轉(zhuǎn)化問題，并且用圖象這種具體和形象的數(shù)學語言作為工具，描述物理量的變化，從而解決問題.

在中學物理教學和學習中，“圖象轉(zhuǎn)換策略”常運用在純運算無法完全解決的物理問題中，借助物理圖象輔助定性呈現(xiàn)物理過程的變化，提高解決問題的效率和準確性.主要的應用流程如圖1所示：

在解決與函數(shù)圖象有關(guān)的問題時，首先要明確已知條件量與目標量之間的物理邏輯關(guān)系：“是線性關(guān)系還是非線性關(guān)系？有沒有具體的定理明確兩者的關(guān)系？”然后要根據(jù)條件圖象的特點建立與目標圖象的關(guān)系，例如條件圖象的斜率，面積，交點等來決定用何種數(shù)學方法分析，例如求導，積分，建立函數(shù)關(guān)系等等.接下來，根據(jù)以上分析結(jié)論定性地繪制目標圖象，其中在遇到臨界點和拐點等特殊情況時需要特別注意，判斷其對目標量變化趨勢的影響.最后，根據(jù)所求得出結(jié)論，問題得到解決.

圖象作為物理量的實際表征，它的生成過程是將具體的物理過程抽象成函數(shù)之后再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象.它是將物理變化由具體轉(zhuǎn)化為抽象再由抽象轉(zhuǎn)化為形象圖表的過程，其對于培養(yǎng)學習者的抽象思維和數(shù)形結(jié)合思想有著極其重要的意義.教師運用圖象轉(zhuǎn)換的策略，不僅可以直觀呈現(xiàn)物理問題，提高解決問題的效率，而且可以幫助學生通過視覺表征的形式記憶和提煉學習結(jié)果，實現(xiàn)教學形式與教學方法的最優(yōu)化.圖象轉(zhuǎn)換實際上是函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想的結(jié)合，將數(shù)學與物理密切聯(lián)系，是幫助學生開發(fā)和鍛煉思維，熟練運用所學知識解決問題的良好手段.

2 勻變速直線運動問題的圖象轉(zhuǎn)換

勻變速問題是高中物理運動學中重要的部分，在這一專題中主要涉及的是v-t圖象和x-t圖象.某對象的v-t圖象的斜率表示加速度a，其v-t圖象與坐標軸圍成的面積表示相應時間的位移x，這與它的x-t圖象正是一種積分關(guān)系.相反，x-t圖象的斜率就是表示該時刻的速度v，與v-t圖象是微分關(guān)系.

例1 一輛汽車從靜止開始由甲地出發(fā)，沿平直公路開往乙地，汽車先做勻加速運動，接著做勻減速運動，開到乙地剛好停止，其v-t圖象如圖2所示，那么

0～t0 和t0～3t0，兩段時間內(nèi)

A.加速度大小之比為3∶1

B.位移大小之比為1∶2

C.平均速度大小之比2∶1

D.平均速度大小之比為1∶1

圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢分析：圖象轉(zhuǎn)換可以直觀地表現(xiàn)運動狀態(tài)的變化，反映a、v、x三個物理量之間的關(guān)系.例如本題中條件量是速度v，則加速度a為v-t圖象的斜率，得到0～t0和t0～3t0，兩短時間內(nèi)斜率分別是

v0t0和

-v02t0

.因此我們可以根據(jù)v-t圖象畫出a-t圖象，如圖3，這實際上是v-t圖象的微分過程.而v-t圖象與坐標軸圍成的面積表示該汽車相應時間的位移x，與它的正是一種積分關(guān)系，如圖4.x-t圖象的描繪對思維能力的要求較高，教師如果此時稍加引導，抓住積分關(guān)系得到x-t圖象，能幫助學生建立勻變速運動整體模型，是建立運動全局觀的良性訓練.

3 變力做功問題的圖象轉(zhuǎn)換

在功能關(guān)系的知識板塊中，學生經(jīng)常遇到的變力做功問題.當變力與物體位移線性相關(guān)時（例如空氣阻力），我們可以利用F-x圖象來得到該力做功的大小，因為F-x圖象在該段位移里對物體所做的功在數(shù)值上正好等于F-x圖象所圍成的面積.同時，利用圖象轉(zhuǎn)換的方法，我們也可以得到該物體運動狀態(tài)的相關(guān)的a-t圖象、v-t圖象，這對于學生分析變力作用下物體的運動狀態(tài)有很大的幫助.

