聚焦《勾股定理》中的數(shù)學思想

江蘇省泗陽縣實驗初級中學 (223700)

王 慧 ●

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聚焦《勾股定理》中的數(shù)學思想

江蘇省泗陽縣實驗初級中學 (223700)

王 慧 ●

勾股定理具有豐富的數(shù)學思想，在學習中應該把握方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化思想等.

勾股定理；數(shù)學思想

一、方程思想

所謂方程思想，就是通過觀察，分析，判斷，從已知量和未知量之間的位置關系或數(shù)量關系入手，找出等量關系，運用數(shù)學符號語言將相等關系轉化為方程，再通過解方程把問題解決.

例1 如圖，將矩形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點D落在邊BC上的F處，已知AB=8,AD=10.求CE的長.

析解 由折疊可知△AED≌AEF,AF=AD=10,DE=DF.

在△ABF中，因為AB2+BF2=AF2,即82+BF2=102

所以BF=6,所以CF=10-6=4.

設CE=x,則EF=DE=8-x.

在△CEF中，因為CE2+CF2=EF2,

即x2+42=(8-x)2,解之得x=3,所以CE=3.

點評 通過勾股定理來建立方程是數(shù)學中常用的思想方法，設未知數(shù)把未知的量與已知的量集中到一個直角三角形中，再通過勾股定理建立方程，然后再解方程求出CE的長.

二、數(shù)形結合思想

所謂數(shù)形結合思想：就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過“以形助數(shù)”，和“以數(shù)輔形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化.

例2 如圖：正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的△ABC中，邊長是無理數(shù)的邊數(shù)有( )條

A.0B. 1C.2D. 3

析解 把三條線段AC,AB,BC分別看作某個直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理得：

因為AB,BC的長為無理數(shù),故選C.

點評 勾股定理由已知的“直角三角形”得出“a2+b2=c2”的結論，這是由“形”的條件而得出“數(shù)”的結果，蘊含著從形到數(shù)的轉化.

三、分類討論思想

所謂分類討論思想，就是將問題劃分為若干個既不重復也不遺漏的小問題，再一一加以解決的方法.當問題的條件不具體時，通過分類討論可以確定準確的答案.

例3 在△ABC中，AB=15，AC=13,邊BC上的高AD=12.求△ABC的面積.

析解 因為△ABC的形狀不確定，需要分類討論.

(1)當△ABC是銳角三角形時在△ABD中，BD2+AD2=AB2,即BD2+122=152,所以BD=9.

在直角△ACD中，AD2+CD2=AC2,即122+CD2=132,所以CD=5.

所以BC=BD+CD=9+5=14.

綜上所述,△ABC的面積為84或24.

點評 本題△ABC的形狀不確定，可以通過分類討論來解決問題.

四、轉化思想

所謂轉化思想，就是將要解決的問題轉化為另一個較為容易解決的問題或已經(jīng)解決的問題，具體的做法是將未知的“轉化”為“已知”，將“陌生”的轉化為“熟悉”，將“復雜”的轉化為“簡單”.

例4 如圖：要在直線l上修一水利站，分別向張莊A和李莊B送水，已知張莊A到河邊l的距離AC=2km，李莊B到河邊l的距離BD=7km,CD=12km.如果鋪設水管的工程費用為每千米1500元，求鋪設水管的最小費用.

析解 求鋪設水管的費用最小，就是轉化為求鋪設水管長度最短.延長AC到E,使CE=AC=2,連接BE交CD于點P，此時PA+PB最小.過點E 作EF∥l交BD的延長線于點F,根據(jù)題意得：EF=CD=12,DF=CE=AC=2,所以BF=BD+DF=7+2=9,在直角△BEF中，BE2=EF2+BF2=122+92=225，所以BE=15.因為PA+PB=PE+PB=BE,即PA+PB的最小值為15,所以鋪設水管的最少費用為15×1500=22500元.

點評 遇到實際問題或非直角三角形時，通常把實際問題或非直角三角形轉化為直角三角形，然后利用勾股定理來解決問題.

G

B