例2 一顆m=0.1kg的靜止的小球從高達10m的樓層下落，下落過程中有空氣阻力f阻，且f阻=kx，其中k=0.2N/m，x為下落的位移，求下落至地面時小球的速度為多少？（取g=10m/s2）

圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢分析：結(jié)合函數(shù)圖象以及圖象之間的轉(zhuǎn)換，可以避免復雜的代數(shù)計算，定性的幫助學生分析物理過程.例如本題，對于根據(jù)f阻=kx可以得到空氣阻力的f阻-x圖象，如圖5.那么在下落過程中對該物體進行受力分析，利用牛頓定律得mg-kx=ma，由此可知，小球的加速度不斷減小，直到重力與空氣阻力相同時加速度減小為零，因此我們就可以得到a-t 圖象（圖6）.此時，學生得到的結(jié)論是：當mg=kx0時，小球加速度為零，勻速運動，所以利用a-t圖象，運動對象的物理情境清晰展現(xiàn)在學生腦海中.令此時的時刻為t0，可得此時位移x0=5m<10m，所以小球在著陸之前就已經(jīng)勻速運動了.根據(jù)f-x圖象在該段位移x0里對物體所做的功在數(shù)值上等于f-x圖象所圍成的面積，可以得到空氣阻力做的功Wf=12kx2 ，再利用動能定理，得mgx0-12kx20=12mv2-12mv20就可以得到勻速時的速度大小.而與此同時，利用微積分思想的圖象轉(zhuǎn)換思路也可以得到v-t圖象（圖7），將該物體運動的狀態(tài)用圖象定性描繪出來，由圖能得到的新結(jié)論是：該物體做的是變加速運動，它在空中勻速運動時的速度就是物體著陸時的速度.那么此時教師可以引導學生思考，假如該物體下落的高度小于5m，物體下落時加速度和速度是如何變化的？根據(jù)a-t、v-t圖象答案就呼之欲出了.這個過程是在引導學生提出問題，發(fā)現(xiàn)問題，加深了學生對于此類物理過程本質(zhì)的理解.

4 電、磁場問題的圖象轉(zhuǎn)換

帶電粒子在變化的電、磁場中運動的問題涉及到力學和電、磁場知識的綜合運用.在電場中，電場力的改變使得對象受力發(fā)生周期性改變，從而運動狀態(tài)也隨之改變，因此，我們可以從U-t圖象通過圖象推導得到v-t圖象，進而利用積分關(guān)系分析獲得x-t圖象；在磁場問題中，根據(jù)法拉第電磁感應定律，磁場的變化也會導致感應電動勢的改變而改變，由此我們也可以定性描繪出電勢或電流的變化圖象.

例3 如圖8，勻強磁場的磁感應強度方向垂直于紙面向里，磁感應強度B隨時間變化圖象如圖9所示，現(xiàn)有一個電阻為R，邊長為l的方框位于磁場中，嘗試畫出其感應電流的變化圖象.

圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢分析：教師利用圖象轉(zhuǎn)換策略可以拓寬習題講解的思路，例如本題的條件量是磁感應強度B，目標量是感應電流I.根據(jù)法拉第電磁感應定律E=

nΔΦΔt=nSΔBΔt，EμΔBΔt，則IμΔBΔt.即I=ER=l2kR，k為 磁場變化圖象斜率.根據(jù)B-t圖象的斜率，不需要右手螺旋定則的判定，我們可以很快得到I-t圖象，提高了解題效率，如圖10所示.

例4 將如圖11所示的交變電壓加在平行板電容器A、B兩極板上，交變電壓如圖12所示，開始B板電勢比A板電勢高，這時有一個原來靜止的電子正處在兩板的中間P處，它在電場力作用下開始運動，設(shè)A、B兩極板間的距離足夠大，下列說法正確的是

A.電子一直向著A板運動

B. 電子一直向著B板運動

C.電子先向A板運動，然后返回向B板運動，之后在A、B兩板間做周期性往復運動

D.電子先向B板運動，然后返回向A板運動，之后在A、B兩板間做周期性往復運動

圖象轉(zhuǎn)換優(yōu)勢分析：如本題，根據(jù)公式a=

Fm=Uedm

，不難確定電子所受電場力的變化，從而獲得加速度a變化圖象，如圖13所示，進而得到速度v變化圖象，如圖14.從圖中可知，電子在第一個T/4周期時向B板做勻加速運動，T/4到T/2時勻減速運動，T/2到3T/4時反向加速運動，3T/4到T時勻減速運動.所以電子是在極板之間周期往復運動.因此，學生在利用圖象再現(xiàn)物理情景的同時，利用圖象轉(zhuǎn)換思路可以拓寬解決問題的思維，由原問題得到新推論.

例4變式 此時如果利用微積分思想思考粒子運動位移的問題，就可以通過v-t圖象定性描繪出x-t圖象，電子在第一個T/4周期時向B板運動斜率為正不斷增大，T/4到T/2時斜率為正不斷減小，T/2到3T/4時斜率為負不斷增大，3T/4到T時斜率為負不斷減小，如圖15所示.因此，我們得到的新結(jié)論就是：粒子從中點出發(fā)后是在P點的右半側(cè)運動，不會運動到P點的左半側(cè).

5 波動問題的圖象轉(zhuǎn)換

在簡諧振動問題中，我們經(jīng)常會遇到振動圖象和波動圖象.波動圖象（y-x圖象）是所有質(zhì)點某時刻時在空間內(nèi)的分布圖象；而振動圖象（y-t圖象）是描述某一質(zhì)點的位移隨時間變化而變化的圖象.在研究簡諧振動問題時，我們要將兩個圖象相互結(jié)合對質(zhì)點振動進行分析.通過已知的條件量的圖象，將y-x圖象與y-t圖象的相互轉(zhuǎn)換，可以順利解決簡諧振動的圖象問題.

例5 介質(zhì)中坐標原點O處的波源在t=0時刻開始振動，產(chǎn)生的簡諧波沿x軸正向傳播，t0時刻傳到L處，波形如圖16所示.y-t圖中能敘述x0處質(zhì)點振動圖象是

圖象轉(zhuǎn)換思路：題中所給條件圖為t=t0時刻的波動圖象，t0時刻波傳到了L=3λ處，所以波動是從左向右傳播的，且起振方向是向下的.而對于x處的質(zhì)點來說，在t0時刻之后運動趨勢應與x0左邊的質(zhì)點一致，即向下運動.所以在振動圖象中t0右側(cè)時刻質(zhì)點的位置應該低于t0時刻質(zhì)點的位置，因此只有C選項是正解.本題的難點在于如何從y-x圖象轉(zhuǎn)換到y(tǒng)-t圖象，所以，抓住宏觀的波動傳播方向，再聚焦到某個質(zhì)點的振動趨勢上，是此類問題圖象轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵.

例5變式 一列簡諧橫波沿直線傳播，該直線上平衡位置相距9 m的a、b兩質(zhì)點的振動圖象如圖17所示，下列描述該波的圖象可能正確的是

圖象轉(zhuǎn)換思路：該題考查的是學生將y-t圖象轉(zhuǎn)換為y-x圖象，剛接觸此題時，學生很難把握，不知道a、b點是哪個離波源更近，因此先假設(shè)簡諧波由a向b傳播，從振動圖象看，b與a相差34+n個周期，所以a、b距離為c=（34+m）λ=9 m（n=0，1，2……）.若假設(shè)波由b向a傳播，a與b相差14+n個周期，所以a、b距離c=（14+n）λ=9 m（n=0，1，2……）.本題解決的關(guān)鍵是要在兩種假設(shè)下分別明確a、b的相位差，并且要認識到簡諧振動的周期性.

由以上的實例可以看出，圖象轉(zhuǎn)換策略是教師和學生需要重視的一種思維模式，在高中學習中涉及面較廣，對學生知識能力的考查也很深入.這一策略不僅能夠幫助學生簡潔快速地解決問題，并且對于學生完善物理知識體系，深化物理思想，提升思維能力都有重要的意義.